9. 空间曲线

§9 空间曲线
一、 曲线的基本概念与公式
线矢量，它指向曲线的凹方；b 为单位副法线矢量，b =t ⨯n .t ,n ,b 构成右手系（图7.18）.这三个矢量称为曲线在点M 的活动标架（或叫动标三面形、伴随三面形，也叫活动标形）. [活动标架所在直线和平面的方程] 设M 为(x 0,y 0,z 0)（图7.18）. 1° 切线 过曲线上两点N ,M 的直线NM ，当N →M 时的极限位置.其方程为
参数式00
0000z
z z y y y x x x -=
-=- （以t 为参数） 式中0x 表示t
d d x
在点M (x 0,y 0,z 0)处的值，等等.参数t 可以取为弧长s ，这时用0x
表示0x '，等等. 矢量式 r =r 0+r
λ（以t 为参数） 式中0r 表示t
r d d 在点M (x 0,y 0,z 0)处的值，λ为另一个参数.
交面式
00
000
000
00y
x
y x x
z
x z z
y
z y F F z z F F y y F F x x ΦΦΦΦΦΦ-=
-=- 式中0x F 表示
x
F
∂∂在M 点的值，等等. 2° 法面 与切线垂直的平面（通过M 的法面上一切直线都称为曲线在M 的法线）.其方程为
参数式 0x
(x -x 0)+0y (y -y 0)+0z (z -z 0)=0（以t 为参数） 式中也可取弧长s 为参数.
矢量式 (r -r 0)r
⋅ =0（以t 为参数）
图 7.18
3° 密切面 通过曲线上三点M ,P ,N 作一平面，当M P N →,时，平面的极限位置（切线在密切面上）.其方程为
参数式 0000000000=---z
y x z y x z z y y x x （以t 为参数） 式中0x
表示22d d t
x
在M 点的值，等等，参数t 也可取为弧长s . 矢量式 ((r -r 0)00r r )=0（以t 为参数）
4° 主法线 法面与密切面的交线.其方程为 参数式 m
l y x z z l n x z y y n m
z y x x 0
00
000000-=
-=-（以t 为参数） 式中
l =
0000z y z y
, m =0000x z x
z
, n =0
000
y x y
x 0
0000z z z y y y x x x ''-=
''-=''-（以s 为参数） 0
x ''表示22d d s
x
在点M 的值，等等. 矢量式 r =r 0+)(000r r r ⨯⨯λ
（以t 为参数）
r =r 0+r ''λ （以s 为参数）
式中λ为另一个参数. 5° 副法线 垂直于密切面的直线.其方程为
参数式
n
z z m y y l x x 0
00-=-=-（以t 为参数） 式中l ,m ,n 如(1)式定义. 矢量式
r 0=r 0+)(00r r ⨯λ （以t 为参数）
6° 从切面 通过切线与副法线的平面.其方程为
参数式 00000
=---n
m
l
z y x z z y y x x （以t 为参数） 0)()()(000000
=-''+-''+-''z z z y y y x x x
（以s 为参数）
矢量式
0))()((0000=⨯-r r r r r
（以t 为参数） 0)(00=''⋅-r r r
（以s 为参数）
[曲率与挠率的计算公式] 1° 曲率
参数式
k =32222222222)
()())((z y x z
z y y x x z y x z y x ++++-++++ （以t 为参数）
k =222z y x ''+''+''
（以s 为参数）
矢量式
k =
3
22
22)(r
r r r r -或3
r
r r ⨯ （以t 为参数） k =r ''
（以s 为参数）
2° 挠率的绝对值 参数式
32222)(z y x k z y x
z y x z y x ++= κ （以t 为参数）
2
22z y x z y x z y x z y x ''+''+'''
'''''''''
''''''''=
κ （以s 为参数）
矢量式
3
22
)(r
r r r k =
κ或2
)
()(r r r
r r ⨯ （以t 为参数）
2
)
(k
r r r ''''''=
κ （以s 为参数）
式中s 为弧长，t 为任意参数，“'”表示对s 求导,“⋅” 表示对t 求导. [雪列-弗莱纳公式（或基本公式）]
ρn t =s d d , τ
ρb
t +-=s n d d ,
τn b -=s d d 式中t ,n ,b 为活动标架的三个基本单位矢量，ρ为曲率半径，τ为挠率半径.这组公式的特点就是基本矢量t ,n ,b 关于弧长s 的导数可以用t ,n ,b 的线性组合来表达，它的系数组成一个反对称方阵：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--01
101010ττρρ 这组公式与s
d d r
=t 合并起来描述了点M 在曲线上移动时活动标架的运动规律.
把活动标架看作一个刚体，就是当M 沿曲线移动时，M 的活动标架好象刚体那样绕M 转动.这时把s 看作时间，则根据运动学的原理可以得出活动标架的瞬时转动速度的表达式为
b t κκω+=
这表明转动矢量落在从法面上.这个瞬时转动矢量称为达布矢量.它仅分解为两个矢量κt 和
κb ，
因此活动标架的瞬时转动可以看作两个转动之和.一个转动对应于κt ,按转动速度的定义，它绕着方向为κt 的轴转动；另一个绕着方向为κb 的轴转动.因此得到曲率与挠率的运动学意义： 曲线的曲率等于活动标架绕着副法线的转动支量，挠率等于绕着切线的转动支量. 最后，由b t κκω+=可以验证，空间曲线的雪列-弗莱纳公式就是
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎨⎧⨯=⨯=⨯=b b n n
t t
ωωωs
s s d d d d d d 这就是雪列-弗莱纳公式的运动学意义.
[基本定理与自然方程] 在一闭区间a ≤s ≤b 上给定任意两个连续函数k (s )和κ(s )，其中k (s )>0，则除了空间的位置差别外，唯一地存在一条空间曲线，它以s 为弧长，可k (s )为曲率，κ(s )为挠率.
方程组
k =k (s ), κ=κ(s )
称为空间曲线的自然方程.
二、 螺旋线的方程与图形
[一般螺旋线] 与柱面母线的交角为定角(α)的空间曲线称为一般螺旋线（或定倾曲线）.这种曲线具有性质：
1° 曲率与挠率的比等于常数(k =κtan α). 2° 切线与一固定方向的交角为定角(α). 3° 主法线与一固定方向垂直.
4° 副法线与一固定方向的交角为定角⎪⎭
⎫
⎝⎛-απ2.
[圆柱螺旋线] 一动点绕一直线作等速转动，并沿这直线作等速移动，则称这个动点的轨迹为圆柱螺旋线（图7.19），其参数方程为
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
±=±=±===βθθπθθ
θcot 2sin cos a h b z a y a x 式中t ωθ=，ω为角速度，h 称为螺距，β称为螺旋角，式中对右螺旋线取正号，对左螺旋线取负号，如果以弧长s 为参数，其方程为 ⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧+±=+=+=222
222
sin cos b a bs z b a s a y b a s
a x 曲率与挠率都是常数：k =
22b a a +, 22b
a b
+±=κ [圆锥螺旋线] 与一圆锥面母线的交角为定角的曲线称为圆锥螺旋线（图7.20），其方程为
图
7.19
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====θβαρραρθαρθαρtan sin exp cos sin sin cos sin 00000z y x 式中0α为圆锥顶角的一半，β为螺旋角，βαρ,,00都是常数.由于这种曲线投影到Oxy 平面上
是对数螺线，所以又称其为圆锥对数螺线.。