海南省海口市海南华侨中学2014届高三数学下学期第6次测试试题 理

高三第六次数学（理科）模拟试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数2
(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）
A .1
B .2
C .1或2
D .1-
2. “1x >”是“11
x <”的（ ）
A. 充要条件
B.必要而不充分条件
C.充分而不必要条件
D.既不充分也不必要条件
3．甲、乙、丙3人分配到7个实验室准备实验，若每个实验室最多分配2人，则不同分配方案共有 ( )
A ．336
B ．306
C ． 258
D ．296
4. 执行右边的程序框图，若0.8p =，则输出的n =（ ）
A .3
B .4
C .5
D .6
5.函数y ＝||x
xa x (0<a<1)的图象的大致形状是( )
6．将函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向右平移8π
个单位后，得到的图象关于y
轴对称，则φ的一个可能的值为( )
A ．58π
B ．4π
C ．34π
D ．38π
7．若
n
⎛⎫+ ⎪⎝⎭1x 2x 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为( ) 开始 10n S ==，
S p <?
是
输入p
结束 输出n
12n
S S =+
否
1n n =+
A.7
2 B ．7 C ．14 D ．28 8.给出下列命题：
①函数
ln(3)
()12x x f x +=
- 的定义域是（-3,1 ）;
②在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于1的概率是1
2；；
③如果数据x1、x2、…、xn 的平均值为x ，方差为S2 ，则3x1+5、3x2+5、…、3xn+5 的方差为9S2；
④直线ax －y ＋2a ＝0与圆x2＋y2＝9相交；
其中真命题个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．已知点M 是⊿ABC 的重心，若A=60°，3AB AC ⋅=，则
AM
的最小值为
A ．3
B ．2
C ．26
3 D ．2
10.数列
{}n a 满足12a =，
111
1n n n a a a ++-=
+，其前n 项积为n T 则2014T =（ ）
A.16 B ．1
6-
C ．6
D ．6-
11.若抛物线y2=2x 上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线y=x+b 对称,且y1y2=-1,则实数b 的值为( )
5511(A)-
(B)
(C)
(D)-
222
2
12.设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，当a ∈[－1,1]时，f(x)≤t2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]恒成立，则t 的取值范围是( ) A ．t≥2或t≤－2或t ＝0 B ．t≥2或t≤－2 C ．t ＞2或t ＜－2或t ＝0 D ．－2≤t≤2 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷中的指定位置） 13.如下左图所示，曲线y=x2-1及x 轴围成图形的面积S 为 .
14. 如上右图，已知四棱锥的底面是边长为a 的正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，
侧棱长为2a.则它的外接球的半径为________．
15.设变量x ，y 满足约束条件：
02323x x y x y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
则2
2
2x z y =+的最大值为________．
16．对于数列{an}，定义数列{an ＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{an}的前n 项和Sn ＝________.
三、解答题：（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请 将答题的过程写在答题卷中指定的位置）
17. (本小题满分12分)在△ABC 中，角A B C ，
，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<，32sin a b A =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，7b =，求c 边的长和△ABC 的
面积
18．(本小题满分12分)某分公司有甲、乙、丙三个项目向总公司申报，总公司有Ⅰ、Ⅱ、
Ⅲ三个部门进行评估审批，已知这三个部门的审批通过率分别为12、23、2
3．只要有两个
部门通过就能立项，立项的每个项目能获得总公司100万的投资． (1)求甲项目能立项的概率；
(2)设该分公司这次申报的三个项目获得的总投资额为X ，求X 的概率分布列及数学期望． 19. （本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-1111
A B C D 中，点E 是棱AB
上的动点.（Ⅰ）求证：
1
DA ⊥
1
ED ；
（Ⅱ）若直线1DA 与平面1
CED 成角为45，求AE
AB 的值；
（Ⅲ）写出点E 到直线
1D C
距离的最大值及此时点E 的
位置（结论不要求证明） 20.（本小题满分12分）
如图6，圆
22
:(2)36C x y ++=，P 是圆C 上的任意 一动点，A 点坐标为（2，0），线段PA 的垂直平分线l 与半
径CP 交于点Q.
（1）求点Q 的轨迹G 的方程；
（2）已知B ，D 是轨迹G 上不同的两个任意点，M 为 BD 的中点. ①若M 的坐标为M （2，1），求直线BD 所在的
直线方程；②若BD 不经过原点，且不垂直于x 轴，点O 为轨迹G 的中心. 求证：直线BD 和直线OM 的斜率之积是常数（定值）.
