上海交大附中09-10学年高二数学上学期期末试卷 沪科版 新课标

上海交大附中09-10学年高二上学期期终试卷
高二数学
本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上
一、填空题(3分×12=36分 )
1、已知12
lim(
)13n an n n
→∞
-+=，则____________a = 2、一个等差数列的前4项是1,,,2x a x ，则x 等于________ 3、行列式
1023
的值为__________
4、关于x 、y 的二元线性方程组25,
32x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过
变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛110301，则x y +=
5、若111
1111111
234
56
a b c a A b B c C =++，则1B 化简后的最后结果等于_________
6、在四边形ABCD 中，0AB BC ⋅=，AB DC =，则四边形ABCD 的形状是_______
7、5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种（用数字作答）。

8、设数列{}n a 的首项11a =且前n 项和为n S .已知向量(1,)n a a =，11
(,)2
n b a +=满足
a b ⊥，则lim n n S →∞
=________
9、右上图给出的是计算
20
1
614121++++ 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是 ．
10、如图，在ABC ∆中，点D 在BC 上，且2CD BD =；点E 在AC 上，且3AE EC =。

AD 与BE 的交点为F 。

若设AB a =，AC b =，
AF AD λ=，于是可得出：3
4
BE a b =-+，
BF AF AB =-
()AD AB AB BD AB λλ=-=+-=
，于是由
开始0
1
s i ←←1
2s s i
←+
1
i i ←+s 输出结束
是
否
（第9题）
//BE BF ，可求出λ=_________
11、在共有2009项的等差数列n
a
中，有等式
1320092420081005()()a a a a a a a 成立,类比上述性质，相应的，在共
有2011项的等比数列n b 中，有等式 成立。

12、在n 个红球及n 个白球，总计2n 个球中取出m （m n ≤）个球的方法数是2m
n C ，该方
法数我们还可以用如下方法得到：只取m 个红球；取1m -个红球，1个白球；取2m -个红球，2
个白球；……。

于是可得到组合数公式：
011
02()m m m r m r
m
n n n n n n n n n C C C C C C C C C m n --=+++++≤，
按如上方法化简下式得到的结果是：0011r r m m
n m n m n m n m C C C C C C C C ++
++
+=____________（其中m n ≤）
二、选择题(3分×4=12分)
13、已知数列n a 中1
1a ，22a ，1
12n
n n a a a ，
（k ∈N +），用数学归纳法证明4n a 能被4整除时，假设4k a 能被4整除，应证………………………………………（ ）
（A ）44k a 能被4整除 （B ）43k
a 能被
4整除
（C ）42k
a 能被
4整除 （D ）41k a 能被4整除
14、若矩阵726967656259817468645952857976726964228219211204195183A ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
是表示我校2011届学生高二上学期的期中成绩矩阵，A 中元素(1,2,3,4;1,2,3,4,5,6)ij a i j ==的含义如下：1i =表示语文成
绩，
2i =表示数学成绩，3i =表示英语成绩，4i =表示语数外三门总分成绩*,j k k N =∈表示第50k 名分数。

若经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的。

现小明的各科排名均在250左右，他想尽量提高三门总分分数，那么他应把努力方向主要放在哪一门学科上…………………………………………………………………（ ）
（A ）语文 （B ）数学 （C ）外语 （D ）都一样 15、若等边ABC ∆的边长
为，平面内一点M 满足12
63
CM CB CA =+，则
MA MB ⋅=………………………………………………………………………………（ ）
（A ） 2 （B ）3 （C ）2- （D ）3-
16、关于123,,x x x 的齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00321
3213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A ，且该方程组
存在非零解，若存在三阶矩阵O B ≠，使得O AB =，（O 表示零矩阵，即所有元素均为0的矩阵；||B 表示行列式B 的值，该行列式中元素与矩阵B 完全相同）则……（ ）
（A ）2-=λ，且0=B （B ）2-=λ，且0≠B （C ）1=λ，且0=B （D ）1=λ，且0≠B
三、解答题(9分+9分+10分+10分+14分=52分)
17、已知向量a ，b 的夹角为60°，且2||,1||==b a ，设b a m -=3，b a t n 2+= （1）求a b ⋅； （2）试用t 来表示m n ⋅的值；（3）若m 与n 的夹角为钝角，试求实数t 的取值范围；
18、用行列式讨论关于x ，y 的二元一次方程组⎩
⎨⎧=++=+m my x m y mx 21
解的情况并求解。

