贝尔图像插值算法及压缩算法的研究

目录
第一章绪论 (1)
1.1 论文的研究背景及意义 (1)
1.2 贝尔图像插值及压缩的研究现状 (2)
1.2.1 贝尔图像插值的研究现状 (2)
1.2.2 贝尔图像压缩的研究现状 (3)
1.3本文研究内容 (4)
1.4论文的组织 (5)
第二章相关理论基础 (6)
2.1 贝尔图像相关技术 (6)
2.1.1 图像传感器 (6)
2.1.2 贝尔模板 (7)
2.2 插值相关技术 (7)
2.3 彩色模型 (8)
2.4 小波变换相关技术 (14)
2.4.1 正交多小波的理论 (15)
2.4.2 对称-反对称正交多小波 (18)
第三章贝尔图像的低复杂度插值方法研究 (22)
3.1 低复杂度插值算法 (22)
3.1.1插值方向判别法 (22)
3.1.2 高质量的绿分量插值 (24)
3.1.3 基于色差模型的插值后处理过程 (26)
3.1.4 重构全彩图像 (32)
3.2 实验结果及分析 (33)
3.2.1 复杂度分析 (33)
3.2.2 图像质量分析 (35)
3.3 本章小结 (38)
第四章多小波贝尔图像有损压缩研究 (39)
1
4.1 多小波的选择 (39)
4.2 贝尔图像的多小波子带统计特性及研究 (39)
4.2.1 多小波子带图像的系数统计分析 (39)
4.2.2 多小波子带系数在各子带内的权重分析 (47)
4.2.3 多小波子带图像在恢复图像时的权重分析 (52)
4.3 贝尔图像的多小波子带系数量化 (55)
4.3.1 多小波子带的量化分析 (55)
4.3.2 多小波子带系数的量化 (55)
4.4 贝尔图像多小波系数的编码算法 (57)
4.4.1 多小波子带系数的熵编码 (57)
4.4.2 实验结果及分析 (57)
4.5 本章小结 (59)
结论 (58)
5.1 总结 (58)
5.2 展望 (58)
参考文献 (60)
攻读硕士学位期间发表的论文 (66)
致谢...................................................... 错误!未定义书签。

2
第一章绪论
1.1 论文的研究背景及意义
视觉是人类最高级的感知器官，所以图像在人类感知中扮演者重要的角色，这是毫无疑问的。

图像作为信息载体的重要组成部分，在信息的传递过程中起着举足轻重的作用。

当今世界，数字图像技术正以其精确的复制能力，快速的转移能力，高效的检索能力，海量的存储能力，无限的创造能力等方面的优势，受到人们的大力推崇。

相对于模拟图像技术，数字图像技术它不会因图像的存储、传输或复制等一系列变换操作而导致图像质量的退化。

只要图像在数字化时准确地表现了原稿，则数字图像处理过程始终能保持图像的再现。

而有关数字图像技术的软硬件系统也引起了学术界的高度重视,并被广泛应用于航空航天、军事、医疗、视频监控等多个领域，其重要性不言而喻。

数字图像技术的实现主要依靠图像传感器和数字图像处理器为核心的硬件设备和完成需求的相应软件模块——数字图像处理软件[1][2]。

没有软件模块也就没有数字图像一说。

为了减少成本和体积，大多数消费级电子产品，诸如数码相机、摄像机设备都等彩色成像设备都使用带有彩色滤波阵列CFA(Color Filter Array) 的单CCD或CMOS传感器来捕获图像和视屏。

贝尔(Bayer)模板是最常用的CFA阵列模板结构，CFA结构类似蜂窝状（美国成为马赛克）滤色版，下面附有感光元件。

在这种阵列的结构当中，像素位置以间隔方式放置红、绿、蓝三种颜色的滤镜，为了符合人眼对彩色的敏感性规律，绿色滤镜的数量为红色滤镜（或蓝色滤镜）的两倍。

带有彩色滤波阵列CFA的单CCD或CMOS传感器捕获来的图像经过的第一步数字图像处理过程是“插值”。

插值（Interpolation/resampling）是一种图像处理方法，它可以为数码图像增加或减少象素的数目。

一些数码图像产品运用插值的方法创造出比传感器实际能产生像素更多的图像，或创造数码变焦产生的图像。

可见插值在整个数码相机或数码摄像机相关处理过程中的重要性。

CFA插值算法已经发展多年，从早期简单的几种线性算法已经发展到现在各种各样的混合算法。

CFA插值以及相应处理增加了图像质量的同时也增加了数据量和信息冗余，对于实
3
时性、低能耗、小体积的便携式设备对图像的存储性能提高是非常不利的。

在社会生活以及国防领域等方面无时无刻不存在的大量的信息用数学进行存储和传送，而数字化后的图像信息量庞大且伴随着接受图像信息的需求日益迫切，图像信息处理、存储和传输的作用也日渐突出。

