(易错题精选)初中数学圆的易错题汇编及答案解析

（易错题精选）初中数学圆的易错题汇编及答案解析
一、选择题
1．如图，7×5的网格中的小正方形的边长都为1，小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上，过点C作△ABC外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
作△ABC的外接圆，作出过点C的切线，两条图象法即可解决问题.
【详解】
如图⊙O即为所求，
观察图象可知，过点C作△ABC外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是3个，
选：C．
【点睛】
考查三角形的外接圆与外心，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意.
2．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，以BD为直径作圆，交于AB于E，交CD于F，若BD=12，AD：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（）
A．3B．36ππC．312πD．48336ππ【答案】C
【解析】
【分析】
易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可．
【详解】
连接OE ，OF ．
∵BD=12，AD ：AB=1：2，
∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°，
∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形=6036
1
6,633933602OEB S ππ⨯==⨯⨯=V
∵两个阴影的面积相等，
∴阴影面积=()224369330312ππ⨯--=- .
故选：C
【点睛】
本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积．
3．如图，已知AB 是⊙O 是直径，弦CD ⊥AB ，AC =22，BD =1，则sin ∠ABD 的值是(
)
A ．2
B ．1
3 C 22
D ．3
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据垂径定理，可得BC 的长，再利用直径对应圆周角为90°得到△ABC 是直角三角形，利用勾股定理求得AB 的长，得到sin ∠ABC 的大小，最终得到sin ∠ABD
【详解】
解：∵弦CD ⊥AB ，AB 过O ，
∴AB 平分CD ，
∴BC =BD ，
∴∠ABC =∠ABD ，
∵BD =1，
∴BC =1，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB =90°，
由勾股定理得：AB =()22222213AC BC +=
+=， ∴sin ∠ABD =sin ∠ABC =
223AC AB = 故选：C ．
【点睛】
本题考查了垂径定理、直径对应圆周角为90°、勾股定理和三角函数，解题关键是找出图形中的直角三角形，然后按照三角函数的定义求解
4．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，AB=22，则»AB 的长是（ ）
A ．π
B ．32π
C ．2π
D ．12
π 【答案】A
【解析】 【分析】连接OA 、OB ，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO ，根据弧长公式求出即可．
【详解】连接OA 、OB ，
∵正方形ABCD 内接于⊙O ，
∴AB=BC=DC=AD ，
∴»»»»AB BC
CD DA ===， ∴∠AOB=14
×360°=90°， 在Rt △AOB 中，由勾股定理得：2AO 2=（2）2，
解得：AO=2，
∴»AB的长为902 180
´
=π，
故选A．
【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．
5．如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）
A．4.5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB 的长．
【详解】连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．
6．已知某圆锥的底面半径为3 cm，母线长5 cm，则它的侧面展开图的面积为（）A．30 cm2B．15 cm2C．30π cm2D．15π cm2
【答案】D
【解析】
试题解析：根据圆锥的侧面展开图的面积计算公式得：
π＝15π
S＝RL
故选D.
