(完整word版)新课程标准数学必修5第一章课后习题解答[唐金制]

新课程标准数学必修5第一章课后习题解答
第一章 解三角形
1．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P4）
1、（1）14a ≈，19b ≈，105B =︒; （2）18a ≈cm ，15b ≈cm ，75C =︒.
2、(1）65A ≈︒，85C ≈︒，22c ≈；或115A ≈︒,35C ≈︒，13c ≈; （2)41B ≈︒,24A ≈︒,24a ≈. 练习（P8)
1、（1）39.6,58.2, 4.2 cm A B c ≈︒≈︒≈； （2）55.8,81.9,10.5 cm B C a ≈︒≈︒≈。

2、（1）43.5,100.3,36.2A B C ≈︒≈︒≈︒； （2）24.7,44.9,110.4A B C ≈︒≈︒≈︒. 习题1。

1 A 组（P10)
1、（1）38,39,80a cm b cm B ≈≈≈︒; （2）38,56,90a cm b cm C ≈≈=︒
2、（1）114,43,35;20,137,13A B a cm A B a cm ≈︒≈︒≈≈︒≈︒≈ （2）35,85,17B C c cm ≈︒≈︒≈；
（3）97,58,47;33,122,26A B a cm A B a cm ≈︒≈︒≈≈︒≈︒≈；
3、（1）49,24,62A B c cm ≈︒≈︒≈； (2）59,55,62A C b cm ≈︒≈︒≈； （3）36,38,62B C a cm ≈︒≈︒≈;
4、（1）36,40,104A B C ≈︒≈︒≈︒； （2）48,93,
A B C ≈︒≈︒习题1.1 A 组（P10)
1、证明：如图1,设ABC ∆的外接圆的半径是R ,
①当ABC ∆时直角三角形时,90C ∠=︒时，
ABC ∆的外接圆的圆心O 在Rt ABC ∆的斜边AB 上.
在Rt ABC ∆中，
sin BC A AB =，sin AC
B AB = 即sin 2a A R =,sin 2b B R
= （第1题图1）
所以2sin a R A =,2sin b R B =
又22sin 902sin c R R R C ==⋅︒=
所以2sin , 2sin , 2sin a R A b R B c R C ===
②当ABC ∆时锐角三角形时，它的外接圆的圆心O 在三角形内（图2）， 作过O B 、的直径1A B ，连接1
AC ， 则1A BC ∆直角三角形,190ACB ∠=︒，1
BAC BAC ∠=∠
在1Rt A BC ∆中，
11sin BC
BAC A B
=∠， 即
1sin sin
2a
BAC A R
=∠=, 所以2sin a R A =，
同理：2sin b R B =，2sin c R C =
③当ABC ∆时钝角三角形时，不妨假设A ∠为钝角， 它的外接圆的圆心O 在ABC ∆外(图3） 作过O B 、的直径1A B ，连接1
AC . 则1A BC ∆直角三角形，且190ACB ∠=︒，1
180BAC ∠=︒-∠在1Rt A BC ∆中，1
2sin BC R BAC =∠， 即2sin(180)a R BAC =︒-∠ 即2sin a R A =
同理：2sin b R B =,2sin c R C =
综上，对任意三角形ABC ∆,如果它的外接圆半径等于R ,
则2sin , 2sin , 2sin a R A b R B c R C ===
2、因为cos cos a A b B =，
所以sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B = 因为02,22A B π<<，
（第1题图2）
（第1题图3）
所以22A B =，或22A B π=-，或222A B ππ-=-. 即A B =或2
A B π
+=。

所以,三角形是等腰三角形，或是直角三角形。

在得到sin 2sin 2A B =后，也可以化为sin 2sin 20A B -= 所以cos()sin()0A B A B +-= 2
A B π
+=
,或0A B -=
即2
A B π
+=,或A B =,得到问题的结论。