因此提高信息传输率、减少信息存储量迫在眉睫。

所以在数字图像领域中，图像数据压缩方法具有重要的理论和实际意义。

目前采用JPEG2000技术对CFA插值后得到的全彩色图像进行压缩，取得了较好地效果，但信息量较大的问题却没有得到的很好的解决。

贝尔图像数据量仅为全彩图像的三分之一，直接压缩贝尔图像避免了复杂的获得全彩色图像的过程，不需要进行计算量庞大的插值重建及全彩图像压缩处理，可大大增加每秒实时存储的图像数量，在便携式成像设备中有很好的应用前景。

如何使数码图像设备兼顾改善图像质量和提高存储能力的需求是人们致力于研究的方向。

1.2 贝尔图像插值及压缩的研究现状
1.2.1 贝尔图像插值的研究现状
4
文献[7,8]中，大大改善了上述存在问题，但算法复杂度很高，需要进行复杂的矩阵运算和许多非线性操作，即使是在PC机上离线实现也消耗庞大的计算资源。

针对前述各种算法的问题，近年来出现许多迭代算法的研究，进一步改善重构图像的质量。

迭代算法的基本思想是基于全彩图像的给出代价函数在初始插值基础上，认为各分量图像之间存在强烈的相关性，改善一个分量图像的插值效果也会同样改善其它分量图像的插值效果。

Gunturk 等人于2002年提出的交替投影插值法[9]，常被许多新出现的优秀插值算法作为图像质量比较的基准。

其主要思想是基于彩色分量图像之间的强烈相关性，利用绿色分量的高频成分改善红或蓝分量图像的细节，有效地消除由于贝尔模板降采样导致的频谱混叠，提高图像质量。

按照主客观评价标准，尽管图像质量较好，但复杂度仍较高。

可以看出，迭代法能够产生较好的图像质量，特别在边缘部分取得了很好的质量。

同时，也存在四个主要问题：第一，在边缘效果改善的同时平滑区域会出现变形现象；第二，由于迭代过程是非凸的，因而无法保证收敛；第三，计算复杂度仍然太高；第四，贝尔模板加入噪声时，重构图像质量无法保证。

1.2.2 贝尔图像压缩的研究现状
(1)基于小波包变化的编码方法；
5
(2)结构分离变换法；
(3)基于光栅扫描的贝尔图像无损压缩；
(4)采用标准JPEG-LS，在ROI（感兴趣区域）内无损压缩，其他区域采用参数控
制的近无损压缩。