C 1
D 1
B 1
A A
B
D
21．（本小题满分12分） 已知函数
()2ln p
f x px x x =-
-．
（Ⅰ）若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；
（Ⅲ）设函数
2()e
g x x =
，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的
取值范围．
四．选考题（从下列三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分，满分10分． 请将答题的过程写在答题卷中指定的位置） 22．(本小题满分10分)选修4-1 :几何证明选讲 如图，已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B ＝60°，F 在AC 上，且AE ＝AF. (1)求证：B ，D ，H ，E 四点共圆；(2)求证：CE 平分∠DEF.
23．（本小题满分10分）选修4─4：坐标系与参数方程选讲．
已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩（θ为参数）
，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上
的点按坐标变换1
312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨
⎪'=⎪⎩
得到曲线C '． （1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C '的极坐标方程； （2）若点A 在曲线C '上，点B (3,0)，当点A 在曲线C '上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程．
24．（本小题满分10分）选修4─5：不等式证明选讲．
已知函数22
()96816f x x x x x =-+++． ≥
（1）求()f x (4)f 的解集；
（2）设函数()3,g x kx k =-k ∈R ，若不等式()()f x g x ≤的解集为空集，求k 的取值范围．
2014届高三数学（理科）第6次模拟试题参考答案 一、选择题：BCABD CBCBD AA 二、填空题：
13、34
14、6
3a 15、9 16、2n ＋1－2.
二、解答题：
17.解：
2sin b A =，
2sin sin A B A =，……………2分
因为0A π<<，所以sin 0A ≠
，所以
sin B =
， …………………… 4分
因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =．…………………………6分
（Ⅱ）因为2a =
，b =，所以由余弦定理
得
2221
2222c c =+-⨯⨯⨯
，即
2230c c --=，
解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3．…………………………10分
11=sin 232222ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=
．…………………………12分
18．解：解：(1)设Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个部门审批通过分别计为事件A ，B ，C ，则P （A ）＝1
2，P （B ）＝23，P （C ）＝2
3． (2)
分
甲项目能立项的概率为：()P P ABC ABC ABC ABC =+++
12212111212222332332332333=
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
甲项目能立项的概率为2
3；
……………………6分
（2）X 的可能取值为0，100，200，300． ……………………7分
033110327()()P X C ===，1
23212100339()()P X C ==⨯⨯=
，
223214200339()()P X C ==⨯⨯=， 3
3328300327()()P X C ==⨯=
，……………9分
X 的概率分布列为：
…………………10分 X 的数学期望为EX ＝
12480100200300200279927⨯
+⨯+⨯+⨯=（万）．………12分
另解：设通过的项目数为变量m ，则m ～B （3，23），X ＝100m ，EX ＝100×3×23＝200万．
19.解：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0),A （1，0，0）， B(1,1,0)，C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1)，设E(1,m,0)
（0≤m≤1）
（Ⅰ）证明：
1(1,0,1)DA =，1(1,,1)ED m =--
111(1)0()110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯=所以DA1⊥ED1. ----4分
（Ⅱ）设平面CED1的一个法向量为(,,)v x y z =,则
100v CD v CE ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
，而1(0,1,1)CD =-，(1,1,0)CE m =- 所以0,(1)0,y z x m y -+=⎧⎨
+-=⎩
取z=1,得y=1,x=1-m ， 得(1,1,1)v m =-.
因为直线DA1与平面CED1成角为45o ，所以
1sin 45|cos ,|DA v ︒=<>
所以
11||22||||DA v DA v ⋅
=
⋅=
，解得m=12.-----10分
（Ⅲ）点E 到直线D1C 距离的最大值为，此时点E 在A 点处.------12分
20.解：（1）圆C 的圆心为C （-2，0），半径r=6，4
CA =.
连结QA ，由已知得
QA QP
=， 所以
6QC QA QC QP OP r CA
+=+===>.
根据椭圆的定义，点Q 的轨迹G 是中心在原点，以C 、A 为焦点，长轴长等于6的椭圆， 即a=3，c=2，2
2
2
945b a c =-=-=，
所以，点Q 的轨迹G 的方程为22
195x y +=. （5分）
（2）①设B 、D 的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，
则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+4595459522222
121y x y x 两式相减，得121212125()()9()()0x x x x y y y y -++-+=，
当BD 的中点M 的坐标为（2，1）时，有⎩⎨
⎧=+=+2
4
2121y y x x ，
所以0)(18)(202121=-+-y y x x ，即
9
10
2121-
=--=
x x y y k BD .
