概率论独立性

P (A 2 |A 1 )P (A 1 ) P (A 2 |A 1 )P (A 1 )
8 7 2 84. 10 9 10 9 5
而
87 28
P(A1A2)
109
. 45
因为 P (A 1A 2)P (A 1)P (A 2)
所以在有放回抽样 下，第i次取到正品和第j次取到正品 不是独立的.
请问：如图的两个事件是独立的吗？ 我们来计算： P(AB)=0 而P(A) ≠0, P(B) ≠0
P(AB)=2/52=1/26.
可见,
P(AB)=P(A)P(B)
故 事件A、B独立.
前面我们是根据两事件独立的定义作出结论 的，也可以通过计算条件概率去做:
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}, 则
P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
事件Ａ与事件Ｂ独立
P (A B )P (A )P (B )
事件Ａ与事件Ｂ互不相容
AB P(AB)0
事件Ａ与事件Ｂ为对立事件
AB A B
P(A)P(B)1
二、多个事件的独立性
定义 设A、 B、 C为三,事 如件 果满足等
PAB PAPB PAC PAPC PBC PBPC
则称三 A、 事 B、 件 C为两两独.立的事
例5 下面是一个串并联电路示意图. A、B、 C、D、E、F、G、H 都是电路中的元件. 它们下
方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工 作的概率.
AB
0.95 0.95
C
0.70
D
0.70
E
0.70
F
0.75
H
G
0.95
0.75
C
0.70
F
AB
D
0.95 0.95
0.70
0.75
H
G
0.95
证明pa1pbpapabbpapaab概率的性质papapbbpap故故a与独立b概率论?概念辨析事件a与事件b独立事件a与事件b互不相容概念辨析事件a与事件b独立事件a与事件b互不相容pabpapb??bbab??0pab?事件a与事件b为对立事件ab??ab???1papb??概率论定义如果满足等式为三事件设cba????????????????????????????????????????????????cpapacpbpapabp二多个事件的独立性??????????????????cpbpbcp
试讨论A、B、C的相互独立性。
A={第一个…为偶数}；B={第二个…为奇数} C={两个…同时为奇数，或者同时为偶数}
解 试验的样本空间为
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
解 设 H i 随机 3 件 ,恰 地 i件 有 取 音 ,出
i0,1,2,3.
A这批乐器.被 则 接收
PA P A | H 0 P H 0 P A | H 1 P H 1
P A | H 2 P H 2 P A | H 3 P H 3
其中PH0
C
A B 即 P(AB) ≠ P(A)P(B)
故 A、B不独立
即 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0,则A与B不独立.
反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,则A 、B不互 斥.
前面我们看到独立与互斥的区别和联系， 再请你做个小练习.
设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四
个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四
个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）
又如： 一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果 不受第一次抽取的影响.
若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.
因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响.
P A 1 A 2 A 3 1 P A 1 A 2 A 3
1 P A 1 A 2 A 3 1 P A 1 A 2 A 3
2 3
1P(A1A2A3) 1P (A 1)P (A 2)P (A 3)
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
142330.6 534 5
E
0.75
0.70
解 将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，
有
P W P A P B P C D E P F G P H
其中 P C D E 1 P C P D P E 0.973 P F G 1 P F P G 0.9735
代入得
P(W) 0.782
定理 2 若两事件A、B独立, 则A与 B,A与 B,A与 B
也相互独立.
证明 仅证A与 B 独立
A、B独立
概率的性质 P(AB )= P(A - A B)
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B)
=P(A)[1- P(B)]= P(A) P(B ) 故 A与 B 独立
概念辨析
2 设至 n 门 少 高 ,由 需 射 题 要 炮 知
P A 1 A 2 A n 1 P A 1 A 2 A n
1 P A 1 A 2 A n 1 P A 1 P A 2 P A n
10.4n 0.99
即
0.n 40.0,1
解之得, nln0.015.02.6 ln0.4
击中它 ,问至少需要多少炮 门?高射
解 设 A k第 k门高射炮 而 发 击 射 ,中
k 1 ,2 ,则 A k 之间 ,且 P 相 A k 0 .6 ,互 于独 是
1 P A 1 A 2 1 P A 1 A 2 1 P A 1 A 2
1 P A 1 P A 2 10.420.8. 4
再证充分性: 设 P A |B P A 成 ,则 立 有 P A P B A |B P B P A P B
由定,义 事A 可 件 、 B相 知互 取一张， 记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
问事件A、B是否独立？
解 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2,
例3 要验收一批100件乐器. 验收方案如下:自
该批乐器中随机地取3 件测试( 设 3 件乐器的测试 是相互独立的) , 如果3 件中至少有一件在测试 中 被认为音色不纯, 则这批乐器就被拒绝接 收 . 设一 件音色不纯的乐器经测 试查出其为音色不纯的概率 为0.95 ; 而一件音色纯的乐器经 测试被误认为不纯 的概率为0.01. 如果已知这100件乐器中恰有4 件是 音色不纯的.试问这批乐器被接收的 概率是多少?