1．2应用举例 练习（P13）
1、在ABS ∆中,32.20.516.1AB =⨯= n mile ，115ABS ∠=︒，
根据正弦定理，sin sin(6520)
AS AB
ABS =∠︒-︒
得sin 16.1sin115sin(6520)
AS AB ABS =
=⨯∠=⨯︒-︒
∴S 到直线AB 的距离是sin 2016.1sin115sin 207.06d AS =⨯︒=⨯︒≈（cm ）. ∴这艘船可以继续沿正北方向航行. 2、顶杆约长1.89 m. 练习（P15）
1、在ABP ∆中，180ABP γβ∠=︒-+，
180()180()(180)BPA ABP αβαβγβγα∠=︒---∠=︒---︒-+=-
在ABP ∆中,根据正弦定理，
sin sin AP AB
ABP APB
=
∠∠ sin(180)sin()
AP a
γβγα=︒-+-
sin()sin()
a AP γβγα⨯-=-
所以，山高为sin sin()
sin sin()
a h AP αγβαγα-==-
2、在ABC ∆中,65.3AC =m ，25251738747BAC αβ'''∠=-=︒-︒=︒
909025256435ABC α''∠=︒-=︒-︒=︒
根据正弦定理,
sin sin AC BC
ABC BAC
=
∠∠ sin 65.3sin7479.8sin sin6435AC BAC BC ABC '
⨯∠⨯︒==≈'
∠︒m
井架的高约9。

8m 。

3、山的高度为200sin38sin 29382sin9⨯︒︒
≈︒
m
练习（P16） 1、约63.77︒. 练习(P18)
1、（1）约2168.52 cm ； （2）约2121.75 cm ； (3）约2425.39 cm .
2、约24476.40 m
3、右边222222
cos cos 22a b c a c b b C c B b c ab ac
+-+-=+=⨯+⨯
2222222
2222a b c a c b a a a a a
+-+-=
+===左边 【类似可以证明另外两个等式】 习题1.2 A 组(P19）
1、在ABC ∆中,350.517.5BC =⨯= n mile ，14812622ABC ∠=︒-︒=︒
78(180148)110ACB ∠=︒+︒-︒=︒，1801102248BAC ∠=︒-︒-︒=︒
根据正弦定理，
sin sin AC BC
ABC BAC
=
∠∠ sin 17.5sin 228.82sin sin 48BC ABC AC BAC ⨯∠⨯︒
==≈∠︒
n mile
货轮到达C 点时与灯塔的距离是约8。

82 n mile 。

2、70 n mile.
3、在BCD ∆中，301040BCD ∠=︒+︒=︒,1801804510125BDC ADB ∠=︒-∠=︒-︒-︒=︒
1
30103CD =⨯= n mile
根据正弦定理,sin sin CD BD
CBD BCD
=
∠∠ 10sin (18040125)sin 40BD
=∠︒-︒-︒︒
10sin 40sin15BD ⨯︒
=
︒
在ABD ∆中，451055ADB ∠=︒+︒=︒，1806010110BAD ∠=︒-︒-︒=︒
1801105515ABD ∠=︒-︒-︒=︒
根据正弦定理，
sin sin sin AD BD AB ABD BAD ADB ==∠∠∠，即sin15sin110sin55AD BD AB
==
︒︒︒
10sin 40sin15sin1510sin 40sin15 6.84sin110sin110sin 70BD AD ⨯︒
⨯︒
⨯︒⨯︒︒=
==≈︒︒︒
n mile sin5510sin40sin5521.65sin110sin15sin70BD AB ⨯︒⨯︒⨯︒
=
=≈︒︒⨯︒
n mile
如果一切正常，此船从C 开始到B 所需要的时间为： 6.8421.65
206010306086.983030
AD AB +++
⨯+≈+⨯≈ min 即约1小时26分59秒。