贝尔图像压缩的研究大多采用结构分离变换。

在尽可能降低复杂度的同时，得到更高的压缩比。

其方法种类繁多，从信息保持方面考虑，可分为两大类：信息保持编码和信息有损编码。

信息保持编码主要对于图像数据进行无损的数据压缩和解压缩。

无损压缩主要利用数据之间的相关性、可预测等进行压缩，由于受输出码率的影响，无损压缩方法不能满足图像存储和传输的要求。

达到减少数据长度，从而满足对码率的要求提高了压缩程度，主要用于广播电数据传真等方面。

大多数的贝尔图像压缩使用结构分离变换。

在同一时间，尽可能地降低复杂度，以获得更高的压缩比。

从维护的信息量方面考虑，可分为两类：信息保持编码和有损编码。

信息保持编码主要对图像数据的数据进行无损压缩和解压。

由于无损压缩输出受比特速率的影响，该方法不能满足图像存储和传输的要求。

信息有损编码是通过允许一定的失真，以减少的数据的长度，满足要求的比特率，以改善压缩的程度。

主要用于广播电视及数据传真等方面。

1.3本文研究内容
论文研究内容可归结为以下方面：
（1）本文提出一种低复杂度的贝尔图像插值的方法。

为使用二进制方向识别的每个像素，从标识位得到垂直，水平两个方向，利用的色彩空间相关性，重构图像中的绿色分量。

接着，通过对每个颜色通道的高频分量之间的相关性分析，用重构的绿色分量的高频部分有效地改善了混叠失真严重的红（蓝）分量图像。

该方法在实际使用中，获得了满意的图像质量，并且计算结构简单，特别适合于低成本，低功率的数字产品。

（2）提出一种对贝尔图像采用正交多小波SA4进行一层分解。

分析多小波子带系数的统计特征，以及子带图像在恢复图像时的权重，划分准则以样本标准偏差为量化区间，以实现不同压缩比的量化编码方案。

多小波变换以其优异的时域局部能力和良好的去相关能力在图像压缩编码领域得到广泛应用。

6
1.4论文的组织结构
本文分五章，本章为绪论，其它各章内容安排如下：
第二章给出了贝尔图像插值和有损压缩的相关技术基础，并补充了一些有关图像方面的知识。

第三章在提出简单的二进制方向判断法基础上，给出了一种基于色差空间的绿色分量插值办法。

通过复杂性分析，该方法很容易在硬件中实现。

第四章在分析贝尔图像多小波SA4子带的统计特性基础上，给出了贝尔图像量化编码的方法。

第五章在总结全文的情况下，回顾全文指出了有待改善的几个方面。

7
第二章相关理论基础
2.1 贝尔图像相关技术
2.1.1 图像传感器
数码相机英文全称：Digital Still Camera (DSC)，简称：Digital Camera (DC)，是数码照相机的简称，又名：数字式相机。

数码相机，是一种利用电子传感器把光学影像转换成电子数据的照相机。

数码相机与普通照相机在胶卷上靠溴化银的化学变化来记录图像的原理不同，数字相机都是使用电荷藕合元件(Charge Coupled Device, CCD)和互补性氧化金属半导体[11] (Complementary Metal-Oxide Semiconductor, CMOS)作为感光元件。

8
9 号转变为数码讯号输出。

然而，CMOS 的缺点就是太容易出现杂点，这主要是因为在处理快速变化的影像时，电流变化过于频繁而会产生过热的现象。

但经过不断的技术改建，特别是降噪技术的提高，CMOS 已经逐步成熟，在一些高端产品上都采用了CMOS 为感光元件。

2.1.2 贝尔模板
出于减小体积、降低功耗和降低成本等多方面因素的考虑，绝大多数数码影像设备采用单图像传感器。

CCD
或CMOS 图像传感器本身是一个单色电子元件[12]，在传感器每一个感光单元上覆盖一层光学滤镜，只能允许某一种波段的光偷过，通过感应光线亮度来代表该波段所代表颜色的色度和亮度。

如图2-1所示。

贝尔模板作为最经典的阵列，由于可以适应很宽的色温和光强度动态范围，使用广泛且关于贝尔模板的研究也最多。

一组红色和绿色滤镜以及一组绿色和蓝色滤镜被交替使用， 其中绿色像素占总像素的1/2，红色和蓝色只占1/4。

这是由于人眼绿色更敏感，能够区分更多的细节，看到的图像亮度合适的，更接近实际的颜色[13,14]。

在同一时间，绿色也占据了在可见光谱中的最重要和最宽的位置。

理论上讲，贝尔图像传感器相对于其他模板的传感器与人眼的视觉特性较为接近
[15]。

从制造工艺讲，贝尔模板图像传感器的成本较低，技术成熟。

2.2 插值相关技术
为了重构的全彩图像，估计其他两个缺少的颜色分量的值是必要的，这种方法通常被称为彩色插值方法(Color Interpolation)或彩色去马赛克（(Color Demosaicking)）处理，如图2-2。

CFA 插值的方法是估计每一个像素丢失的颜色上，并不会产生多余的像素。

可以理解为一个数学公式，在周围像素色彩的基础上计算出某一像素丢失另外两个像素的颜色值，从而使由传感器获得的图像成一个全彩图像（例如RGB24bit/pixel）。

