向量数量积的坐标表示模夹角教案

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
主备人：汤继源 审核人：韩多瑞
教学三维目标：
1、 掌握平面向量数量积的坐标表示方法
2、 掌握向量垂直的坐标表示的条件，及平面内两点间的距离公式.
3、 能用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几
何问题.
4、培养学生数形结合、转化与化归的数学思想
教学重点：平面向量数量积的坐标表示及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
教学过程：
一、复习引入：
1．.向量a 与b 的数量积的含义是什么？
2．向量的数量积具有哪些运算性质？
二、讲解新课
探究（一）平面向量数量积的坐标表示
思考1：设i 、j 是分别与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若两个非
零向量a ＝(x 1，y 1),b ＝(x 2，y 2)，则向量a 与b 用i 、j 分别如何表示？
思考2：对于上述向量i 、j ，则i 2，j 2，i ·j 分别等于什么？
思考3：根据数量积的运算性质，a ·b 等于什么？ 设向量j i ,分别为平面直角坐标系的x 轴、y 轴上的单位向量，则有 j y i x a 11+=，j y i x b 22+=
)
)((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j
y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=
2121y y x x +=
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
思考4：若a ＝(x 1，y 1),b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，这就是平
面向量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？
思考5：如何利用数量积的坐标表示证明(a ＋b)·c ＝a ·c ＋b ·c ？
探究（二）：向量的模和夹角的坐标表示 教学 教学
思考6：设向量a ＝(x ，y)，利用数量积的坐标表示，︱a ︱等于什么？ 思考7：如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1，
y 1), (x 2，y 2)，那么向量a 的坐标如何表示？︱a ︱等于什么？
思考8：设向量a ＝(x 1，y 1),b ＝(x 2，y 2)，若a ⊥b ，则x 1，y 1，x 2，y 2
之间的关系如何？反之成立吗？
向量垂直的判定 设),(11y x a =ρ，),(22y x b =ρ，则b a ρρ⊥ ⇔02121=+y y x x
思考9：设a 、b 是两个非零向量，其夹角为θ，若a ＝(x 1，y 1),b ＝(x 2，
y 2)，那么cos θ如何用坐标表示？
两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）
co s θ =|
|||b a b a ρρρρ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=
三、理论迁移 例1 已知向量a ＝(4，3),b ＝(－1，2), 求:
(1) a ·b ；
(2) (a ＋2b)·(a －b)；
(3) |a|2－4a ·b.
例2 已知点A （1，2）,B （2，3）,C(－2，5)，试判断△ABC 的形状，
并给出证明.
例3 已知向量a ＝(5，－7)，b ＝ (－6，－4)，求向量a 与b 的夹角
θ（精确到1°）.
例4 已知向量a ＝(λ，－2)，b ＝(－3，5)，若向量a 与b 的夹角为
钝角，求λ的取值范围.
例5 已知b ＝(1，1)，a ·b ＝3，|a －b|＝2，求|a|.
课堂练习
①若)3,2(=a ，则=⋅a a ，=||a ；
②若表示向量a 的起点和终点的坐标分别为)2,1(-和)0,2(，则
=||a ；
③若)1,1(=a ，)3,3(-=b ，则=⋅b a ，a 与b 的夹角
是 ；
四、课堂小结
1、a ∥b 01221=-⇔y x y x
教学
a ⊥
b 02121=+⇔y y x x
2．若非零向量a 与b 的夹角为锐角（钝角），则a ·b ＞0（＜0），反之不成立.
3．向量的坐标运算沟通了向量与解析几何的内在联系，解析几何中与角度、距离、平行、垂直有关的问题，可以考虑用向量方法来解决.
五．课后作业
P107练习：1，2.
P108习题2.4A 组：9，10，11.。