天津塘沽区第一中学2021-2022学年高二数学理月考试题含解析

天津塘沽区第一中学2021-2022学年高二数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的单调减区间是（）
A. （0，1）
B. （1，+∞）
C. （-∞，1）
D. （-1，1）
参考答案：
A
.
令，解得，故减区间为：(0,1).
故选A.
2. 在等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=7，则a5等于（）
A．3 B．7 C．10 D．11
参考答案：
C
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】设出等差数列的公差，由已知条件列式求出公差，则a5可求．
【解答】解：设公差为d，则，
解得，a1=﹣2，d=3，
∴a5=a1+4d=﹣2+3×4=10．
故选C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，是基础的运算题．
3. 执行如图所示的程序框图，则输出结果s的值为（）A．﹣B．﹣1 C．D．0
参考答案：
B
【考点】程序框图．
【专题】转化思想；转化法；算法和程序框图．
【分析】算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值，根据条件确定最后一次循环的n值，再利用余弦函数的周期性计算输出S的值．
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值，
∵跳出循环的n值为2016，
∴输出S=cos+cos+…+cos，
∵cos+cos +cos +cos+cos +cos
=cos+cos +cos﹣cos﹣cos﹣cos =0，
∴S=cos+cosπ+cos=﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，关键框图的流程判断算法的功能是关键．
4. 已知正方体棱长为，则正方体内切球表面积为（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
5. 已知向量a = ( –2, 5, –4 ), b = (6, 0 , –3 ) , 则< a , b >的值等
于
参考答案：
略
6. 过椭圆上一点H 作圆x 2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y 轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）
A．B．C．1 D．
参考答案：
D
【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．
【分析】由点H在椭圆上，知H（3cosθ，2sinθ），由过椭圆上一点H
（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，知直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，由此能求出△POQ面积最小值．
【解答】解：∵点H在椭圆上，∴H（3cosθ，2sinθ），
∵过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，
∴直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，
∵过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，
∴P（，0），Q（0，），
∴△POQ面积S==×，∵﹣1≤sin2θ≤1，
∴当sin2θ=1时，△POQ面积取最小值．
7. 等比数列{a n}中，a4=4，则a2?a6等于（）
A．4 B．8 C．16 D．32
参考答案：
C
【考点】等比数列．
【分析】由a4=4是a2、a6的等比中项，求得a2?a6
【解答】解：a2?a6=a42=16
故选C．
8. 一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】先求出三次都摸到蓝球的概率，再用1减去此概率，即为所求．
【解答】解：试验共进行三次，由于次摸到蓝球的概率都是，则三次都摸到蓝球的概率是=，
故至少摸到一次红球的概率是1﹣=，
故选：B．
【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．
9. 正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是（）
参考答案：
C
略
10. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给丁看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给甲看丁的成绩．看后丁对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）
A. 甲、乙可以知道对方的成绩
B. 甲、乙可以知道自己的成绩
C. 乙可以知道四人的成绩
D. 甲可以知道四人的成绩
参考答案：
B
【分析】
由丁不知道自己的成绩可知：乙和丙只能一个是优秀，一个是良好，可得丁和甲也是一个优秀，一个良好，然后经过推理、论证即可得结论.
【详解】由丁不知道自己的成绩可知：乙和丙只能一个是优秀，一个是良好；
当乙知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是乙不知道甲和丁的成绩；
由于丁和甲也是一个优秀，一个良好，
所以甲知道丁的成绩后，能够知道自己的成绩，但是甲不知道乙和丙的成绩．
综上所述，甲，乙可以知道自己的成绩．
故选B．
【点睛】本题主要考查推理案例，属于中档题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数与直线相切于点，若对任意，不等式
恒成立，则所有满足条件的实数t组成的集合为________
参考答案：
{4}
【详解】函数与直线相切于点，
可得方程，，可得方程，
联立方程组解得，，所以，
由得，
则，化简可得
，
由此可得,
所有满足条件的实数组成的集合为.
所以本题答案为.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，注意运用分离参数的方法，属于中档题.
12. 已知实数满足约束条件，则的最小值是________
参考答案：
8
略
13. 关于曲线C：，给出下列说法：
①关于坐标轴对称； ②关于点对称； ③关于直线
对称； ④是封闭图形，面积大于
．
则其中正确说法的序号是______注：把你认为正确的序号都填上
参考答案：
14. 若方程
表示圆，则实数t
的取值范围是
．
参考答案：
15. 设数列
的前n 项和
，则
的值为
参考答案：
15
16. 已知直线，是上一动点，过作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则在
、
连线上，且满足
的点
的轨迹方程是____________________.
参考答案：
3x+2y=4 17. 复数
(为虚数单位)在复平面上对应的点位于第_____象限
参考答案：
2 略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，被抽取学生的成绩均不低于160分，且低于185分，图是按成绩分组得到的频率分布表的一部分（每一组均包括左端点数 据而不包括右端点数据），且第3组、第4组、第5组的频数之比依次为3：2：1． （1）请完成频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩较高的第3组、第4组、第5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生由考官A 面试，求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率．
参考答案：
【考点】频率分布直方图；等可能事件的概率．
【分析】（1）由题意知第1，2组的频数分别为：5，35．故第3，4，5组的频数之和为：60，得其频数依次为30，20，10，其频率依次为0.3，0.2，0.1．
（2）用分层抽样抽取6人．故第3，4，5组中应抽取的学生人数依次为：3，2，1．
（3）有题意可知：抽取两人作为一组共有15种等可能的情况，其中共有（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A3，B 2），（B 1，B 2），（B 1，C ），（B 2，C ）共9种，因此所求事件的概率为
．
【解答】解：（1）由题意知第1，2组的频数分别为：100×0.01×5=5，100×0.07×5=35．
故第3，4，5组的频数之和为：60，从而可得其频数依次为30，20，10，
其频率依次为0.3，0.2，0.1，其频率分布直方图如右图． （2）由第3，4，5组共60人，用分层抽样抽取6人．
故第3，4，5组中应抽取的学生人数依次为：第3组：；
第4组：；第5组：．
（3）由（2）知共有6人（记为A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C ）被抽出，其中第4组有2人（记为B 1，B 2）．
有题意可知：抽取两人作为一组共有15种等可能的情况，其中共有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），
（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C），（B2，C）共9种，
因此所求事件的概率为．
19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A,B两点
（1）若，求直线的斜率；
（2）设点在线段上运动，原点关于的对称点为，求四边形面积的最小值。