7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（）
A．50°B．60°C．80°D．90°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的性质得：∠GBC=∠ADC=50°，由垂径定理得：··
=，则∠
CM DM
DBC=2∠EAD=80°．
【详解】
如图，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠GBC=∠ADC=50°．
∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，∴∠EAD=90°﹣50°=40°，延长AE交⊙O于点M．
∵AO⊥CD，∴··
=，∴∠DBC=2∠EAD=80°．
CM DM
故选C．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，还考查
了垂径定理的应用，属于基础题．
8．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB 相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于()
A．20°B．25°C．30°D．32.5°
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OD，根据三角形内角和定理和等边对等角求出∠DOB＝40°，再根据圆周角定理即可求出∠BAD的度数．
【详解】
解：连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝25°，
∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝130°﹣90°＝40°，
∴由圆周角定理得：∠BAD＝1
2
∠DOB＝20°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆和三角形的问题，掌握三角形内角和定理、等边对等角、圆周角定理是解题的关键．
9．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】 根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．
【详解】
∵直径所对的圆周角等于直角，∴从直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B ．
故选B ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
10．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．将ABC V 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到EDC △，此时点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）
A ．302，
B ．602，
C ．360，
D ．603， 【答案】C
【解析】
试题分析：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴∠B=60°，AC=BC×cot ∠A=2×3=23，AB=2BC=4， ∵△EDC 是△ABC 旋转而成，
∴BC=CD=BD=
12AB=2， ∵∠B=60°，
∴△BCD 是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE ⊥AC ，
∴DE ∥BC ，
∵BD=12
AB=2， ∴DF 是△ABC 的中位线， ∴DF=
12BC=12×2=1，CF=12AC=12×23=3， ∴S 阴影=12DF×CF=12×3=3． 故选C ．
考点：1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形．
11．如图，O e 中，若66OA BC AOB ⊥∠=o 、，则ADC ∠的度数为（ ）
A ．33°
B ．56°
C ．57°
D ．66°
【答案】A
【解析】
【分析】 根据垂径定理可得»»AC
AB =，根据圆周角定理即可得答案． 【详解】
∵OA ⊥BC ，
∴»»AC
AB =， ∵∠AOB=66°，∠AOB 和∠ADC 分别是»AB
和»AC 所对的圆心角和圆周角， ∴∠ADC=12
∠AOB=33°，
【点睛】
本题考查垂径定理及圆周角定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握相关定理是解题关键．
12．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则侧面积为（）
A．2πB．3πC．6πD．8π
【答案】B
【解析】
【分析】
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【详解】
解：圆锥的侧面积为：1
2
×2π×1×3＝3π，
故选：B．
【点睛】
此题考查圆锥的计算，解题关键在于掌握运算公式.
13．如图，抛物线y＝ax2﹣6ax+5a（a＞0）与x轴交于A、B两点，顶点为C点．以C点为圆心，半径为2画圆，点P在⊙C上，连接OP，若OP的最小值为3，则C点坐标是
（）
A．
522
(,
22
B．（4，﹣5）C．（3，﹣5）D．（3，﹣4）
【答案】D
【分析】
首先根据二次函数的解析式求出点A 、B 、C 三点的坐标，再由当点O 、P 、C 三点共线时，OP 取最小值为3，列出关于a 的方程，即可求解．
【详解】
∵2650y ax ax a a +-=（
＞） 与x 轴交于A 、B 两点， ∴A （1，0）、B （5，0），
∵226534y ax ax a a x a =+=---（） ，
∴顶点34C a （，-）
， 当点O 、P 、C 三点共线时，OP 取最小值为3，
∴OC ＝OP+2＝5， ∴29165(0)a a +=> ，
∴1a = ，
∴C （3，﹣4），
故选：D ．
【点睛】 本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是明确圆外一点到圆上的最短距离即该点与圆心的距离减去半径长．
14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD =CD = 23．则»BC
的长为( )
A ．3π
B ．23π
C 3π
D ．33
π 【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂径定理得到3CE DE ==
»»BC BD = ，∠A=30°，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.
【详解】
如图：连接OD ，
∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，AD =CD = 23
∴3CE DE ==
，»»BC BD = ，∠A=30°， ∴∠DOE=60°，
∴OD=2sin 60DE =o
， ∴»BC
的长=»BD 的长=60221803ππ⨯=， 故选：B.
【点睛】
此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.
