河南省中原名校2015届高三上学期第一次摸底考试_数学(理)_含答案

中原名校2014-2015学年上期第一次摸底考试
高三数学（理）试题
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
第I 卷选择题（共
60分）
一、选择题（本大题共
12小题，每小题
5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

）1.己知集合
=|1,,|2A y y x
x R B
x x
，则下列结论正确的是
A.3A
B.3
B
C. A B
B
D. A
B
B
2.己知
2(,)a i
b i a b
R i
．其中i 为虚数单位，则
a+b=
A.-1
B. 1
C. 2
D ．3
3.设随机变量
服从正态分布
N(3，4)，若(23)(2)P a
P a ，则实数a 的值为
A.
73
B.
35
C.
53
D ．
75
4某程序框图如右图所示，则输出的
n 值是A. 21 B 22
C ．23
D ．24
5己知函数()
ln 4
x f x x
，则函数()f x 的零点所在的区间是
A.(0,1) B (1,2)
C.(2,3)
D(3,4)
6.如图，在边长为
e （e 为自然对数的
底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为A.1e B.2e C.
2
2e
D.
2
1e
7.若4cos
5
，
是第三象限的角,则
1tan
21tan
2
= A.
12
B.
12
C.
35
D ．-2
8.已知a>0，x ，y 满足约束条件
13(3)
x
x y y
a x
，若z=2x+y 的最小值为1，a=
A.
14
B.
12
C. 1
D. 2
9.已知等差数列n a 的前n 项和为()n S n
N ，且2n a n
，若数列
n S 在7n
时为
递增数列，则实数的取值范围为A. (-15,+) B[-15,+
)
C.[-16,+)
D. (-16,+)
10若5
2
3
4
5
012345(23)
x a a x a x
a x
a x a x ，则5
5
123455
2a a a a a a 等
于A ．5
5
B ．-l
C.5
2
D ．
5
2
11．”a<0”是”函数()(2)f x x x a 在区间(0,
)上单调递增”的
A.必要不充分条件
B.充要条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件
12已知一函数满足x>0时，有2
()'()2g x g x x x ，则下列结论一定成立的是
A ．(2)
(1)3
2g g B ．(2)(1)32
g g C.
(2)(1)
4
2
g g D ．
(2)(1)
4
2
g g 第Ⅱ卷非选择题（共
90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题
5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

）
13设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为
__________.
14.如果双曲线
222
2
1(0,0)x y a b a
b
的渐近线与撒物线2
2y x
相切，则双曲线的离
心率为__________. 15已知平行四边形
ABCD 中，AB=1，E 是BC 边上
靠近点B 的三等分点，AE
BD ，则BC 长度的取
值范围是____________. 16．己知函数
1099
()
10
x f x x ，
n
a 为
11,2a d
的等差数列，则
12310()()()()
f a f a f a f a _____________.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．（本小题满分
12分）
在
ABC 中，记角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，角A 为锐角，设向量
(cos ,sin )
m A A (cos ,sin )n A A ，且12
m n
(I)求角A 的大小及向量m 与n 的夹角；
(II)若5a
，求
ABC 面积的最大值18.（本小题满分
12分）
设X 为随机变量，从棱长为a 的正方体1111ABCD
A BC D ,的八个顶点中任取四个点，
当
四点共面时，X=0；当四点不共面时，X 的值为四点组成的四面体的体积．
(I)求概率P(X=0)；
(II)求X 的分布列，并求其数学期望E(X)．
19．（本小题满分12分）
己知四棱锥P-ABCD ，其中底面ABCD 为矩形
侧棱PA
底面ABCD ，其中BC=2,AB=2PA=6，
M,N 为侧棱PC 上的两个三等分点，如右图所示：(I)求证：AN ∥平面MBD ；(II)求二面角B-PC-A 的余弦值．20.（本小题满分
I2分）
己知曲线2
1:1(0)C y
x
y
与x 袖交于A ，B 两点，点P 为x 轴上方的一个动点，点
P 与A,B 连线的斜率之积为-4
(I)求动点P 的轨迹
2C 的方程；
(Il)过点B 的直线l 与1C ，
2C 分别交于点M ,Q （均异于点A ，B ），若以MQ 为直径的圆
经过点A ，求AMQ 的面积21 （本小题辅分
12分）
已知函数()(1)2ln f x a x x (d 为常数）
(I)当a=l 对，求()f x 单调区间；
(II)若函数()f x 在区间(0，1)上无零点，求a 的最大值
【选做题】
请考生在22、23. 24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号
22．（本小题满分
10分）选修4-l ：几何证明选讲
如图，O 是
ABC 的外接圆，D 是
AC 的中点，BD 交
AC 于E (I)求证：2
DC DE DB ：
(II)若23CD
，O 到AC 的距离为1，求
O 的半径r
23．（本小题满分l0分）选修4—4：坐标系与参数方程
己知抛物线2
y x
m 的顶点M 到直线:
1
3x t l y
t
(t 为参数)的距离为 1
(I)求m ：
(II)若直线l 与抛物线相交于
A ，
B 两点，与y 轴交于N 点，求
MAN
MBN S S 的值
24 (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲己知长方体的三条棱长分别为a 、b 、c ，其外接球的半径为
32
(I)求长方体体积的最大值：(II)设(1,3,6),(,,)m
n a b c ，求m n 的最大值
理数答案
答案：DBACB
CDBDA DB
13. 4
14. 3
15. （1，3）
16. 100
17．解：（1）122
cos22
cos sin m n
A
A A
因为角A 为锐角，所以
23
A
，6A
……………………………………３分
根据1||||cos ,2
m n m n m n
,3
m n
(6)
分(2)因为
5a
，6
A
，2
2
2
(5)
2cos
6
bc b c
得：
5(23)bc ……………………9分
15(2
3)
sin 2
4
S bc A
即
ABC 面积的最大值为
5(2
3)
4
……………………………….12分
18.解（1）从正方体的八个顶点中任取四个点
,共有4
8
70C
种不同取法.
其中共面的情况共有12种(6个侧面,6个对角面). 则P(X=0)=
35
670
12.
…………………………………………………
4分
（2）任取四个点,当四点不共面时,四面体的体积只有以下两种情况:
①四点在相对面且异面的对角线上,体积为3
3
3
3
12
1314
a
a
a
这样的取法共有
2种.……………………………………………
6分
②四点中有三个点在一个侧面上,另一个点在相对侧面上
,体积为
3
6
1a .
这样的取法共有70
12
2
56种………………………………………………
8分
X 的可能取值是0，
3
3
1a ，
3
6
1a ………………………………………………
9分
X 的分布列为
X 0 3
3
1a
3
6
1a
P
6
351
35
2835
数学期望E(X)=
3
3
3
7
135
286
135
13
1a a
a
.………………………………………………
12分。