所以此船约在11时27分到达B 岛。

4、约5821.71 m
5、在ABD ∆中,700 km AB =,1802135124ACB ∠=︒-︒-︒=︒
根据正弦定理，
700sin124sin35sin21AC BC
==
︒︒︒
700sin35sin124AC ⨯︒=︒,700sin 21sin124BC ⨯︒
=︒
700sin35700sin21786.89 km sin124sin124AC BC ⨯︒⨯︒
+=+≈︒︒
所以路程比原来远了约86。

89 km.
6、飞机离A 处探照灯的距离是4801。

53 m,飞机离B 处探照灯的距离是4704.21 m ，飞机的高度是约4574.23 m 。

7、飞机在150秒内飞行的距离是150
10001000 m 3600
d =⨯⨯ 根据正弦定理,
sin(8118.5)sin18.5d x =︒-︒︒
这里x 是飞机看到山顶的俯角为81︒时飞机与山顶的距离. 飞机与山顶的海拔的差是:sin18.5tan81tan8114721.64 m sin(8118.5)
d x ⨯︒
⨯︒=
⨯︒≈︒-︒
山顶的海拔是2025014721.645528 m -≈
8、在ABT ∆中，21.418.6 2.8ATB ∠=︒-︒=︒，9018.6ABT ∠=︒+︒，15 m AB =
根据正弦定理，
sin2.8cos18.6AB AT =
︒︒，即15cos18.6sin 2.8AT ⨯︒
=︒
塔的高度为15cos18.6sin21.4sin21.4106.19 m sin2.8AT ⨯︒
⨯︒=⨯︒≈︒
9、32618
97.8 km 60
AE ⨯==
在ACD ∆中,根据余弦定理:
AC
101.235=
根据正弦定理，
sin sin AD AC
ACD ADC
=
∠∠ sin 57sin66sin 0.5144101.235
AD ADC ACD AC ⨯∠⨯︒
∠==≈
30.96ACD ∠≈︒
13330.96102.04ACB ∠≈︒-︒=︒
在ABC ∆中，根据余弦定理
:AB
245.93≈
222222
245.93101.235204cos 0.584722245.93101.235
AB AC BC BAC AB AC +-+-∠=
=≈⨯⨯⨯⨯ 54.21BAC ∠=︒
在ACE ∆
中，根据余弦定理：CE
90.75≈
222222
97.890.75101.235cos 0.42542297.890.75
AE EC AC AEC AE EC +-+-∠=
≈≈⨯⨯⨯⨯ 64.82AEC ∠=︒
180(18075)7564.8210.18AEC ︒-∠-︒-︒=︒-︒=︒
所以，飞机应该以南偏西10、
如图，在ABC ∆中,根据余弦定理：
AC
=
37515.44 km =
222222
640037515.44422000.692422640037515.44
AB AC BC BAC AB AC +-+-∠=
≈≈-⨯⨯⨯⨯ 133.82BAC ∠≈︒， 9043.82BAC ∠-︒≈︒ 所以，仰角为43.82︒
11、（1）21
1sin 2833sin45326.68 cm 22
S ac B ==⨯⨯⨯︒≈
（2)根据正弦定理：
sin sin a c A C =，36
sin sin66.5sin sin32.8a c C A =⨯=⨯︒︒
2211sin66.5sin 36sin(32.866.5)1082.58 cm 22sin32.8S ac B ︒
==⨯⨯⨯︒+︒≈︒
（3）约为1597.94 2cm 12、212sin
2
nR n
π. 13、根据余弦定理：222
cos 2a c b B ac
+-=
所以2
22()2cos 22
a a a m c c B =+-⨯⨯⨯
22222()22a a c b c a c ac +-=+-⨯⨯
222222222211
()[42()]()[2()]22a c a c b b c a =+-+-=+-
所以a m
，同理b m
，c m 14、根据余弦定理的推论,222cos 2b c a A bc +-=，222
cos 2c a b B ca
+-=
所以,左边(cos cos )c a B b A =-
222222
()22c a b b c a c a b ca bc +-+-=⨯
-⨯ 222222221
(
)(22)222
c a b b c a c a b c c +-+-=-=-=右边 习题1。

