(完整word版)高中数学函数的奇偶性、单调性、周期性-同步练习-新课标-人教版-必修1(A)

函数的奇偶性、单调性、周期性同步练习基础知识自测题：
1 .函数f (x)、g(x)的定义域都是(一a , )，若是f (x)奇函数，g(x)是偶函数，贝U F(x)
=f (x) • g(x)是奇函数。

2. 函数f (x)的定义域是R,且当x€ ［0, +a)时，f (x)为增函数，则当f (x)为奇函数时，它在(一a , 0)上的增减性是递减；当
f (x)为偶函数时，它在(一a , 0)上的增减性是递增。

3 .下面有四个函数，① f (x) = 2x+ 1;②g(x)=;③h(x)=;④u(x)=
lg ,其中偶函数是③，奇函数是④，既不是偶函数也不是奇函数的是①、②。

4 •对于函数y= f (x)，如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个
值时，f (x + T)= f (x)都成立，那么就把函数y= f (x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这
个函数的周期。

5. 函数y=的递减区间是(一a , —1)、(—1, +a )；函数y=的递减区间是(一1, + 1］。

6. 下面四个函数，①y=;②y=;③y= 1 —x2;④y = x2 + 2x,其中在区间(—a , 0) 内为减函数的是① 。

7. 已知y= f (x)在实数集上是周期为2的周期函数，且是偶函数，已知x€ ［2, 3］时，f (x) =x,则当x€ ［—1,0］时,f (x)的表达式是y=—x+ 2。

基本要求、基本方法：理解函数的单调性和奇偶性的概念。

能运用定义判断简单函数的奇偶性和单调区间。

了解复合函数的单调性和奇偶性的意义，并能解决一些简单的函数问题。

理解函数的周期性概念，会求简单函数的最小正周期。

求出下列函数的单调区间：
(1) y=; ⑵ y =.
解：(1)函数y=的定义域是x€ R且X M 0, X M— 2.
又函数u(x) = x2 + 2x的图象是开口向上的抛物线，顶点的横坐标是x=—1,
•••函数y=在区间(—a , —2)上单调递增；在区间上(一2, —1］单调递增；在区间上［—1,0)单调递减；在区间(0, +a )上单调递减。

(2)函数y=的定义域是［—4, + 4］, u(x) = —x2 + 16的图象是开口向下的抛物线，顶点的横
坐标是x= 0, •函数y =在区间［—4, 0］上单调递增，在区间［0, 4］上单调递减。

评注：解函数的增减性问题一定要注意原函数的定义域，只有在原函数的定义域内研究问题才有意义。

定义在(—1, 1)上的奇函数f (x)是减函数，解关于a的不等式：f (1 —a) + f (1 —a2)<0.
解：••• f (1 —a) + f (1 —a2)<0, • f (1 —a)< — f (1 —a2) = f (a2 —1).
由不等式组, 解得,
• 不等式f (1—a)＋f (1—a2)<0 的解集是{a| 0<a<1}. 评注：把函数的增减性和奇偶性结合起来，同样要注意原函数的定义域。

若定义在实数集上的函数y= f (x)是一个最小正周期为3的周期函数，且已知
f (x)=,求f ( n )+ f (—n )的值。

解：T 函数 f (x)的最小正周期是3, • f ( n )= f ( n—3) =—( n —3) = 3—n ,
f (—n ) = f (—n + 3) = 3 —n, • f (n ) + f (—n ) = 6 —2 n .
基本技能训练题：
已知偶函数f (x)的定义域是R,则下列函数中为奇函数的是( B )。

(A) si n[f (x)] (B) xf (sinx) (C) f (x)f (si nx) (D) [f (si nx)]2
已知偶函数f (x)在[0, 2]内单调递减，若a= f (—1), b = f (), c= f (Ig 0.5)，贝U a、b、c之间的大小关系是( A )。