插值算法的好坏对图像质量的影响很大。

2.3 彩色模型
某个三维颜色空间中的一个可见光自己就是颜色空间，它包含某z个颜色的域的所有颜色。

颜色模型的用途是在某个颜色域内方便地指出颜色，因为每个颜色域都是可见光子集，所以任何一个颜色模型都不能包含所有可见光[16]。

贝尔插值的实质是颜色插值。

1. RGB彩色模型
对亮度比例为1.0000：4.5907：0.0601时就能匹配出等能白光，所以CIE选取这一比例作为红、绿、蓝三原色的单位量。

RGB彩色模型可用图2-3所示的单位立方体模型表
示。

10
RGB 模型是最常用的面向硬件设备的颜色模型。

根据人眼的结构，所有的颜色均为红，绿和蓝三种基色以不同比例组合。

三基色相互独立，任何一种颜色均不能被其他两种颜色混合产生。

在颜色匹配实验[16]中，当R 、G 、B 相对亮度比为1.0000:4.5907:0.0601时能互相匹配出等能量的白光，CIE 选择这个比例的红色，绿色和蓝色定为三原色的单位量。

如在图2-3中所示的单位立方体模型。

在RGB 立方体模型中，坐标原点对应黑色，三个分量值都为零；距原点最远的顶点（1，1，1，）对应白色；从黑到白的灰度值分布在这两个点的连线上，该线称为灰色线。

坐标轴上的顶点应于三基色：红、绿、蓝，其余各点分别对应不同的颜色，并由从原点分布的向量来定义。

在RGB 模型中，所表示的图像由3个图像分量组成，每一图像分量都是其原色图像。

由于RGB 是加性原色，所以RGB 颜色空间属于加性色彩空间，这说明该颜色域内的其他所有颜色都可以通过红、蓝三原色色光的适当混合调配出来。

如果将单位量的红、绿、蓝光分别用)(R 、)(G 、)(B 表示，用R 、G 、B 表示匹配待配色所需要的三色系数，则待配色光F 达到匹配时，用颜色方程表示：
)()()(B B G G R R F ⋅+⋅+⋅=
(2-1)
式中的相等指的是在人眼视觉上的相等，而且合成彩色的亮度等于各个分量的亮度
之和。

国际上按照“标准观察者”测定三色系数后绘制出图2-4，即物理三基色的混色曲线，其中分布色系数指的是配出单位辐射功率的各铺色光所需要的三色系数。

2. CIE-XYZ 模型
由于CIE 确定的RGB 色度系统的色彩匹配函数在某些波长上出现负值，而实际上不在存在负光强。

为了消除RGB 彩色组合函数中负数激励的存在，CIE 提出了一种新的专门用于计算的颜色模型即XYZ [16]模型，也称为CIE1931标准色度系统。

这里采用新的计色单位)(X 、)(Y 、)(Z 由于它们并不代表实际的颜色，故无法用波长表示，然而任何一种F 都可以用三个计色单位来表示：
)()()(Z Z Y Y X X F ⋅+⋅+⋅=
(2-2)
式中，X 、Y 、Z 为三计色单位的三色系数。

同一颜色F 的CIE RGB 三刺激值（R ，G ，B ）与CIE XYZ 三刺激值（X ，Y ，Z ）课通过如下方程相互转换：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡B G R Z Y X 990.0010.00011.0812.0177.0200.0310.0490.0 (2-3)
图2-6显示了用XYZ 组合可见光谱的混色曲线图，其中Y 曲线与图2-5中的人眼的绿色敏感特性曲线一致，所以一般认为绿色是与亮度相关的信号，而红色与蓝色被认为是
与色度相关的信号。

3. CIELAB彩色表示
为了与人的视觉系统所感觉的色彩信息直接相关，CIE又提出了一种彩色空间模型CIE-L*a*b*，也称为CIELAB[17]。

CIELAB颜色由光亮度分量L*和两个色度分量a*、b*组成。

其中L*表示亮度；a*表示红减绿，其在正向的数值越大表示越红，负向的数值越大表示越绿；b*则表示绿减蓝，在正向数值越大表示越黄，在负向数值越大表示越
蓝。

CIELAB 颜色和设备无关，无论使用何种设备（如显示器、打印机、计算机和扫描仪）创建和输出图像，这种模型都能生成一致的颜色。

L*a*b*颜色模型由CIE －XYZ 经过变换可以得到，对应的转换关系如下：
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎪
⎨⎧⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⋅=***)()(200)()(500)(11600000Z Z h Y Y h b Y Y h X X h a Y Y
h L (2-4)
式中：
⎪
⎩
⎪⎨⎧≤+>=008856
.011616
787.7008856.0)(3
/1q q q q q h (2-5)
其中0X 、0Y 、0Z 为参考的白色三激励。