2 B 组（P20）
1、根据正弦定理：
sin sin a b A B =
，所以sin sin a B
b A
= 代入三角形面积公式得2
11sin 1sin sin sin sin 22sin 2sin a B B C
S ab C a C a A A
==⨯⨯= 2、（1）根据余弦定理的推论：222
cos 2a b c C ab
+-=
由同角三角函数之间的关系，sin C = 代入1sin 2
S ab C =，得
12S =
=
=
B （第13题）
1
()()()()4
a b c a b c c a b c a b =
+++-+--+ 记1()2p a b c =++，则可得到1()2b c a p a +-=-，1()2c a b p b +-=-，1
()2
a b c p c +-=-
代入可证得公式
（2）三角形的面积S 与三角形内切圆半径r 之间有关系式122
S p r pr =⨯⨯= 其中1()2p a b c =++，所以()()()
S p a p b p c r p p
---=
=
（3）根据三角形面积公式1
2
a S a h =⨯⨯
所以，22()()()a S h p p a p a p a a a =
=---，即2
()()()a h p p a p a p a a =--- 同理2()()()b h p p a p a p a b =---，2
()()()c h p p a p a p a c
=---
第一章 复习参考题A 组（P24）
1、（1)219,3851,
8.69 cm B C c ''≈︒≈︒≈； （2）4149,10811,
11.4 cm B C c ''≈︒≈︒≈；或13811,1149, 2.46 cm B C c ''≈︒≈︒≈ （3）112,3858,28.02 cm A B c ''≈︒≈︒≈; （4）2030,1430,22.92 cm B C a ''≈︒≈︒≈； (5）1620,1140,53.41 cm A C b ''≈︒≈︒≈； （6）2857,4634,10429A B C '''=︒=︒=︒； 2、解法1：设海轮在B 处望见小岛在北偏东75︒，在C 处望
见小岛在北偏东60︒，从小岛A 向海轮的航线BD 作垂 线,垂线段AD 的长度为x n mile ，CD 为y n mile.
则 tan 30tan 308tan 30tan15tan158
8tan15x x y y x x x x y y ⎧⎧=︒=⎪⎪⎪⎪
︒⇒⇒=-⎨
⎨︒︒⎪⎪=︒=+⎪⎪+︒⎩⎩
8tan15tan304tan30tan15x ︒︒
=
=︒-︒
所以,这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.
3、根据余弦定理：2222cos AB a b ab α=+- 所以 222cos AB a b ab α=+-
222
cos 2a AB b B a AB
+-=⨯⨯
（第2题）
2222
=
=
从B ∠的余弦值可以确定它的大小。

类似地，可以得到下面的值,从而确定A ∠的大小。

cos A =
4、如图，,C D 是两个观测点，C 到D 的距离是d ，航船在时刻
在A 处,以从A 到B 的航向航行,在此时测出ACD ∠和CDA ∠。

在时刻
2t ,航船航行到B 处，此时，测出CDB ∠和BCD ∠. 根 据正弦定理，在BCD ∆中，可以计算出BC 的长，在ACD ∆中，
可以计算出AC 的长。

在ACB ∆中，AC 、BC 已经算出,ACB ACD BCD ∠=∠-∠,解ACD ∆， 求出AB 的长，即航船航行的距离，算出CAB ∠，这样就可以算出航船的航向和速度. 5、河流宽度是
sin()
sin sin h αβαβ
-. 6、47。

7 m 。

7、如图，,A B 是已知的两个小岛，航船在时刻1t 在C 处，以从到D 的航向航行，测出ACD ∠和BCD ∠. 在时刻2t ，航船航行
到D 处，根据时间和航船的速度，可以计算出C 到D 的距离是d ，在D 处测出CDB ∠和
CDA ∠。

