浙江省宁波市初中数学教学论文 轴对称知识的文化内涵

轴对称知识的文化内涵
在提倡学习“变换几何”的今天，作为反射变换的“轴对称”越来越显得重要．本文将着重阐述“轴对称”的文化内涵，揭示它的美学价值．
首先，轴对称是人类最重要的几何直观．轴对称的直观之美是非常容易感知的． 大自然中的许多景物(图1)，使用的日常器物，美观的服装设计，都呈现了这种“左右”大体对称的格局．河姆渡文化中的标志(图2)，显示了7千年以前的先民，已经具有轴对称的数学美感．
图1 图2
其次，我们还可以展现轴对称的另外一种美：“以简驭繁”的数学美．如我们熟悉的以下的问题链，借助“轴对称”数学平台，通过处理一系列的极值问题，展现一种简洁、智慧、巧思的科学之美．问题链犹如一幅国画长卷，一点点展开，由浅入深，最后获得全貌，美不胜收．
问题1 在河流l 的同侧有A 、B 两个工厂，要在河边(l )修建一泵站M ，使AM+BM 最短，请确定M 点的位置．利用轴对称的相关性质，问题最后归结到“两点之间线段最短”．
问题2 如图3，已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM-2，N
是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值为多少?
这道题看上去好像是一个动态几何问题，实际上它是问题1的背景复杂
化，只要把AC 看作问题l 中的直线z ，把D 、M 看作点A 和点B ，然后找出点D 关于AC 的对称点B ，连结BM ，则BM ’就是DN+MN 的最小值．
问题还可以推广到圆柱形问题．只要将曲面距离，通过剪开、拉直、铺平，变曲面为平面的几何模型即可求解．
问题3 设y=2213422+-+++x x x x ，试求函数y 的最小值．
分析 本题看上去是一道纯代数问题，但经构造，化数为形，则可轻而易举解决，同时让学生感觉数形结合之美妙!
先变形：y=2222)10()1()30()2(-+-+-++x x ．由平面上两点间距离公式可知，本题实际上是求z 轴上的点到点(-2，3)和点(1，1)两点距离和的最小值，又变成了问题1的几何模型．
这样一来，我们看到反复出现的数学问题，归根结底是“两点间以直线为最短”原理的引申，而起关键作用的则是对称点的运用．一个原理，一个方法，构成一副精美的科学图画，科学之美油然而生．在课堂上，引导学生欣赏这样的数学美，是数学文化教学内容的重要组成部分．
再者，轴对称的思想与中国传统文化是相通的．对称和对仗，思想同源．如果说，轴对称是将左右两部分沿着对称轴“对折”变换之后仍然保持图形不变(线段长短、角度大小都不变)，那么中国的对仗便是从上句变到下旬之后，许多词语特性保持不变．例如杜甫的著名诗句：“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天．窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船．”对仗相当工整．在前两句诗中，“两个”对“一行”(数量结构对数量结构)，“黄鹂”对“白鹭”(禽类名词相对)、“翠”对“青”(颜色名词相对)、“千”对“万”(数词相对)都是同类词为对，保持了某种不变性．
世间万物都在变化之中，但只单说事物在“变”，不能说明什么问题．科学的任务是要找出“变化中不变的规律”．一个民族必须与时俱进，不断创新，但是民族的传统精华不能变．京剧需要改革，可是京剧的灵魂不能变．古典诗词的内容千变万化，但是基本的格律不变．自然科学中，物理学有能量守恒、动量守恒；化学反应中有方程式的平衡，分子量的总值不能变．总之，惟有找出变化中的不变性，才有科学的、美学的价值．
对称是一个十分宽广的概念，它出现在数学教材中，也存在于日常生活中，能在文学意境中感受它，也能在建筑物、绘画艺术、日常生活用品中看到它，更存在于大自然的深刻结构中．数学和人类文明同步发展，“对称”只是是纷繁数学文化中的标志之一．
更进一步说，大自然的物质结构是用对称语言写成的．诺贝尔物理学奖获得者杨振宁回忆他的大学生活时说，对我后来的工作有决定影响的一个领域叫做对称原理．1957年李政道和杨振宁获诺贝尔奖的工作——“宇称不守恒”的发现，就和对称密切相关．此外，为杨振宁赢得更高的声誉的“杨振宁——米尔斯规范场”，更是研究“规范对称”的直接结果．在“对称和物理学”一文中最后，他写道：“在理解物理世界的过程中，21世纪
会目睹对称概念的新方面吗?我的回答是，十分可能．”(见《杨振宁文集》第444，718页)．。