L*a*b*彩色空间是比色的，即与感觉色相匹配的编码，即在各种色调中感觉彩色差别一致，独立于设备的。

L*a*b*没有直接可显示的格式，需要变换到另外的彩色空间。

2.4 小波变换相关技术
泛用于许多问题的变换研究中。

从此，小波变换越来越引起人们的重视，其应用领域来越来越广泛。

数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier 分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究[18]都取得了有科学意义和应用价值
的成果。

2.4.1 正交多小波的理论
对于r 重多小波系统，()()T
r x x x φφφ),...,()(1=是紧支撑的正交尺度矢量，产生()
R L 2空间的多分辨率分析(MRA){}Z j j V ∈，表达式为：
()R L V V V 2101⊂⊂⊂⊂⊂- (2-7)
其中{}0)2(::V f f V j j ∈⋅=-，Z j ∈。

矢量φ具有以下特性：
（1）、存在r r ⨯阶矩阵{}k P 使φ满足尺度方程
∑∈-=Z
k k k x P x )2()(φφ (2-8)
（2）、{}r i Z k k i ,...,1,:)(=∈-⋅φ的整数移位构成0V 的正交基。

与φ有关的是正交多小波矢量T r x x x ))(),...,(()(1ψψψ=，具有以下性质： （1）、存在r r ⨯阶矩阵{}k Q 使得
∑∈-=Z
k k k x Q x )2()(φψ (2-9)
（2）、{}r i Z k k i ,...,1,:)(=∈-⋅ψ的整数位移构成0W 空间的一组正交基，而0W 是1V 中
0V 的正交补集。

i φ和i ψ分别为多尺度函数和多小波函数，矩阵序列{}k P 和{}k Q 分别为低通和高通序
列。

我们常说{}k k Q P ,（或{
}ψφ,）构成正交多小波系统。

{}k P 和{}k Q 的傅立叶变换是：
∑∈-=
Z k jk k e P P ωω21:)(，∑∈-=Z
k jk k
e Q Q ω
ω21:)(，1-=j (2-10) φ和ψ的正交性满足下面的完美重建的条件：
r r I P P P P ⨯=+++)()()()(**πωπωωω (2-11a) r r Q P Q P ⨯=+++0)()()()(**πωπωωω (2-11b) r r I Q Q Q Q ⨯=+++)()()()(**πωπωωω (2-11c)
其中上角标*表示共扼转置。

式(2-11)等价下面的等式：
r r i Z
k T i k k I P
P ⨯∈+=∑0,22δ (2-12a)
r r Z
k T i
k k Q
P ⨯∈+=∑02 (2-12b) r r i Z
k T i
k k
I Q
Q ⨯∈+=∑0,22δ (2-12c)
其中
⎩⎨
⎧==其他
,0 ,1,j
i j i δ，Z i ∈ (2-13)
特别的，当{}k P 满足式(2-11)或(2-12)时，称{}k P 为共扼正交滤波器（CQF ）。

为了与标量系统中的CQF 进行区别，本节称{}k P 为矩阵CQF （MCQF ）。

()ωP 的转换算子定义如下：
⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=πωπωπωωωωω222222:)(**P H P P H P H T P (2-14)
算子刻画了φ的正交性。

当且仅当{}k P 为矩阵CQF ，它的转化算子P T 满足条件E [44]，则尺度函数矢量φ是正交的。

定义矩阵：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=
111121U ，⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=1001S ，
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110A 上角标＃表示矩阵U 进行变换后得到的矩阵。

用来表示处理后的矩阵元素和多尺度、多小波函数。

例如：令
1#-=U UP P k k , (2-15)
其中：()()2
1,==j i ij k k p P 和()()2
1,#
#==j i ij
k k p P 。