19、用1，2，3，4，5，6这六个数字组成的四位数中，试回答下面问题 （1）一共有多少个没重复数字的四位数？
（2）若把（1）中这些没重复数字按从小到大的顺序排成一列，则3241是第几个数？ （3）（2）中的第100个数字是多少？
c ←a a ← -2c+4b b ← -5c +7b i ← i+1 c ←b a ← -2a+4c b ← -5a +7c i ← i+1 c ←b b ← -5a+7c a ← -2a +4c i ← i+1 c ←a,
d ←b a ← -2c+4d b ← -5c +7d i ← i+1 20、把公差为2的等差数列}{n a 的各项依次插入等比数列}{n b 的第1项、第2项、……第n 项后，得到数列}{n c ：11223344,,,,,,,b a b a b a b a ，……，记数
列
}{n c 的前n 项和为n S ，已知11=c ，22=c ，=3S 4
13． （1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n c 的第2010项2010c ；
（3）设2010n n n T b a =⋅+ ，阅读框图写出输出项，并说明理由．
21、若数列{},{}n n a b 中，11,a a b b ==， 11
112457n n n n
n n a a b b a b ----=-+⎧⎨=-+⎩，(,2)n N n ∈≥。

请按
照要求完成下列各题，并将答案填在答题纸的指定位置上。

（1）可考虑利用算法来求,m m a b 的值，其中m 为给定的数据(2,)m m N ≥∈。

右图算法中，虚线框中所缺的
流程，可以为下面A 、B 、C 、D 中的_______________
（请填出全部答案） (A) (B)
(C) (D)
（2）我们可证明当,54a b a b ≠≠时，{}n n a b -及{54}n n a b -均为等比数列，请按答纸题要求，完成一个问题证明，并填空。

开始
i
→1100
>i i
i →+1结束
是是
否
否
T i <15
输出T i
证明：{}n n a b -是等比数列，过程如下：
n n a b -=
所以{}n n a b -是以110a b a b -=-≠为首项，以_________为公比的等比数列； 同理{}54n n a b -是以1154540a b a b -=-≠为首项，以_________为公比的等比数列 （3）若将,n n a b 写成列向量形式，则存在矩阵
A ，使
122121
1221()n n n n n n n n n a a a a a A A A A A
b b b b b -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，请回答下面问题： ①写出矩阵A=__________ ； ②若矩阵23n n B A A A A =+++
+，矩阵n n C PB Q =，
其中矩阵n C 只有一个元素，且该元素为n B 中所有元素的和，请写出满足要求的一组,P Q ：_______________； ③ 矩阵n C 中的唯一元素是_______________。

计算过程如下：
上海交通大学附属中学2009-2010学年度第一学期
高二数学期终试卷
本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上
命题：刘亚丽 审核：杨逸峰
一、填空题(3’×12=36’ )
1、已知12
lim(
)13n an n n
→∞
-+=，则____________a = 答案：1
2、一个等差数列的前4项是1,,,2x a x ，则x 等于________ 答案：2
3、行列式1023
的值为__________
答案：3
4、关于x 、y 的二元线性方程组25,
32
x my nx y +=⎧⎨
-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛110301，则x y += 答案：4
5、若111
1111111
234
56
a b c a A b B c C =++，则1B 化简后的最后结果等于______________。

答案：6
6、在四边形ABCD 中，0AB BC ⋅=，AB DC =，则四边形ABCD 的形状是_______ 答案：矩形
7、5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有
_________种（用数字作答）。

答案：72
8、设数列{}n a 的首项11a =且前n 项和为n S .已知向量
(1,)n a a =，11
(,)2
n b a +=满足a b ⊥，则lim n n S →∞=________
答案：2
3
9、右图给出的是计算
20
1
614121++++ 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是 ．
答案：10i >（或11i =或11i ≥）
10、如图，在ABC ∆中，点D 在BC 上，且2CD BD =；点E 在AC 上，且3AE EC =。

AD 与BE 的交点为F 。

若设AB a =，AC b =，
AF AD λ=，于是可得出：3
4
BE a b =-+，
()BF AF AB AD AB AB BD AB λλ=-=-=+-
=
，于是由//BE BF ，可求出λ=________________。

答案：112()[()](1)3333
BF AB BC AB a b a a a b λλ
λλ=+
-=+--=-+，由//BF BE ，于是：21
9
3331104
λλ
λ-=⇒=-。

