广东省中山市普通高中2017-2018学年上学期高二数学期末模拟试题09

第5题图
上学期高二数学期末模拟试题09
满分150分，时间120分钟．
第I 卷 共60分
一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．命题“0x R ∃∈，2
0020x x ++<”的否定是
A ．0x R ∃∈，2
0020x x ++≥ B ．x R ∀∈，2
20x
x ++≥
C ．x R ∀∈，2
20x x ++< D ．x R ∀∈，2
20x x ++> 2．下列有关命题的说法正确的是 A ．命题“若2
1x
=，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”
B ．命题“若x y =
，则22x y =”的逆否命题是假命题C ．命题“若2
2
0a b +≠，则,a b 全不为0”为真命题 D ．命题“若αβ≠”，则cos cos αβ≠”的逆命题为真命题 3．抛物线2
ax y =的焦点坐标为 A ．)0,41
(
a
B ．)0,4
(a
C ．)41
,
0(a
D ．)4
,0(a
4．已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心，若
1AE AA xAB yAD =++，则,x y 的值是
A ．11,22x y =
= B ．11,2x y == C ．1
,12
x y == D ．1,1x y == 5．如图，在正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值
为 A ．10 B ．120- C . 120
D . 10 6．过点(2,2)P -，且与2
212
x y -=有相同渐近线的双曲线方程是
A ．12422=-y x
B ．14222=-x y
C ．1422
2=-y x D ．12
42
2=-x y 7．“方程21x m +2
3y m
=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充分不必要条件是
A ．312
m <<
B ．12m <<
C ．23m <<
D ．13m <<
8．已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线22
:
1169
x y C -=的左右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则sin sin sin A B
P
-的值等于
A B C ．54 D ．4
5
9．已知抛物线x y 42
-=上的焦点F ，点P 在抛物线上，点()1,2-A ，则要使||||PF PA +的值最小的点P 的坐标为
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,41
B ．⎪⎭
⎫
⎝⎛1,41 C ．()22,2-- D ．22,2- 10．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E F 、分别是AB 、中点，GC ⊥平面ABCD ，且2GC =，则点B 到平面EFG 离为 A ．1010 B ．11112 C ．5
3
11．如图，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的四个顶点,,,A B C D 的四边形为菱形，若菱形ABCD 的离心率是 A B C 12．双曲线1
y x
=
的实轴长和焦距分别为 A 2 B ．2, C ．4 D ．
第Ⅱ卷 共90分
二、填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置. 13．已知向量(1,0,1)a =-，(1,2,3),b k R =∈，且()ka b -与b 垂直，则k 等于 .
14．设1F ，2F 是椭圆2
214
x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且120F P PF ⋅=，则△12F PF 的面积为 .
第17题图
15．已知抛物线2
8y x =，F 为其焦点，P 为抛物线上的任意点，则线段PF 中点的轨迹方程是 .
16．有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2点，水
位下降了1米，桥下的水面宽 米.
17．如图，甲站在水库底面上的点D 处，乙站在水坝斜面
上的点C 处，已知测得从C 、D 到库底与水坝的交线
的距离分别为102DA =米、10CB =米，AB 的长 为10米，CD 的长为6 面角的大小为 度.
18．已知平面α经过点(1,1,1)A ，且(1,2,3)n =是它的一个法向量. 类比曲线方程的定义以及求曲线方程的基本步骤，可求得平面α的方程是 .
三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题满分12分）
在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．
(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ；
(Ⅱ) 求二面角C DF E --的余弦值. 20．（本小题满分10分）
已知抛物线2
:4C y x =与直线24y x =-交于A B ,两点. (Ⅰ)求弦AB 的长度；
(Ⅱ)若点P 在抛物线C 上，且ABP ∆的面积为12，求点P 的坐标.
21．(本小题满分12分)
已知双曲线C 与椭圆14
82
2=+y x 3 (Ⅰ)求双曲线C 的方程； (Ⅱ)若直线2:+=kx y l 与双曲线C 有两个不同的交点A 和B ,且2OA OB ⋅>
(其中O 为原点),求k 的取值范围.
22．(本小题满分12分)
A D
F
E
B G C
如图，在平行四边形ABCD 中，01,2,90AB BD ABD ==∠=，将它们沿对角线BD 折
起，折后的点C 变为1C ，且12AC =．(Ⅰ)求证：平面ABD ⊥平面1BC D ；
(Ⅱ)E 为线段1AC 上的一个动点，当线段1EC 的
长为多少时,DE 与平面1BC D 所成的角为0
30？
23．（本小题满分14分）
如图，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，121,,A A B 是椭圆C 的顶点，若椭圆C 的离
心率32e =
，且过点2
(2,
)2
. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)作直线l ，使得21//l A B ，且与椭圆C 相交于P Q 、两点（异于椭圆C 的顶点），设直
线1A P 和直线1B Q 的倾斜角分别是,αβ，求证：αβπ+=.