( A) c>a>b ( B) a>b>c ( C) b>a>c ( D) c>b>a
若函数f (x) = x2 + 2(a —1)x+ 2在区间(一^ , 4)上是减函数，那么实数a的取值范围是(A )。

(A) a<— 3 (B) a>— 3 (C) a< 5 ( D) a>3
函数y=的递增区间是[—3, —1];递减区间是[—1, 1]。

若f (x) = (m—1)x2 + 2mx + 3m —3为偶函数，则m的值为0。

设f (x)是定义在R上最小正周期为T的函数，贝U f (2x + 3)是(C )。

(A)最小正周期为T的函数(B)最小正周期为2T的函数
(C)最小正周期为的函数 (D)不是周期函数
设f (x)是以4为最小正周期的函数，且当一2< x<2时，f (x) = x,则f ( —98.6)的值为( B )。

(A) 98.6 (B) 1.4 (C) 5.4 (D)— 2.6
函数y=的单调递增区间是(一^ , —8)。

已知f (x) = |1 —x|，则f [f (x)]的单调递增区间是[0, 1]、[2, )。

设定义在R上的函数f (x)的最小正周期为2，且在区间(3, 5]内单调递减，贝U
a= f(—卜b = f (—4)和c= f (—n )的大小关系是a<c<b。

(按从小到大的顺序)
四．试题精选
(一)选择题：
下列四个函数：①y=;②y = x2+ x;③y=—(x + 1)2;④y=+ 2，其中在(一^ , 0)上为减
函数的是( A )。

(A)①(B)④(C)①、④(D)①、②、④
若y= f (x)是R上的偶函数，且当x€ (0, +s )时,f (x) = x(1 —x)，那么当x€ (—^ , 0) 时，f (x)的表达式是(B )。

(A) x(x＋1) (B)—x(x＋1) (C)—x(x—1) (D) x(x—1)
3. 若函数y= f (x) (f (x)不恒为零)的图象与y=—f (x)的图象关于原点对称，则y= f (x)( B )。

(A)是奇函数而不是偶函数(B)是偶函数而不是奇函数
(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数又不是偶函数
4 •函数y=的单调递减区间是( C )。

(A) (— 3 1] (B)(—汽0] ( C) [1, +R) ( D) ( — 3 0] U [1, +R)
5•已知y= f (x)在定义域R上是减函数，则函数y= f (|x + 2|)的单调递增区间是( D )。

(A) (— 3 , +3 ) ( B) (2, +3 ) (C) (—2, +3 ) ( D) (—3 , —2)
6•在下列函数中，既是以n为周期的偶函数，又是在区间(0,)上为增函数的是(B )。

(A) y= x2, x€ R ( B) y= |sinx|, x € R (C) y= cos2x, x€ R (D) y= 3, x€ R
7•若函数f (x)为定义在区间[—6, 6]上的偶函数，且f (3)>f (1)，则下列各式一定成立的是 (A)。

( A) f (—1)<f (3) (B) f (0)<f (6) ( C) f (3)>f (2) (D) f (2)>f (3)
&现有三个函数：f 1(x) = (x —1), f 2(x) = , f 3(x)=,在这三个函数中，下面说法正确的是(A)。

(A)有一个偶函数，两个非奇非偶函数(B)有一个偶函数，一个奇函数
(C)有两个偶函数，一个奇函数(D)有两个奇函数，一个偶函数
9 .已知函数y= f (x)是偶函数(x € R),在x<0时，y是增函数，对x1<0, x2>0,有|x1|<|x2|, 则( A)。

(A) f ( —x1)>f (—x2) ( B) f (—x1)<f (—x2) (C) f (—x1)= f (—x2) ( D)以上都不对
10 .奇函数y= f (x)的反函数是y = f —1(x)，函数y= f —1(x)在x€ [0, +3)上是减函数，则函数y =— f (x)在x€ (—3,0)上是(A)。

