排列组合常见题型及解题策略答案

排列组合常见题型及解题策略
一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【例1】（1）有4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
（3）将3 封不同的信投入4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）34（2）43（3）43
【例2】把6 名实习生分配到7 个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7 种不同方案，
第二步：将第二名实习生分配到车间也有7 种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案.
【例3】8 名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）
A、83B 、33
38C 、A8 D 、C8
【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把
8 名学生看作8 家“店”，3 项冠军看作3 个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8 种可能，因此共有83种不同的结果。

所以选A 二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
【例1】五人并排站成一排，如果必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有
【解析】：把视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全
4 排列，A4424 种
【例2】（2009 四川卷理）3 位男生和3 位女生共6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）
A. 360
B. 188
C. 216
D. 96 【解析】：间接法6 位同学站成一排，3 位女生中有且只有两位女生
2 2 2 2 1 2 2 2 2
C3A2A4A2=432，其中男生甲站两端的有A2C3A2A3A2=144，符合条件的排法故共有288
相邻的排法有，
三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
【解析】：除甲乙外，其余5 个排列数为A55种，再用甲乙去插6 个空位有A6 种，不同的排法数是A5 A6 3600
【例2】书架上某层有6 本书，新买3 本插进去，要保持原有6 本书的顺序，有种不同的插法（数字作答）
1 1 1
A 18A 19 =504
【解析】：A 17
【例3】高三（一）班学要安排毕业晚会的4 各音乐节目，2 个舞蹈节目和1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
【解析】：不同排法的种数为A55A62＝3600
【例4】某工程队有6 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。

那么安排这6 项工程的不同排法种数是
【解析】：依题，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程
2
形成的5个空中，可得有A5＝20 种不同排法。

【例5】某市春节晚会原定10 个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾” 有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，
并且已经排好的10 个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为种.
A 110A111=990
【解析】：A19
【例6】.马路上有编号为1，2，3⋯，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6 盏亮灯的5 个空隙中插入3盏不亮的灯C5种方法,所以满足条件的关灯方案有10种. 说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.
【例7】3 个人坐在一排8 个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
3 【解析】：解法1、先将3 个人（各带一把椅子）进行全排列有A33，○*○*○* ○，在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有 1 1 3
A4种，所以每个人左右两边都空位的排法有A4A3=24 种.
解法2：先拿出5 个椅子排成一排，在5 个椅子中间出现4 个
空，*○
3
* ○*○ * ○ *再让3 个人每人带一把椅子去插空，于是有3424 种. 【例8】停车场划出一排12 个停车位置，今有8 辆车需要停
放. 要求空车位置连在一起，不同的停车方法有几种？
8
【解析】：先排好8 辆车有A8种方法，要求空车位置连在一起，则在
1
每2 辆之间及其两端的9 个空档中任选一个，将空车位置插入有C9种18
方法，所以共有98种方法.
注：题中* 表示元素，○表示空.
四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

【例1】2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）
A. 36 种
B. 12 种
C. 18 种
D. 48 种
23
【解析】：方法一：从后两项工作出发，采取位置分析法。

A
；若23A33 36 方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法C2C2A3 24
小张、
22
小赵都入选，则有选法A2A3 12，共有选法36 种，选A.
【例2】1 名老师和4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
【解析】：老师在中间三个位置上选一个有A31种，4 名同学在其余4 个位置上有A4 种方法；所以共有A3 A4 72
【例3】有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法
A 77 A 66 A 66 3 6 00
五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再 分段处理。

【例 1】（1） 6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不 同的排法种数是（ ）
3）8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2个
元素 要排在前排，某 1 个元素排在后排，有多少种不同排法？ 【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段， 因此本题可看成 6 个不同 的元素排成一排，共 A 66 720
种，选 C . （2）答案： C
2
（3）看成一排，某 2个元素在前半段四个位置中选排 2 个，有 A 42
种， 某 1 个元素排在后半段的四个位置中选一个有 A4
种，其余 5 个元素任 5 1 2 5
排 5个位置上有 A 5种，故共有 A4 A4 A5 5760种排法 .
有多少种？
A 51 A 66 3600
法二： A 62 A 55 3600 A 、36 种 B 、120种 C 、720 种 D 、1440 种
2）把 15 人分成前后三排，每排 5 人，不同的排法种数为 55 A ) A 15 A 10 B ） A 15A 10 A 5 A 3 C ） A 1155 D ）
A 155A 150 A 55 A 33
六．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必
须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法 .
【例 1】. A,B,C,D,E 五人并排站成一排， 如果 B 必须站在 A 的右边（ A,B 可以不相邻）那么不同的排法种数【解析】 ： B 在 A 的右边与
B 在 A
的 12 A 55 60
【例 2】 书架上某层有 6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书 的顺序，有多少种不同的插法？
19
3 6 A 9
【解析】 ：法一： A 93 法二： A 66 9
【例 3】将 A 、B 、C 、D 、E 、F 这 6 个字母排成一排，若 A 、B 、C 必须
按 A 在前， B 居中， C 在后的原则（ A 、B 、C 允许不相邻），有多少种
16 3 3 A 6
不同的排法？ 【解析】 ：法一： A6 法二： A 33
六．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某 个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即 可完成 .
【例 1】 将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，
左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半，即
每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）
A、6 种B 、9 种C 、11 种D 、23 种
解析】：先把1 填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把
被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第
三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9 种填
法，选B.
【例2】编号为1、2、3、4、5 的五个人分别去坐编号为1、
2、3、4、
5 的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（）
A 10 种
B 20 种
C 30 种
D 60 种答案：B 【例3】：同室4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4 张贺年卡不同的分配方式共有（）（A）6种
（B）9 种（C）11种（D）23种
【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡
分别为a、b、c、d。