序列{}L
k k P 0=满足式(2-16)：
0P 和L P 为非零矩阵 (2-16a)
S SP P k L k -=,L k ,...,1,0=，其中)1,1(-=diag S (2-16b)
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=λ001)0(P , 1<λ (2-16c) 将上述条件简记为条件SA 。

第二个条件(2-16b)说明相应的多尺度函数是一组对称-反对称对。

引理2.1：令{}L
k k P 0=为满足条件SA 的MCQF ，那么下面的每个矩阵序列：
（1）{}L
k k SP 0=； (2-17a)
（2）{}L
k k S P 0=； (2-17b)
（3）{}L
k k S SP 0=； (2-17c)
也构成满足条件SA 的MCQF 。

单小波是将低通序列{}k P 顺序反转，符号交替改变即可得到对应的高通序列{}k Q 。

而对于多小波，Lawton 等人[19]提出了一种通用的方法，运用矩阵扩展技术得到高通序列。

下面介绍满足条件SA 的正交多小波系统。

给出由{}k P 构造{}k Q 的两个具体表达式。

命题2.1：令低通序列{}1
20-=N k k P 是一个满足条件SA 的矩阵CQF 。

如果T i k N k AP P 212---,
1,...,1,0--=i N k ，1,...,1,0-=N i 为对称阵，那么高通序列可由式(2-18)得到。

A P Q k N k k --+-=121)1(，N k 2,...,1,0= (2-18)
如果{},,,...,,122210--N N P P P P 是低通序列，那么{}A P A P A P A P N N 011222,,...,,----就是对应的高通序列。

应该指出，并不是所有的低通序列都满足命题2.1。

命题2.2给出满足其他条件的低通序列构造高通序列的一个表达式。

命题 2.2：令低通序列{}1
20-=N k k P 是一个满足条件SA 的矩阵CQF 。

如果矩阵
T i k k T i k k AP P AP P 22121222++++-,1,...,1,0--=i N k , 1,...,1,0-=N i 反对角线上的元素和为零，那
么高通序列通过式(2-19)得到：
A P Q k k 122+-=, A P Q k k 212-=+， 1,...,1,0-=N k (2-19)
满足条件SA 的正交多小波系统的低通矩阵序列{}1
20-=N k k P 变换后的低通矩阵序列
{}
1
20
#-=N k k P 形式为：
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=----+2241
24122#k N k N k k
k
a a a a P ，12,,1,0-=N k (2-20)
即，如果用矩阵#k P ，12,,1,0-=N k 中第一行元素构成一个标量序列{}1
40-=N k k a ，那么可以通过反转标量序列{}1
40-=N k k a 的顺序得到矩阵#k P 的第二行元素。

如果序列{}1
40-=N k k a 是
标量CQF ，那么满足
1120
2=∑-=N k k
a
，
11
20
1
2=∑-=+N k k a
(2-21)
即得⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡=21212121
#
k P 。

令{}
120#
-=N k k P 是矩阵CQF ，{}1
40-=N k k a 可以得到：
0,44140
2i i
k i N k k a
a δ=+--=∑， Z i ∈ (2-22a)
04144140
=-----=∑k
i N i N k k
a
a ，Z i ∈ (2-22b) 04141
40
=-+--=∑k
i N N k k a
a ， Z i ∈ (2-22c)
很明显，如果一个标量序列满足式(2-22)，那么对应的矩阵CQF 可通过式(2-20)得到。

注意到标量CQF 满足式(2-22a)，但不满足式(2-22b)和式(2-22c)。

2.4.2 对称-反对称正交多小波
下面介绍由单正交小波的低通序列构造对称-反对称正交多小波的两种方法。

方法1：单小波{}1
20-=N k k h 插入零使小波长度加倍，可以是如下形式：
{}0,0,,,,0,0,,122210--N N h h h h 或{}122210,,,0,0,,,0,0--N N h h h h 。

新序列满足式(2-22)。

引理
2.2证实了这个结果。

引理2.2：令{}1
20-=N k k h 是标量CQF ，用式(2-23)构造长度为4的序列{}1
40-=N k k a ：
()k k h a 24121
ξ-=
，()121412
1++-=k k h a ξ，()k k h a 224121ξ+=+ ()123412
1
+++=
k k h a ξ，1±=ξ，1,...,1,0-=N k (2-23)
那么这个长度4N 的序列也是标量CQF 。