参考答案：
解：（1）依题意知,设直线AB的方程为，
联立消x得：
①
又因为，所以②
联立①② 得，所以直线的斜率是。

………6分（2）因为M是OC的中点，所以
因为
所以当时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.………12分
略
20. （本小题满分分）已知：方程表示椭圆，
：方程表示圆，若真假，求实数的取值范围.
参考答案：
真：,解得；……………………………… 2分
真：解得.………………………………………… 4分
∵,∴，解得……………………………………… 6分
21. 5名男生4名女生站成一排，求满足下列条件的排法：
（1）女生都不相邻有多少种排法？
（2）男生甲、乙、丙排序一定（只考虑位置的前后顺序)，有多少种排法?
（3）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？
参考答案：
（1）43200（2）60480（3）287280
试题分析：（1）不相邻排法，可使用插空法，先将男生排好，再将男生排入女生的空档中；（2）可以先将所有学生任意全排列，再将男生三人的多余排法除去；（3）分类，先考虑甲在末位；甲在首位，乙在末位；甲不在首位，乙在末位；甲乙都在首位与末位的．
试题解析：解：（1）任何2
名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空
中，共有(种)不同排法.
（2）9人的所有排列方法有种，其中甲、乙、丙的排序有种，又对应甲、乙、丙只
有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有(种)．
（3）法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有种排法，若甲不在末位，则甲有种排法，乙有种排法，其余有种排法，综上共有(+)＝287280(种)排法．（或者）-2+=287280(种）
（或者）-2-=287280(种)
点睛：在处理排列问题时，要以两个原理为基础，确定好是分类还是分步，再用排列数表示每类或每步的个数，遇到特殊元素或特殊位置可用以下常见思路解决．一般情况下，会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置开始讨论，对于相邻问题，常用”捆绑法”；对于不相邻问题，常用”插空法”(特殊元素后考虑)，对于”在”与”不在”的问题，常常使用”直接法”或”排除法”(特殊元素先考虑)．
22. 求经过点A(2，－ 1),与直线相切，且圆心在直线上的圆的方程．
参考答案：
解：因为圆心在直线上，所以可设圆心坐标为(a,-2a)
据题意得：
即
解得 a
=1
∴圆心坐标为(1，－
2) 又该圆和直线相切半径为∴所求的圆的方程为.。