第一步，甲取其中一张，有3 种等同的方式；第二
步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：
（1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，
（2）乙取c 或d（2 种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。

根据加法原理和乘法原理，一共有 3 （1 式。

故选（B）
2） 9种分配方
【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，
那么不同的站队方式共有 （ ） （A ）60种 （B ）44 种 （C ）36种 （ D ） 24 种
答案： B
七．不同元素的分配问题（先分堆再分配） ：注意平均分堆的算法 【例 1】 有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的 分配方式？ 分成 1本、2 本、 3本三组； 分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本； 分成每组都是 2 本的三个组；
分给甲、乙、丙三人，每个人 2 本； 分给 5人每人至少 1 本。

2 1 1 1 1 1 C 5C 5C 4C 3C 2C 1
5）
则不同的分配方案有 种（数字作答）
C 42
C 21
C 11
2
【解析】：第一步将 4 名大学生按，2，1，1分成三组，
其分法有 A 22
3
第二步将分好的三组分配到 3 个乡镇，其分法有 A33
所以满足条件得分
解析】
：（1）
C 61C 52C
2）
C 16C 52C 33A 33
C 62
C 42
C 22
3)
A 33
4）
C 62C 42C
例 2】将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，
配的方案有
C 42
A C
222
1 C 11
A 33
36
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再 分配.
例 3】 5 名志愿者分到 3 所学校支教，每个学校至少去一名志
愿者， 则不同的分派方法共有
种，选 A
不同分组方法的种数为（
例 5】 将 5 名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１
名，最多２名，则不同的分配方案有（
解析】：将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每班
至少 1
名，最多 2 名，则将 5 名教师分成三组，一组 1 人，另两组都
1 人承担乙项任务，第
A )150 种 (B)180 种 (C)200 种 (D)280 种
解析】：人数分配上有 1,2,2 与 1,1,3 两种方式，若是 1,2,2 ，则有
C 53
C 221
C 11 A
33
A 22
＝60 种，若是
1,1,3 2
则有
A 2
C 51
C 42
C 22 A
33
90 种，所以共有 150
例 4】 将 9 个（含甲、 乙）平均分成三组， 甲、乙分在同一组，则
A ．70
B ．140
C ．280
D ． 840
答案 ：（ A ）
A ）３０种
B ）９０种 （
C ）１８０种 （
D ）２７０种
是2 人，有C5A22C4 15种方法，再将3 组分到3 个班，共有15 A3390种分配方案。

选 B.
例 6】 某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目 , 且在同一
个城市投资的项目不超过 2个, 则该外商不同的投资方案有 （ ）种
解 析 】： 按 条 件 项 目 可 分 配 为 2,1,0,0
与 1,1,1,0
的 结 构 ， ∴
2 2 2
3 3
C4 C3 A2 C4 A33 6 2 4 6 0
故选
D
；
例 7】（1）5 本不同的书，全部分给 4个学生，每个学生至少一本，
不同的分法种数为（ ）
A 、480种
B 、240种
C 、120种
D 、96种 答案： B
2） 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路 口 4 人，则不同的分配方案有多少种？
C 14
2C 84
C 44 3
3
A 3
答案：
A 33
3
从 10 人中选出 4 人承担
这三项任务，不同的选法种数是（
A ．16种
B ．36种
C ．42种
D ．60种
例 8 】 有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，
A 、1260种
B 、2025 种
C 、 2520 种
D 、5040 种
解析】：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选
1 人承担丙项任务，不同的选法共有
2 1 1
C120C81C712520种，选C.
【例9】. 某高校从某系的10 名优秀毕业生中选4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
4
①若甲乙都不参加，则有派遣方案A84种；
3 ②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3 种方法，然后安排其
余学生有A8
3
4 3 3 2
方法. 所以共有不同的派遣方法总数为A8 3A8 3A8 7A8 4088种
【例10】四个不同球放入编号为1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
2 【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的
方法有C42
种，
再排：在四个盒中每次排3个有A43种，故共有C42 A43 144种.
八．相同元素的分配问题隔板法：
【例1】：把20 个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？
方法，所以共有3A8 ；
3
③若乙参加而甲不参加同理也有3A83种；④若甲乙都参加，则先安排甲
22 乙，有7种方法，然后再安排其余8 人到另两个城市有A8种，共有7A8
【解析】：向1，2，3 号三个盒子中分别放入0，1，2 个球后还余下
17 个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，
2
C16 120种。