11、在共有2009项的等差数列n
a
中，有等式
1320092420081005()()a a a a a a a 成立,类比上述性质，相应的，在共
有20011项的等比数列n b 中，有等式 成立。

答案：
135201110062462010
b b b b b b b b b
12、在n 个红球及n 个白球，总计2n 个球中取出m （m n ≤）个球的方法数是2m
n C ，该方
法数我们还可以用如下方法得到：只取m 个红球；取1m -个红球，1个白球；取2m -个红球，2个白球；……。

于是可得到组合数公式：
01102()m m m r m r
m
n n n n n n n n n C C C C C C C C C m n --=+++++≤，
按如上方法化简下式得到的结果是：0011r r m m
n m n m n m n m C C C C C C C C +++++=____________（其中m n ≤） 原式=0110m m r m r m m n m n m n m n m n m C C C C C C C C C --++
+
++
+=（或n
n m C +）
B
二、选择题(3’×4=12’)
13、已知数列n a 中1
1a ，22a ，1
12n
n n a a a ，
（k ∈N +），用数学归纳法证明4n a 能被4整除时，假设4k a 能被4整除，应证………………………………………（ A ）
（A ）44k a 能被4整除 （B ）43k
a 能被
4整除
（C ）42k
a 能被
4整除 （D ）41k a 能被4整除
14、若矩阵726967656259817468645952857976726964228219211204195183A ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
是表示我校2011届学生高二上学期的期中成绩矩阵，A 中元素(1,2,3,4;1,2,3,4,5,6)ij a i j ==的含义如下：1i =表示语文成
绩，
2i =表示数学成绩，3i =表示英语成绩，4i =表示语数外三门总分成绩*
,j k k N =∈表示第50k 名分数。

若经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的。

现小明的各科排名均在250左右，他想尽量提高三门总分分数，那么他应把努力方向主要放在哪一门学科上…………………………………………………………………（ B ）
（A ）语文 （B ）数学 （C ）外语 （D ）都一样 15、若等边ABC ∆的边长
为，平面内一点M 满足12
63
CM CB CA =
+，则MA MB ⋅=………………………………………………………………………………（ C ）
（A ） 2 （B ）3 （C ）2- （D ）3-
解一、1212
()()()()6363
MA MB CA CM CB CM CA CB CA CB CB CA ⋅=-⋅-=-
-⋅-- 221152275
()()2366391836
CA CB CB CA CA CA CB CB =-⋅-=-+⋅-
=- 解二：建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设)3,3(),0,32(),0,0(B A C
这样利用向量关系式，求得M )21,233(
，然后求得)2
5
,23(),21,23(--=-=→→MB MA ，运用数量积公式解得为-2.
16、关于123,,x x x 的齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00321
3213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A ，且该方程组
存在非零解，若存在三阶矩阵O B ≠，使得O AB =，（O 表示零矩阵，即所有元素均为0的矩阵；||B 表示行列式B 的值，该行列式中元素与矩阵B 完全相同）则 （ C ）
（A ）2-=λ，且0=B （B ）2-=λ，且0≠B （C ）1=λ，且0=B （D ）1=λ，且0≠B
解：方程组有非零解，于是系数行列式2
111011λλλλ
=，解法一：将选项中1λ=带入，
验证为零，于是答案在C 或D 中；解法二：将该行列式展开可得到2(1)0λ-=，于是1λ=。

所以111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，设矩阵1112
132122
23313233b b b B b b b b b b ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，由AB 得到零矩阵，得知1121310b b b ++=，1222320b b b ++=，1323330b b b ++=。

由于只需考虑行列式B 的值是
否为0，即11
1213
21
22
2331
32
33
||b b b B b b b b b b =是否为零。

解法一：作为选择题，可选取特殊值计算当第一列元素为零，第二列于第三列元素互为相
反数时，||0,B B O =≠（不妨选011011011B -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
），于是D 不对，只能选C 。

解法二：按照书中推导三元方程组的解答方法证明||0B =，具体过程如下：
111213
2122
23111112121313213111223212233313
3132
33
||()()()b b b B b b b b B b B b B b b B b b B b b B b b b ==++=-+-+-+ 211122122313311132123313()()000b B b B b B b B b B b B =-++-++=--=
（书中P100页，y ，z 前系数为0方法一致）
解法三：由行列式性质可将第1行，第2行元素加到第3行中去，行列式的值不变，于是新行列式的第三行各元素均为0，行列式的值为0。

