多元函数微分法及其应用总结(K12教育文档)

多元函数微分法及其应用总结(word版可编辑修改)
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第九章 多元函数微分法及其应用总结
多元函数的概念
对应规则、定义域、值域、
图形
二重极限()()()00,,lim ,x y x y f x y →的定
义、与()0lim x x f x →的区别
极限的计算(P61、P62、P63
（6））
二元函数的连续性
()()()()0000,,lim ,,x y x y f x y f x y →=
二元函数
(),f x y 在区域D 连续 在有界闭区域上的连续函数(),f x y 的性质
有界性、有最值、
介值性
多元初等函数
多元初等函数在其定义域
内是连续函数
多元函数的偏导数
(),z f x y =在点()00,x y 处对x
，y
的偏导数()00,x f x y ，
()00,y f x y 的定义
例如，计算
()()
00000,,lim x f x x y f x x y x ∆→+∆--∆∆
(),z f x y =在点()00,x y 处对x ,y
的偏导数()00,x f x y ，()00,y f x y 的
几何解释
(),z f x y =对x ，y 的偏导数(),x f x y ，(),y f x y 的定义
算法练习（P69、1，4)
多元函数的高阶偏导数(P69、
6(1）,7，8)
多元函数的全微分
(),z f x y =，
()(),,x y dz f x y dx f x y dy
=+推广到更多元的函数
算法练习(P75、1（1)，
2，3）
多元复合函数的求导法则
树形法则（P82、1，3，
8，
10）
隐函数求导法则
若(),0F x y =,则x y
F dy dx F =-
若(),,0F x y z =， 则x z F z x F ∂=-∂，y z F z y F ∂=-∂
算法练习(P89、1,3（补充
计算dz ））
多元函数求极值
算法练习（P118、2,5，7，
P116、例7）
曲面
(),z f x y =或者 (),,0F x y z =在点()000,,x y z 的切平
面方程、法线方程
算法练习（P99、例6，例
7，P100、8，9）
曲线()x x t =,()y y t =,()z z t =或者()y y x =，()z z x =在点()000,,x y z 处的切线方程、法平面方程
算法练习（P94、例4，P100、
4)
例如，求曲线x t =，2
2y t =，3z t =的点，满足条件：该点切向量平行于平面1x y z ++=。

解：由于切向量为()2
1,4,3t t ,垂直于()1,1,1，所以
()()2
1433110t t t t ++=++=
13t =-或者1t =-，所求的点为
0121,,3927M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,()11,2,1M --。

例如,求一函数
(),z f x y =使之满足条件(),1xx f x y =,()0,1f y =,()0,x f y y =。

解：由(),1xx f x y =得
(),x f x y x ay b =++， 由()0,x f y y =得1a =，0b =， (),x f x y x y =+, ()2
1,2f x y x xy cy d =+++，
由()0,1f y =得0c =，1d =， 从而 ()21
,12f x y x xy =++。