共有
【例2】10 个三好学生名额分到7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
【解析】：10 个名额分到7 个班级，就是把10 个名额看成10 个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9 个空位中插入
6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案
6
C9 84种.
为
变式1：7 个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有种
变式2：马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9 的9 盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有种【例3】：将4个相同的白球、5 个相同的黑球、6个相同的红球放入4 各不同的盒子中的3 个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？【解析】：1、先从4 个盒子中选三个放置小球有C43种方法。

2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。

为了保证三个盒子
中球的颜色齐全，可以在4 个相同的白球、5 个相同的黑球、6个相同
22 的红球所产生的3个、4 个5个空挡中分别插入两个板。

各
有C3、C4、2
C5种方法。

3 2 2 2
3、由分步计数原理可得C4 C3 C4 C5=720 种九．多面手问题（分类法选定标准）
【例1】：有11 名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，从中找出8 人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4 人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8 人名单可以开出几
张？
C54C44C53C21C44C54C12C43C52C44C54C42C53C21C11C43
变式：. 有11 名外语翻译人员, 其中有5 名会英语,4 名会日语, 另外两名英,日语都精通, 从中选出8人, 组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4 人翻译日语, 问共有多少不同的选派方式? 答案：185 十．走楼梯问题（分类法与插空法相结合）【例1】小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。

已知相邻楼层之间有16 级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
【解析】：插空法解题：考虑走3 级台阶的次数：
1 ）有0次走3 级台阶（即全走
2 级），那么有1种走法；2）有1次走三级台阶。

（不可能完成任务）；
3）有两次走3 级台阶，则有5次走2 级台阶：
（a）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到 5
1
个两级台阶形成的空中，有C6 6种
（b）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到 5
2 个两级台阶形成的空中，有C6 15种走法。

4）有3 次（不可能）
5）有4 次走3 级台阶，则有2 次走两级台阶，互换角色，想成把两个
2 级台阶放到
3 级台阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着
两种情
况有种C5 C5 15走法；
6）有5 次（不可能）
故总共有：1+6+15+15=37 种。

变式：
欲登上
第
10 级楼
梯，
如果规定每步只能跨上一级或
两级，
则
不
同的走法共有（)
（A ）34 种（B）55
种
（C）89种（D）144 种答
案：（C）
十排数问注意数字“0”)
【例1】（1）由数字0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，
其中个位数字小于十位数字的共有（）
A、210 种B 、300 种 C 、464 种D 、600 种【解析】：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4 共5 种情况，分别有A5 个，
A4A3A3,A3 A3 A3,A2A3A3,A3A3 个，合并总计300 个, 选B.
（2）从1，2，3，⋯，100 这100 个数中任取两个数，使其和能被4 整除的取法（不计顺序）有多少种？
【解析】：将I 1,2,3 ,100分成四个不相交的子集，能被4 整除的数集
A 4,8,12, 100；能被4 除余1 的数集
B 1,5,9, 97，能被4 除余2 的数集
C 2,6, ,98，能被4 除余3 的数集
D 3,7,11, 99，易见这四个集合中每一个有25 个元
素；从A中任取两个数符合要；从B,D中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要
求；所以符合要求的取法共有C25 C25C25 C25种. 十二．染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;
（2）根据相对区域是否同色分类讨论; （3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。

【例1】将一个四棱锥S ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5 种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是.
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。

(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下
的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与
C、B与D 12
分别同色，故有C5A4 60种方法。

(2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与B，由于A、B 颜色可以交换，故有A4种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染 D 或C，而D 与C，而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有C5A4C 2C 2 240种方法。

5
(3)若恰用五种颜色染色，有A55 120种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。

【答案】420. 【解析二】设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有5x4x3=60 种染色方法。

由于C点的颜色可能与A 同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：
C 与A 同色时(此时C对颜色的选取方法唯一) ，
D 应与
A(C)、S 不同色，有3 种选择；
C与A不同色时，C有2 种选择的颜色，D也有2 种颜色可供选择，从而对C、D染色有1x3+2x2=7 种染色方法。

由乘法原理，总的染色方法是60x7=420 【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，对这五个区域用5 种颜色涂色，有几种的涂色方法？
总体实施分步完成, 可分为四大步:
①给S涂色有5 种方法;
②给A涂色有4 种方法（与S 不同色）;
③给B涂色有3 种方法（与不同色）;
④给涂色. 当C与A异色时都有2 种涂色方法; 当C与A同色时有一种涂色方法（与A同色）有3 种涂色方法. 给涂色共有
2×2+3=7 种方法. 由分步计数原理共有5× 4×3× 7=420 种方法[ 规律小结] 涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论; （2）根据相对区域是否同色分类讨论; （3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。

十三．“至多”“至少”问题用间接法或分类:
十四．几何中的排列组合问题:
例1】已知直线a b 1（a，b是非零常数）与圆x2y2100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有条
【解圆上的整点有：( 6, 8) ,( 8, 6),( 10,0),(0 10) 12 个
其中关于原点对称的有4 条不满则条件切
线有C12=12，其中平行于坐标轴的有14 条
66-4+12-14=60 答
案:60
不满则条件。