定理2.5：{}1
40-=N k k a 是由式(2-23)得到的标量CQF ，
通过式(2-20)构造矩阵序列{}1
20-=N k k P 。

那么{}1
20-=N k k P 为矩阵CQF ，其对应的高通矩阵CQF 由命题2.2构造。

如果转换算子P T 满
足条件E ，那么{}1
20,-=N k k k Q P 构成满足条件SA 的长度为2N 的正交多小波系统。

定理2.5给出长度为4N 的标量序列构造长度为2N 的正交多小波系统的方法。

下面介绍用另一种方法得到满足式(2-22)的标量序列。

方法2：令标量序列{}1
40-=N k k b ，其中
()k k k b b 21
121++-=τ， 1±=τ ，12,...,1,0-=N k (2-24)
满足式(2-22b)和(2-22c)。

只要这个标量序列是CQF ，那么该标量序列也满足式(2-22a)。

容易检验，由式(2-20)构造的低通序列{}k P 满足命题2.1，那么其相应的高通序列可由式(2-17)得到。

定理2.6：令{}1
40-=N k k b 满足式(2-18)的标量CQF ，通过式(2-13)构造矩阵序列{}1
20-=N k k P 。

那么{}1
20-=N k k P 为矩阵CQF ，其对应的高通矩阵序列{}1
20-=N k k Q 由命题2.1构造。

此外，如果
转换算子P T 满足条件E ，那么{}1
20,-=N k k k Q P 构成满足条件SA 的长度为2N 的正交多小波
系统。

定理2.6给出长度为4N 的标量序列构造长度为2N 的正交多小波的第二种方法。

引理2.3：令{}1
20-=N k k h 是长度为2N 的标量CQF ，式(2-25)构造满足()k k k b b 21
121++-=τ，
1±=τ，12,...,1,0-=N k ，长度为4N 的序列{}1
40-=N k k b ：
()122421
+-=
k k k h h b τ，()k N k N k h h b 212222242
1----++=τ，1,...,1,0-=N k (2-25) 那么序列{}1
40-=N k k b 是标量CQF 。

反之，如果{}1
40-=N k k b 是满足式(2-24)的长度为4N 的标量CQF ，长度为2N 的序列{}1
20-=N k k h 如式(2-26)：
k k N k b b h 44242+=--，()k k N k b b h 442412+=--+τ，1,...,1,0-=N k (2-26)
那么{}1
20-=N k k h 是标量CQF 。

给定一个长度为2N 的标量CQF ，方法1或方法2构造长度为2N 的矩阵CQF 。

方法2利用引理2.3和式(2-15)得到：
⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡-++++----+-++-=--------2444244424442
4442)1()1()1()1()1()1()1()1(21k N k k N k k N k k N k k b b b b b b b b P ττττττττ
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++--++-++---++=
--+--+--+--++444244
4424444244
442412)1()1()1()1()1()1()1()1(21k N k k N k k N k k N k k b b b b b b b b P ττττττττ 1±=τ (2-27)
注意到，计算标量序列{}k b 时τ的取值和式(2-27)是一样的。

方法1通过式(2-27)和式(2-25)得到{}k h 表示的k P 。

为了说明和方法2的联系，式(2-26)给出{}1
40-=N k k b 表示的k P 。

当1-=τ时有：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-+++-----+-++-=
--------24442444244424442)1()1()1()1()1()1()1()1(21k N k k N k k N k k N k k b b b b b b b b P ττττττττ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++--++++--++=
--+--+--+--++444244
4424444244442412)1()1()1()1()1()1()1()1(21k N k k N k k N k k N k k b b b b b b b b P ττττττττ
1±=τ (2-28) 当1-=τ时，矩阵CQF 中k P 2和12+k P ，1,...,1,0-=N k 交换得到1=τ的矩阵CQF 。

