新华师大版数学九年级上册同步练习：24.3 锐角三角函数 1.锐角三角函数 第2课时 特殊角的三角函数值

第2课时 特殊角的三角函数值
知识点 1 特殊角的三角函数值 1．[2018·天津] cos 30°的值等于( ) A .
22 B .3
2
C ．1
D . 3 2．计算2·tan 60°的值等于( ) A .
53 B .6
3
C . 5
D . 6 3．[2018·广州二模] 在Rt △ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则sin B 的值为( ) A .12 B .22 C .3
2
D ．1 4．[教材例2变式] 计算：2cos 30°－tan 45°－（1－tan 60°）2.
知识点 2 已知三角函数值求特殊角
5．[2018·阜宁县二模] 在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝12，那么∠B 的度数为( )
A ．60°
B ．45°
C ．30°
D ．30°或60°
6．已知α为锐角，且cos (90°－α)＝
2
2
，则α＝________． 7．在△ABC 中，∠B ＝45°，cos A ＝1
2
，则∠C 的度数是________．
8．在△ABC 中，若锐角∠A ，∠B 满足|cos A －3
2
|＋(1－tan B)2＝0，则∠C 的大小是( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．105°
9．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，tan A ＝1，sin B ＝2
2
，你认为对△ABC 的形状最确切的判断是( )
A ．等腰三角形
B ．等腰直角三角形
C ．直角三角形
D ．锐角三角形
10．已知α为锐角，当21－tan α无意义时，tan (α＋15°)－tan (α－15°)的值是________．
11．计算：(－2)3＋13×(2019＋π)0－|－1
3
|＋tan 260°＝________．
12．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等．于是小陆同学提出一个问题：如图24－3－11，将一副三角尺的直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一条直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．
图24－3－11
13．进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，①
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，②
tan(α＋β)＝tanα＋tanβ
1－tanα·tanβ
(1－tanα·tanβ≠0)．③
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如
tan105°＝tan(45°＋60°)＝
tan45°＋tan60°
1－tan45°·tan60°
＝
1＋3
1－1×3
＝
（1＋3）（1＋3）
（1－3）（1＋3）
＝
4＋2 3
－2
＝
－(2＋3)．
根据上面的知识，请你求出下列三角函数值：
(1)sin75°；(2)cos105°.
详解详析
1．B
2．D [解析] 原式＝2×3＝6，故选D.
3．C [解析] 由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3可设∠A ＝x °，∠B ＝2x °，∠C ＝3x °，则x ＋2x ＋3x ＝180，解得x ＝30，∴∠B ＝60°，∴sin B ＝
3
2
.故选C. 4．解：原式＝2×3
2
－1－(3－1) ＝3－1－3＋1 ＝0.
5．C [解析] cos A ＝1
2，则∠A ＝60°.∵∠C ＝90°，∴∠B ＝90°－∠A ＝30°.故选C.
6．45°
7．75° [解析] ∵在△ABC 中，cos A ＝12，
∴∠A ＝60°，
∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－60°－45°＝75°. 8．D [解析] 由题意，得cos A ＝
3
2
，tan B ＝1，则∠A ＝30°，∠B ＝45°，根据三角形的内角和定理得∠C ＝180°－30°－45°＝105°.故选D.
9．B [解析] 由题意，得∠A ＝45°，∠B ＝45°，∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形．故选B.
10.2 33 [解析] 当21－tan α无意义时，tan α＝1，
所以∠α＝45°，
则tan(α＋15°)－tan(α－15°)＝tan60°－tan30°＝3－
33＝2 3
3
. 11．－5 [解析] 原式＝－8＋13×1－1
3
＋(3)2＝－5.
12．[解析] 根据正切的定义求出AC ，根据正弦的定义求出FC ，即可求得AF 的长． 解：∵点B ，C ，E 在同一条直线上，∠ACB ＝∠FCE ＝90°，∴点A ，F ，C 在同一条直
线上．
∴在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，AC＝BC
tan A＝2 3，则EF＝AC＝2 3. ∵∠E＝45°，
∴FC＝EF·sin E＝6，
∴AF＝AC－FC＝2 3－ 6.
13．解：(1)sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝1
2×
2
2＋
3
2×
2
2＝
2＋6 4.
(2)cos105°＝cos(45°＋60°)＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝
2
2×
1
2－
2
2×
3
2＝
2－6
4.。