参考答案
一、选择题：1－12：BDCADB ADABCC 二、填空题：
13．7 14．1 15. 2
44y x =- 16．26 17．135 18.2360x y z ++-=
三、解答题：
19．解: (Ⅰ)证法一：∵//,//AD EF EF BC ， ∴//AD BC . 又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，
∴四边形ADGB 是平行四边形， ∴ //AB DG .
∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ， ∴//AB 平面DEG . 证法二：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直. 以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间
直角坐标系.由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），
C （2，4，0）
，F （0，3，0），D （0，2，2），G （2，2，0） (0,2,2),(2,2,0),(2,0,2)ED EG AB ===-,
设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z = 则00
ED n EG n ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，即220
220
y z x y +=⎧⎨
+=⎩，令1y =,得(1,1,1)n =--.
∴220AB n ⋅=-+=，即AB n ⊥.
∵AB ⊄平面DEG , ∴//AB 平面DEG . (Ⅱ)由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量.
设平面DCF 的法向量为0000(,,)n x y z =，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=，
∴0000
FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00002020y z x y -+=⎧⎨+=⎩
，令01z =,
得0(1,2,1)n =-.
则0cos ,n
EB <>=
=， ∴二面角C DF E --的余弦值为6-
20．解：(Ⅰ)设A （x 1,y 1)、B(x 2,y 2),
由2244y x y x
=-⎧⎨=⎩得x 2-5x +4=0,Δ>0.
法一：又由韦达定理有x 1+x 2=5,x 1x 2=4,
∴|AB
12
|x x
-
=
法二：解方程得：
x =1或4，∴A
、B 两点的坐标为（1,-2)、（4,4） ∴|AB =
(Ⅱ)设点2
(,)4
o
o y P y ,设点P 到AB 的距离为d ,则 d =
∴S △
P A B =
2
1
·53=12，
∴
2
482
o o y y --=. ∴2482o o y y --=±，解得6o y =或4o y =-
y
z
x
∴P 点为（9，6）或（4，-4）.
21．解：(Ⅰ)设双曲线的方程为)0,0(122
22>>=-b a b y a x ,2,3==c a ,1=∴b ,
故双曲线方程为13
22
=-y x . (Ⅱ)将2+=kx y 代入13
22
=-y x 得0926)31(22=---kx x k 由⎩⎨⎧>∆≠-0
0312k 得,312
≠k 且12<k
设),(),,(2211y x B y x A ,则由2>⋅得 )2)(2(21212121+++=+kx kx x x y y x x =2)(2)1(21212++++x x k x x k
2231262319)
1(2
22
>+-+--+=k k k k k ,得.3312<<k 又2
1k <，21
13
k ∴<<,即)1,33(33,1( --∈k 22． (Ⅰ)
22211112AC AC AB BC AB BC =⇒=+⇒⊥
又AB BD ⊥，111,,BC BD BC D BC BD B ⊂⋂=平面
1AB BC D
∴⊥平面
AB ABD
⊂平面
∴平面ABD ⊥平面1BC D
（Ⅱ）在平面1BC D 过点B 作直线l BD ⊥,分别直线,,l BD BA 为x ，y ，z 建立空间直角坐标
系B-xyz
则A(0,0,1)，C 1(1,2,0)，D(0,
2,0)
∴),1,2,0(),12,1(1-=-=AC )1,0,0(=
设1(,)AE AC λλλ==-
，则(,1),[0,1]E λλλ-∈ ∴)1,22,(λλλ--=
又)1,0,0(=是平面BC 1D 的一个法向量
依题意得sin 30|cos ,|o
BA DE =<>
，即1|2
=
解得2
1=λ，即1||1C E =时，DE 与平面1BC D 所成的角为0
30．
23. 解：
（Ⅰ）由已知得：
2222222
112c a
a
b c a b ⎧=⎪
⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩
∴2,1a b ==，∴椭圆C 的方程为
2214x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）知：1(2,0)A -，2(2,0)A ，1(0,1)B
21//l A B ∴2112l A B k k ==-
故可设直线l 的方程为1
2y x m =-+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y
由2
21412
x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得222220x mx m -+-= ∴2244(22)0m m =-->
，即m <<,212122,22x x m x x m +==-
,P Q 异于椭圆C 的顶点，∴,2
2
π
π
αβ≠≠
,
∴111tan 2A P y k x α==
+，122
1
tan B Q y k x β-==
∴tan tan αβ+=
121212y y x x -+=+211212(2)(1)(2)x y x y x x ++-=+21122112
22
(2)x y x y y x x x +---+ 1112y x m =-+，221
2
y x m =-+
∴tan tan αβ+=21122112
111
()()2()2
222(2)x x m x x m x m x x x -++-+--+--+
121212(1)()22(2)m x x x x m x x -+-+-=+2122(1)(22)22(2)m m m m x x ---+-=
+0= ∴tan tan tan()01tan tan αβ
αβαβ
++=
=-
又,(0,)αβπ∈，∴ (0,2)αβπ+∈,故αβπ+=.。