解法四：全部展开，理论上可以得到值为0，我没算过。

三、解答题(9’+9’+10’+10’+14’=52’)
17、已知向量a ，b 的夹角为60°，且2||,1||==b a ，设b a m -=3，b a t n 2+= （1）求a b ⋅； （2）试用t 来表示m n ⋅的值；（3）若m 与n 的夹角为钝角，试求实数t 的取值范围；
解： （1）12cos601a b ⋅=⨯⨯=； ………………………………………………3分 （2）2
2
(3)(2)3(6)2362422m n a b ta b ta t a b b t t t ⋅=-⋅+=+-⋅-=+--⨯=-
………………………………………………………………3分
（3）夹角为钝角，于是0m n ⋅<且m 与n 不平行。

其中01m n t ⋅<⇒<，而
//6m n t ⇒=-，于是实数t 的取值范围是(,6)(6,1)t ∈-∞-⋃-。

………………………………………………………3分，其中没排除平行情况扣2分
18、用行列式讨论关于x ，y 的二元一次方程组⎩
⎨⎧=++=+m my x m y mx 21解的情况并求解。

解：)1)(1(11
12-+=-==
m m m m
m D ,
)1(2112-=-=+=
m m m m m
m
m D x ,
)1)(12(1221
12-+=--=+=
m m m m m
m m D y ,………………………（各1分共3分）
（1） 当1,1≠-≠m m 时，0≠D ，方程组有唯一解，解为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
++=+=1121
m m y m m x ……（2分，其
中解1分）
（2） 当1-=m 时，0=D ，0≠x D ，方程组无解；……………………………（2分）
当1=m 时，0===y x D D D ，方程组有无穷多组解，此时方程组化为⎩⎨⎧=+=+22
y x y x ，令
)(R t t x ∈=，原方程组的解为⎩⎨⎧-==t
y t
x 2)(R t ∈。

……（2分，没写出解扣1分）
19、用1，2，3，4，5，6这六个数字组成的四位数中，试回答下面问题 （1）一共有多少个没重复数字的四位数？
（2）若把（1）中这些没重复数字按从小到大的顺序排成一列，则3241是第几个数？ （3）（2）中的第100个数字是多少？
解：（1）4
6360P =；………………………………………………………………2分 （2）1，2开头的数字有352120P =，31开头的数字有2412P =个，32开头的数字只有
3214，3215，3216比3241小，于是3241是第120+12+3+1=136个数。

…………………………………………………………………………4分 答135的得2分 （3）由于1，2开头的数字有120个，1开头的数字有60个，于是第100个数字一定是
2开头的数字。

21，23，24开头的数字各有2
412P =个，
总计36个，于是2513是第60+36+1=97个数，第98、99个数依次是2514，2516。

所以第100个数字是2531。

…………………………………………4分 相差1个数字即答2516及2534的得2分
20、把公差为2的等差数列}{n a 的各项依次插入等比数列}{n b 的第1项、第2项、……第n 项后，得到数列}{n c ：11223344,,,,,,,b a b a b a b a ，……，记数列}{n c 的前n 项和为n S ，已知11=c ，22=c ，=3S 4
13
． （1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n c 的第2010项2010c ；
（3）设2010n n n T b a =⋅+ ，阅读框图写出输出项，并说明理由．
解：（1）由题意，11=b ，21=a ，4132113=
++=b a b S ，故4
1
2=b -------------1分 所以n a n 2=，1)4
1
(-=n n b ……………………………………2分，总计3分 （2）数列}{n c 中的第2010项即数列{}n a 中的第1005项，于是201010052010c a ==； …………………………………………………………………………………………………3分 （3）解法一：显然0,0n n b a >>，当4n ≤时，42010201031.40n b b ≥⨯=，于是15n T >。

而当8n ≥时，816n a a ≥=，于是15n T >，计算517.85T = 613.96T =
714.49T = ， 所以满足条件15n T <的项只有两项6T ，7T
解法二：由于1
12010()24
n n T n -=⋅+ 所以11
2010()224
n n T n +=⋅++
c ←a a ← -2c+4b b ← -5c +7b
i ← i+1 c ←b a ← -2a+4c b ← -5a +7c i ← i+1 c ←b b ← -5a+7c a ← -2a +4c i ← i+1 c ←a, d ←b a ← -2c+4d b ← -5c +7d i ← i+1 11132010()244n n n T T -+-=-⋅⋅+=1
26030()4
n -⋅
当5>n 时10n n T T +-> }{n S 递增 当5≤n 时10n n T T +-< }{n S 递减
通过计算439.41T = 517.85T = 613.96T = 714.49T = 816.12T = 所以满足条件15n T <的项只有两项6T ，7T
……………………………………4分，无论什么方法只要写出输出项2分，理由2分
21、若数列{},{}n n a b 中，11,a a b b ==， 11
11
2457n n n n n n a a b b a b ----=-+⎧⎨
=-+⎩，(,2)n N n ∈≥。