故BD 所在的直线方程为
)2(910
1--
=-x y ，即029910=-+y x . （9分）
②证明：设
1122(,),(,)
B x y D x y ，且21x x ≠，由①可知
121212125()
9()BD y y x x k x x y y -+=
=--+,
又12
12OM y y k x x +=
+ 所以
95)(9)(521212121-
=++⨯++-=⋅x x y y y y x x k k OM BD （定值）.
（12分）
（Ⅰ）当2p =时，函数
，(1)222ln10f =--=．
，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)2222f '=+-=． 从而曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-，即22y x =-．…4分
令
2
()2h x px x p =-+，要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数，只需()0h x ≥在(0,)+∞内恒成立．
由题意0p >，
2
()2h x px x p =-+的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为
即1p ≥时，()0,()0h x f x '≥≥
∴()f x 在(0,)+∞内为增函数，正实数p 的取值范围是[1,)+∞．……9分
在[]1,e 上是减函数，
∴x e =时，min ()2g x =；1x =时，max ()2g x e =，即[]()2,2g x e ∈，
①当0p <时，
2
()2h x px x p =-+，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在y 轴的左
侧，且(0)0h <，所以()f x 在x ∈[]1,e
内是减函数． 当0p =时，()2h x x =-，因为x ∈[]1,e
，所以()0h x <，
此时，()f x 在x ∈[]1,e
内是减函数．
故当0p ≤时，()f x 在[]1,e
上单调递减max ()(1)02f x f ⇒==<，不合题意；
②当01p <<时，由
又由(Ⅱ)知当1p =时，()f x 在[]1,e
上是增函数，
③当1p ≥时，由(Ⅱ)知()f x 在[]1,e
上是增函数，(1)02f =<， 又()g x 在[]1,e 上是减函数，故只需max min ()()f x g x >，[]1,x e ∈，
，min ()2g x =，
所以实数p 的取值范围是14分 22.证明：(1)在△ABC 中，因为∠B ＝60°，所以∠BAC ＋∠BCA ＝120°.因为AD ，CE 是角平
分线，所以∠HAC ＋∠HCA ＝60°，故∠AHC ＝120°.于是∠EHD ＝∠AHC ＝120°.因为∠EBD ＋∠EHD ＝180°，所以B ，D ，H ，E 四点共圆．
(2)连接BH ，则BH 为∠ABC 的平分线，所以∠HBD ＝30°.由(1)知B ，D ，H ，E 四点共圆，所以∠CED ＝∠HBD ＝30°.又∠AHE ＝∠EBD ＝60°，由已知可得EF ⊥AD ，可得∠CEF ＝30°，所以CE 平分∠DEF.
23. 【解析】（1）将3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ 代入1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ ，得C '的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
∴曲线C '的普通方程为
22
1x y +=．极坐标方程为1ρ= ………5分 （2）设(,)P x y ，
00(,)
A x y ，又(3,0)
B ，且AB 中点为P
所以有：0023
2x x y y
=-⎧⎨
=⎩
又点A 在曲线C '上，∴代入C '的普通方程22001x y +=得
22
(23)(2)1x y -+= ∴动点P 的轨迹方程为
2231
()24x y -+=
． ………10分 24.【解析】（1
）
()f x =
|3||4|x x ==-++
∴()(4)f x f ≥即|3||4|x x -++9≥
∴4349x x x ≤-⎧⎨---≥⎩① 或43349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩② 或3349x x x ≥⎧
⎨-++≥⎩
③ 解得不等式①：5x ≤-；②：无解 ③：4x ≥
所以()(4)f x f ≥的解集为{|5x x ≤-或4}x ≥． ………5分 （2）()()f x g x >即()|3||4|f x x x =-++的图象恒在()(3)g x k x =-图象的上方
21,4()|3||4|7,43
21,3x x f x x x x x x --≤-⎧⎪
=-++=-<<⎨⎪+≥⎩
()(3)g x k x =-图象为恒过定点P (3,0)，且斜率k 变化
的一
条直线作函数(),()y f x y g x ==图象如图,其中
2
PB k =，(4,7)A -，∴
1
PA k =-
由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方 ∴实数k 的取值范围为12k -<≤． ………10分。