根据正弦定理，在BCD ∆中，可以计算出BD 的长，在ACD ∆中,可以计算出AD
的长. 在ABD ∆中，AD 、BD 已经算出，ADB CDB CDA ∠=∠-∠，根据余弦定理，就可 以求出AB 的长，即两个海岛,A B 的距离.
第一章 复习参考题B 组(P25)
1、如图，,A B 处，测出图中AEF ∠，AFE ∠的大小，以及EF 的距离。

定理，解AEF ∆,算出AE 。

在BEF ∆中，测出BEF ∠和∠利用正弦定理，算出BE 。

在AEB ∆中,测出AEB ∠,
理,算出AB 的长. 本题有其他的测量方法。

2、关于三角形的面积公式，有以下的一些公式：
（1）已知一边和这边上的高：111,,2
22
a b c S ah S bh S ch ===；
（2）已知两边及其夹角：111
sin ,sin ,sin 222
S ab C S bc A S ca B ===；
（3）已知三边：S 2
a b c
p ++=；
（4）已知两角及两角的共同边：222sin sin sin sin sin sin ,,2sin()2sin()2sin()
b C A
c A B a B C
S S S C A A B B C ===+++；
（5）已知三边和外接圆半径R :4abc S R
=。

3、设三角形三边长分别是1,,1n n n -+，三个角分别是,3,2απαα-.
由正弦定理，
11
sin sin 2n n αα
-+=
，所以1cos 2(1)n n α+=-. 由余弦定理,222(1)(1)2(1)cos n n n n n α-=++-⨯+⨯⨯.
即2221
(1)(1)2(1)2(1)
n n n n n n n +-=++-⨯+⨯⨯
-，化简,得250n n -= 所以,0n =或5n =. 0n =不合题意，舍去。

故5n =
所以,三角形的三边分别是4，5，6. 可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍. 另解：先考虑三角形所具有的第一个性质:三边是连续的三个自然数。

（1)三边的长不可能是1，2,3。

这是因为123+=，而三角形任何两边之和大于第三边. （2）如果三边分别是2,3,4a b c ===.
因为 2222223427
cos 22348
b c a A bc +-+-=
==⨯⨯ 22717
cos22cos 12()1832
A A =-=⨯-=
2222222341
cos 22234
a b c C ab +-+-=
==-⨯⨯ 在此三角形中，A 是最小角，C 是最大角，但是cos 2cos A C ≠， 所以2A C ≠,边长为2，3,4的三角形不满足条件.
（3)如果三边分别是3,4,5a b c ===，此三角形是直角三角形，最大角是90︒，最小角
不等于45︒. 此三角形不满足条件。

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新课程标准数学必修5第一章课后习题解答
（第11页共9页） （4)如果三边分别是4,5,6a b c ===。

此时,2222225643cos 22564
b c a A bc +-+-===⨯⨯ 2231cos22cos 12()148
A A =-=⨯-= 2222224561cos 22458
a b c C ab +-+-===⨯⨯ 此时，cos 2cos A C =,而02,A C π<<，所以2A C = 所以,边长为4,5,6的三角形满足条件。

（5）当4n >，三角形的三边是,1,2a n b n c n ==+=+时，
三角形的最小角是A ，最大角是C . 222cos 2b c a A bc
+-= 222(1)(2)2(1)(2)
n n n n n +++-=++ 2652(1)(2)
n n n n ++=++ 52(2)
n n +=
+ 1322(2)n =++ 222cos 2a b c C ab
+-= 222(1)(2)2(1)
n n n n n ++-+=+ 2232(1)
n n n n --=+ 32n n
-=
1322n =- cos A 随n 的增大而减小，A 随之增大，cos C 随n 的增大而增大,C 随之变小. 由于4n =时有2C A =，所以,4n >,不可能2C A =.
综上可知,只有边长分别是4，5，6的三角形满足条件.。