我们采用方法2，以长度为4的标量正交小波构造长度为4的多小波系统为例说明。

令长度为4的正交标量小波[20]低通序列{}3
0=k k h 为：
1)1(20+-=
v v v h ，1121+-=v v h ，1122++=v v h ，1
)
1(2
3++=v v v h (2-29) 由式(2-25)，{}3
0=k k h 得到长度为8的标量CQF {}7
0=k k b ：
()()()
20121v v v b ++-=
τ,()()()21
121v v v b
++--=
ττ,()()()
22
1211v v v b +++=τ ()()
()
231211v v v b +++=ττ,()()()
241211v v v b +-+=
τ,()()()
25
1211v v v b
+-+-=
ττ
()()()
26121v v v b +--=
τ,()()()
2
7
121v v v b
+---=
ττ (2-30) 然后，应用式(2-27)得到长度为4的矩阵低通序列{}3
0=k k P ：
()
()(
)()
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡----+=
1111121
22
222
0v v v v v P ττ
()
()()
()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-----+=2222211111121
v v v v v P ττ S SP P 12=,S SP P
03= (2-31) 通过改变参数v 的值设计不同的滤波器
第三章贝尔图像的低复杂度插值方法研究
早期相机的成像处理，由于硬件条件的限制，往往会使用算法简单、速度快、插值算法，如最近邻插值和样条插值，但插值后图像质量很差，严重时会出现伪彩和锯齿状失真问题。

随着对自然图像的颜色区域研究和深入的理解，出现许多更有效的但相对复杂的计算方法，这些方法或使用的图像的颜色通道之间的相关性，或者通过使用图像的纹理特征，已牺牲处理时间作为代价，大大提高插值图像质量。

但是，在某些需要快速处理的图像的场合，如何降低在数码相机图像处理芯片中的插值算法的复杂性已成为当务之急，鉴于此，本章介绍的贝尔图像插值的方法，该方法适合于硬件实现。

3.1 低复杂度插值算法
3.1.1插值方向判别法
在图像的边缘区域，色度和亮度信息往往有较大的突变。

如果对所有像素使用相同的插值规则显然是不合理的，特别是在高频区域内的边缘或纹理出现明显的失真，在图3-1中可见栅栏处伪彩清晰。

这是因为当图像从低频区域到高频区域变化时，插值不是沿边缘，而是通过边缘，或者说是不同的插入信号插值步调不一致引起的色调变化，导致产生杂色。

为避免插值跨越边缘，需要计算方向算子。

而Kimmel 等人[21]早已提出计算八个方向的边缘算子，尽管该算法在PC 机的仿真上有着不错的效果，但是算法复杂，计算量大，并不适合低功耗、低成本的数字产品实现。

在上述要求的基础上，本节提出了一种算法仅通过绿色像素判断插值方向。

并引入一个方向标志位的概念，因为每个像素都有一个邻域，与邻域内的其他像素都存在不同程度的相关性，我们认为每个像素都有方向标志位，定义为flag 。

若1=flag ，则当前像素与水平方向的像素相关性强，在该方向存在边缘的概率大，反之，若0=flag ，则当前像素与垂直方向的像素相关性强，在该方向存在边缘的概率大。

由于人眼对绿色更为敏感，贝尔格式中绿色分量占到了总像素的2/1，能反映出更多的细节信息。

因此在计算标志位时，只考虑绿色分量，确定flag 的方法如下，邻域取3*3的窗口。

G B G R G R G
B
G
i-1i i+1
j-1j j+1 G R G B G B G
R
G
j-1j j+1i-1i i+1
B G B G R G B
G
B
i-1i i+1
j-1j j+1 R R G G G B R
R
G
j-1j j+1i-1i i+1
（a ）以G （红行）为中心 （b ）以G （绿行）为中心 （c ）以R 为中心 （d ）以B 为中心
图3-2 3×3的贝尔模板 Fig3-2 3×3Bayer CFA pattern
如图（c ）（d ），若)),1(),1(())1,()1,((j i G j i G abs j i G j i G abs +--<+--
则1),(=j i flag ，否则0),(=j i flag 。

如图（a ）（b ），若
))
1,1()1,1()1,1()1,1(())
1,1()1,1()1,1()1,1((+-----+++-+<-+----++++-j i G j i G j i G j i G abs j i G j i G j i G j i G abs
则1),(=j i flag ，否则0),(=j i flag 。

通过上述的规则，可以在得到每个像素方向标志位的基础上，判断出边缘可能存在的方向。

每计算一次当前像素的标志位，就需要对邻近的三行像素进行缓冲。

计算过程中绝对值运算也可以通过两数先进行大小判断后，用大数减小数的加减操作，更便于硬件的实现。