例 一批产品共有10件，其中8件正品，2件次品，设
A i ={第i次取到正品}，则
1）有放回抽样
8
8
P(A1)10,P(A2)10,
而
88 P(A1A2)1010P(A1)P(A2).
所以在又放回抽样下，第i次和第j次抽到正品是独立的。
2）无放回抽样
P
(
A1 )
8 10
,
P ( A 2 ) P ( A 1 A 2 A 1 A 2 ) P ( A 1 A 2 ) P ( A 1 A 2 )
此定义可以推 有广 限到 多任 个意 事: 件的
定义设 A 1,A 2, ,A n为 n个事 ,如件 果对
的 k 1 k n , 和 1 i 1 任 i 2 i k 意 n 有
P A i 1 A i 2 A i k P A i 1 P A i 2 P A i k
则称 A1,A2, ,An为相互独.立的事件
分析
n = 4 的 Bernoulli 试验
设 Ｂ＝｛恰好有 2 次取到次品｝, Ａ＝｛取到次品｝，
则 A ＝｛取到正品｝． Ａi={第i次抽样抽到次品}
pP(A)5% q P (A ) 1 P (A ) 1 p 9 5 %
P (A 1 ) P (A 2 ) P (A 3 ) P (A 4 ) 5 % P (A 1 ) P (A 2 ) P (A 3 ) P (A 4 ) 9 5 %
3 96
C
3 100
,
P H1
C
2 96
C
1 4
C
3 100
,
PH2
C
1 96
C
2 4
C
3 100
,
P H3
C
3 4
C
3 100
,
PA|H 00.939 , P A |H 10.9 20 9.0, 5
P A |H 20.9 09 .0 2,P 5 A|H 30.035 .
所以这批乐器被接概收率的为:
例4 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译 出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人 能将密码译出的概率是多少？
解 将三人编号为1，2，3，
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1 , 2 , 3
所求为 P A 1 A 2 A 3
已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/4
PA P A | H 0 P H 0 P A | H 1 P H 1 P A | H 2 P H 2 P A | H 3 P H 3 CC1393060 0.993CC92136C04100.9290.05 CC91136C04200.990.025 CC1343000.0530.86.29
P(A)P(B)P(C)1 2
P(AB)P(AC)P(BC)1 4
P(ABC)0
所以，A、B、C 两两独立，但总 起来讲不独立。
对于三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C)
四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.
贝努利试验 Bernoulli trials
相互独立的试验
将试验E重复进行n次,若各次试验的结 果互不影响,则称这n次试验是相互独立
的.
贝努利试验
设随机试验E只有两种可能的结果:A及 A,且
P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n次独 立试验,则称这一串试验为n重贝努利试验.
例 一批产品的次品率为 5%，从中每次任取一个， 检验后放回，再取一个， 连取 4 次．求 4 次中恰有 2 次取到次品的概率．
第六节 独立性
主要内容： 1）两个事件的独立性 2）多个事件的独立性 3）独立性的概念在计算概率中的应用
重点： 1）两个、多个事件独立性的定义 2）利用独立性的概念接概率题目
一、两事件的独立性
先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次，
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然
P(A|B)=P(A)
两事件独立的定义independence
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B)
(1)
则称A、B相互独立，简称A、B独立.
定 理1 事件A、B独立的充要条件为
PA|BPA,PB0
或
PB|APB,PA0
证 先证必要性. 设事A、 件 B独立 ,由独立定
P A P B A P B 所 ,当 以 P B 0 时 ,P A |B P P A B B PPABPB PA 或 ,当 者 P A 0 时 ,P B |A P P A A B PPAPAB PB
当事 A、 B 件 、 C 两两独 ,等立 式时
P A P B A P B C P C
不一定成立.
例
设同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每 一个四面体标有号码1，2，3，4。令 A={第一个四面体的触地面为偶数} B={第二个四面体的触地面为奇数}
C={两个四面体的触地面同时为奇数，或者同 时为偶数}
可见 P(A)= P(A|B), 即事件A、B独立.
在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去判 断两事件是否独立.
在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判 断两事件是否独立.
例如 甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中}, B={乙 命中}，A与B是否独立？
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概
率,这时称事件A、B独立.
由乘法公式知，当事件A、B独立时，有
P(AB)=P(A) P(B)
P A B P A B P B
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用
P(A|B) = P(A)
或
P(B|A) = P(B)
更好,它不受 P(B)>0 或 P(A)>0 的制约.
请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系
对 n (n > 2)个事件
相互独立
两两独立
?
三、独立性的概念在计算概率中的应用
例2设有两门高 ,每射 一炮 门击中飞都 机的 是0.6,求下列事件的:概率
1同时发射中 一飞 发机 炮的 弹 ?概 而 2若有一架,欲 敌9以 机 9以 % 入 上 侵 的