请按
照要求完成下列各题，并将答案填在答题纸的指定位置上。

（1）可考虑利用算法来求,m m a b 的值，其中m 为给定的数据(2,)m m N ≥∈。

右图算法中，虚线框中所缺
的
流程，可以为下面A 、B 、C 、D 中的_______________ （请填出全部答案） (B) (B)
(C) (D)
答案：ACD …………………………………………………………………………3分 （2）（证明2分每空1分）我们可证明当,54a b a b ≠≠时，{}n n a b -及{54}n n a b -均为等比数列，请按答纸题要求，完成一个问题证明，并填空。

证明：{}n n a b -是等比数列，过程如下：
n n a b -=11111111(24)(57)333()n n n n n n n n a b a b a b a b ---------++-=-=-
所以{}n n a b -是以110a b a b -=-≠为首项，以____3_____为公比的等比数列； 同理{}54n n a b -是以1154540a b a b -=-≠为首项，以____2_____为公比的等比数列 （3）（每空1分，过程4分）若将,n n a b 写成列向量形式，则存在矩阵A ，使
122121
1221()n n n n n n n n n a a a a a A A A A A
b b b b b -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，请回答下面问题： ①写出矩阵A=__________ ； ②若矩阵23n n B A A A A =+++
+，矩阵n n C PB Q =，
其中矩阵n C 只有一个元素，且该元素为n B 中所有元素的和，请写出满足要求的一组,P Q ：_______________； ③ 矩阵n C 中的唯一元素是_________________ 计算过程如下：
答案：2457A -⎛⎫=
⎪-⎝⎭，一组,P Q 的值可以为(11)P =，11Q ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（满足
1
1,a P Q a a
a ⎛⎫⎛⎫== ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
形式即可） 矩阵n C 中唯一元素为2
24n +-。

解：由于矩阵n B 中所有元素的和等于23
,,,n A A A A 中所有元素的和的和，
于是可先求n
A 中四个元素之和。

（填空，可利用能进行矩阵运算的计算器大概两分钟可得出234
,,,A A A A ，计算和分别为4，8，16，32归纳得出n
A 中元素之和为1
42
n -⨯，但n
A 的通项很难归纳得出）
解法一：由1111111n n n n n n a a a a A A b b b b +-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，利用问题（2）
，得出 11111
11111
()3(5243)(4342)54(54)2(5253)(5342)n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a a b
a b a b b a b ----------⎧⎧-=-=⨯-⨯+⨯-⨯⎪⎪⇒⎨⎨-=-=⨯-⨯+⨯-⨯⎪⎪⎩⎩ 于是11(5243)(4342)(5253)(5342)n n n n
n n n n n
n a a b b a b
++⎧=⨯-⨯+⨯-⨯⎪⎨=⨯-⨯+⨯-⨯⎪⎩ 所以524343425253
5342n n
n n n n n
n n
A ⎛⎫⨯-⨯⨯-⨯= ⎪⨯-⨯⨯-⨯⎝⎭
，n
A 中元素之和为22n ⨯，
从而n B 中所有元素的和为2
3
4
12222224n n ++++++=-。

解法二：由1111111n n n n n n a a a a A A b b b b +-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，可知当111a b ==时，n
A 中元素之和
就等于11n n a b +++，于是由问题（2）可知当1a b ==时113()0n n n n a b a b ---=-==，
即n n a b =，于是由11112422n n n n n n a a b a a ----=-+=⇒=， 所以111222n n n n a b a ++++==⨯，即n
A 的元素之和为1
2
n +，从而n B 中所有元素的和为
23412222224n n +++++
+=-。

解法三：注意到241225712AQ Q -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
于是1
1
1()(2)22n n
n n n A Q A
AQ A Q A Q Q ---====
所以()111(2)211211n n n n PA Q P +⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
于是231222224n n n C ++=++
=-
（注：解法三不具有通用性，本题中恰好2AQ Q =，于是运算可进行下去。

）。