15．下列命题中正确的个数是（ ）
①过三点可以确定一个圆
②直角三角形的两条直角边长分别是5和12，那么它的外接圆半径为6.5
③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米
④三角形的重心到三角形三边的距离相等．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
①根据圆的作法即可判断；
②先利用勾股定理求出斜边的长度，然后根据外接圆半径等于斜边的一半即可判断；
③根据圆与圆的位置关系即可得出答案；
④根据重心的概念即可得出答案．
【详解】
①过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，故错误；
②∵直角三角形的两条直角边长分别是5和12，
2251213+= ,
∴它的外接圆半径为.113652
⨯=，故正确；
③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米或1厘米，故错误；
④三角形的内心到三角形三边的距离相等，故错误；
所以正确的只有1个，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查直角三角形外接圆半径，圆与圆的位置关系，三角形内心，重心的概念，掌握直角三角形外接圆半径的求法，圆与圆的位置关系，三角形内心，重心的概念是解题的关键．
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=86°，则∠BCD的度数是（）
A．86°B．94°C．107°D．137°
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵∠BOD=86°，
∴∠BAD=86°÷2=43°，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-43°=137°，
即∠BCD的度数是137°．
故选D．
【点睛】
本题考查圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
17．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O是△ABC的内切圆，连接AO，BO，则图中阴影部分的面积之和为（）
A．10﹣3
2
B．14﹣
5
2
πC．12 D．14
【答案】B 【解析】
根据勾股定理求出AB，求出△ABC的内切圆的半径，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：设⊙O与△ABC的三边AC、BC、AB的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，
在Rt△ABC中，AB＝22
AC BC
+＝10，
∴△ABC的内切圆的半径＝6810
2
+-
＝2，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OAB＝1
2
∠CAB，∠OBA＝
1
2
∠CBA，
∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣1
2
（∠CAB+∠CBA）＝135°，
则图中阴影部分的面积之和＝
22
2
902113525 210214
36023602
ππ
π⨯⨯
-+⨯⨯-=-，
故选B．
【点睛】
本题考查的是三角形的内切圆与内心、扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
18．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.
图1图2
有如下四个结论：
①勒洛三角形是中心对称图形
②图1中，点A到BC上任意一点的距离都相等
③图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等
④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动
上述结论中，所有正确结论的序号是（）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】B
【分析】
逐一对选项进行分析即可.
【详解】
①勒洛三角形不是中心对称图形，故①错误；
②图1中，点A 到BC 上任意一点的距离都相等，故②正确；
③图2中，设圆的半径为r
∴勒洛三角形的周长=12032180r r ππ⨯
=g g 圆的周长为2r π
∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确；
④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④错误 故选B
【点睛】
本题主要考查中心对称图形，弧长公式等，掌握中心对称图形和弧长公式是解题的关键.
19．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接OC 交⊙O 于点D ，连接BD ，∠C=40°．则∠ABD 的度数是（ ）
A ．30°
B ．25°
C ．20°
D ．15°
【答案】B
【解析】 试题分析：∵AC 为切线 ∴∠OAC=90° ∵∠C=40° ∴∠AOC=50°
∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50° ∴∠ABD=∠ODB=25°. 考点：圆的基本性质.
20．在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线323
y x =+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为( )
A ．3
B ．2
C 3
D 2 【答案】D
【解析】
【分析】
先根据题意，画出图形，令直线3x+ 23x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，作OH
⊥CD于H，作OH⊥CD于H；
然后根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得C、D两点的坐标值；
再在Rt△POC中，利用勾股定理可计算出CD的长，并利用面积法可计算出OH的值；最后连接OA，利用切线的性质得OA⊥PA，在Rt△POH中，利用勾股定理，得到21
PA OP
=-，并利用垂线段最短求得PA的最小值即可.
【详解】
如图，令直线3x+23x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，
当x=0时，y=3D（0，3
当y=033，解得x=-2，则C（-2，0），
∴22
2(23)4
CD=+=，
∵1
2
OH•CD=
1
2
OC•OD，
∴223
3⨯
=
连接OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴2221
PA OP OA OP
=-=-
当OP的值最小时，PA的值最小，
而OP的最小值为OH的长，
∴PA22
(3)12
-=
故选D.
【点睛】
本题考查了切线的性质，解题关键是熟记切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半
径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．。