(A)增函数(B)减函数(C)不是单调函数(D)常值函数
(二)填空题：
11.已知偶函数f (x)在[0, n )上是递减函数，那么下列三个数 f (lg), f (), f(),
从大到小的顺序是 f ()>f (lg)>f()。

12 .函数y= x+在区间[2, 5]上的最大值为；最小值为。

13 .如果函数f (x)= x2 • (+ m)为奇函数，则m的值为。

14 .若函数p(x)、q(x)均为奇函数，f (x) = a • p(x) + b • q(x) + 2 (a2 + b2 丰 0, a, b 为常数)且f (x)在(0, +3 )上有最大值5，则f (x)的最小值为—1 。

(三)解答题：
15 .判断函数f (x)= (a^ 0)在区间(一1, 1)上的单调性。

解：设—1<x1<x2<1, 则
f (x1) —f (x2)=—=,
•/ x12 —1<0, x22 —1<0, x1x2 + 1<0, x2 —x1>0, A >0,
当a>0 时，f (x1) — f (x2)>0,函数y= f (x)在(一1, 1)上为减函数，
当a<0 时，f (x1) — f (x2)<0,函数y= f (x)在(一1, 1)上为增函数。

16 .设函数y= f (x)是定义在R上的偶函数，并在区间(一3,0)内单调递增，
f(2a2 ＋a＋1)<f(3a2 －2a＋1)，求a 的取值范围，并在该范围内求函数y=的单调区间。

解：函数y= f (x)是定义在R上的偶函数，并在区间(一8,0)内单调递增，•••在区间(0, + g)上递
减，又•/ 2a2 + a+ 1>0, 3a2 —2a+ 1>0, f(2a2 + a+ 1)<f(3a2 —2a+ 1), • 2a2 + a + 1>3a2 —2a+ 1,解得0<a<3,
•函数y =在(0, )上递增，在(,3)上递减。

17 .已知函数f (x)= (x> 1),试求出f (x)的反函数y= f (x)的单调区间。

解：函数f (x) = (x> 1)的值域为0W y<1,它的反函数f—1(x) = 0 < x<1, 用函数增减性的定义证明该函数在0< x<1上是增函数。

解2:考虑原函数的增减性，f (x)= (1 —)2,当x>1时,y= f (x)为增函数，•它的反函数也是增函数。

18 .设函数y = f (x)是奇函数，对于任意x、y€ R都有f (x + y)= f (x) + f (y)，且当x>0时，y<0, f(1) = —2，求函数y = f (x)在区间［—3, 3］上的最大值和最小值。

解：设x1, x2€ ［—3, 3］,且x1<x2, x2 —x1>0,
• f(x2) — f (x1) = f (x2 —x1 + x1)— f (x1) = f (x2 —x1) + f (x1) — f (x1) = f (x2 —x1)<0, •函数y = f (x)为减函数，
•当x= 3时，f⑶=3f (1) = —6,为最小值；当x=—3时，f (—3) = 3f (—1) = 6为最大值。

19 .已知函数f (x)= 4—x2,求函数f (x2 —2x—3)的递增区间。

解：设F(x)= f (x2 —2x—3) = f
(u), u = x2 —2x—3,
对于函数u = x2 —2x—3，当x> 1时，函数u为增函数，当x<1时，函数u为减函数，
对于函数f (u) = 4 —u2,当u》0时，f (u)为减函数，当u<0时，f (u)为增函数，
•当x> 3时，函数u为增函数且u》0, f (u)为减函数，此时F(x)为减函数，
当K x w 3时，函数u为增函数且u w 0, f (u)为增函数，此时F(x)为增函数，
当一1w x w 1时，函数u为减函数且u w 0, f (u)为增函数，此时F(x)为减函数，当x w—1时，函数u为减函数且u》0, f (u)为减函数，此时F(x)为增函数，综上得，函数f (x2 —2x—3)的递增区间是［1,3］与(一^ , —1).。