随机变量的统计特性
概率与随机变量的含义、计算和原理
概率与随机变量的含义、计算和原理概率论是数学的一个分支，它研究随机现象和不确定性。
它为各种实际应用提供了工具和模型，包括物理、生物、经济和社会科学。
在概率论中，概率是随机事件发生的可能性，而随机变量是一种用来描述随机事件的数学工具。
一、概率的定义和计算概率是衡量一个随机事件发生的可能性的数值。
更具体地说，概率是随机事件的样本空间中该事件所对应子事件的个数与总样本空间中所有可能事件的总数之比。
对于离散随机事件，概率可以用公式计算：P(A) = #A / #total其中#A表示事件A发生的次数，#total表示总试验次数。
例如，抛硬币是一个离散随机事件。
如果我们抛一枚硬币，正面（H）和反面（T）的概率都是1/2，因为每次抛硬币正面和反面出现的可能性相等。
但对于连续随机变量，概率的计算方式会有所不同。
例如，对于一个均匀分布的连续随机变量，概率密度函数（PDF）可以表示为：f(x) = a(x - min)/(max - min)其中a是一个常数，min和max是随机变量的最小和最大值。
该函数表示在给定范围内找到随机变量的概率。
累积分布函数（CDF）可以通过对PDF从-∞到x的积分来表示：F(x) = ∫(a(x - min)/(max - min)) dx二、随机变量的定义和计算随机变量是一个可以用来描述随机事件的变量。
它可以是一个离散变量（如抛硬币的结果，其中H和T是两个可能的取值），也可以是一个连续变量（如正态分布的身高，其中每个人的身高都是一个连续的数值）。
对于离散随机变量，我们通常用大写字母表示，如X，Y等。
对于连续随机变量，我们通常用小写字母表示，如x，y等。
离散随机变量的概率分布可以表示为：P(X = x) = #(X = x) / #total其中#(X = x)表示变量X取值为x的次数，#total表示总的试验次数。
例如，考虑一个抛骰子的游戏。
假设我们有一个六面的骰子，每个面出现的概率是相等的。
上海大学 计算机 概率论与数理统计A 第4章
(2) 当 ( X , Y ) 为连续型随机变量时，则 Z = g ( X , Y ) 的数学期望为
∫ ∫
−∞
+∞ +∞
g ( x, y ) f ( x, y )dx 。 −∞
三、数学期望的性质 (1) (2) (3)
E (c ) = c
E (cX ) = cE ( X )
对于离散型随机变量 对于连续型随机变量
D( X ) = ∑ [ xk − E ( X )]2 pk
k =1
∞
D( X ) = ∫ [ x − E ( X )]2 f ( x)dx
−∞
+∞
D(X) = E(X ) −[E(X)]
2
2
二、方差的性质 （1） D (c ) = 0 （2） D (cX ) = c 2 D( X )
∫
+∞
−∞
xf ( x)dx 绝对收敛，则称该积分
为随机变量X的数学期望 数学期望，记为 E ( X ) 。 数学期望
数学期望简称为期望 期望，又称为均值 均值。 期望 均值 注：对某一随机变量来说，其数学期望不一定存在， 对某一随机变量来说，其数学期望不一定存在， 例如习题4 例如习题4。 二、随机变量函数的数学期望 1、一个随机变量的函数的数学期望 定理1：(1) 当X为离散型随机变量时，则 Z = g ( X ) 的数学 期望为
+ + （3） D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y ) ± 2 E[( X − E ( X ))(Y − E (Y ))]
若 X , Y 独立，则 D ( X + Y ) = D ( X ) + D (Y ) （4） D ( X ) = 0 的充要条件是 X 以概率1取常数 即
统计学中的随机变量
统计学中的随机变量统计学是一门研究收集、整理、分析和解释数据的学科。
而随机变量是统计学中的重要概念之一，它在描述统计数据的分布、计算概率以及进行假设检验等方面发挥着关键作用。
本文将介绍统计学中的随机变量的基本概念、性质及其在实际应用中的重要性。
一、随机变量的定义与分类随机变量是一个数值函数，它的取值取决于随机试验的结果。
随机变量可以分为离散型和连续型两种类型。
1. 离散型随机变量离散型随机变量是指在一组有限或可数的数值中取值的变量。
比如，投掷一枚骰子，点数的取值范围是1到6之间的整数，这就是一个离散型随机变量。
2. 连续型随机变量连续型随机变量是指在一个区间范围内取值的变量，其取值可以是任意实数。
比如，测量一个人的身高，身高可以是从0到无穷大的任意实数，这就是一个连续型随机变量。
二、随机变量的概率分布函数随机变量的概率分布函数是描述其取值和对应概率之间关系的函数。
离散型随机变量的概率分布函数通常称为概率质量函数，连续型随机变量的概率分布函数通常称为概率密度函数。
1. 离散型随机变量的概率质量函数离散型随机变量的概率质量函数以概率的形式给出每个可能取值的概率。
比如，掷一枚骰子的结果可能是1、2、3、4、5或6，每个结果的概率都是1/6，这就是一个离散型随机变量的概率质量函数。
2. 连续型随机变量的概率密度函数连续型随机变量的概率密度函数描述了变量在某一取值范围内的概率密度。
在某个取值范围内的概率可以通过概率密度函数在该范围上的积分得到。
常见的连续型随机变量的概率密度函数有正态分布、均匀分布等。
三、随机变量的数学期望与方差数学期望和方差是描述随机变量特征的重要指标。
1. 数学期望数学期望是随机变量在其所有可能取值上加权平均的值。
对于离散型随机变量，数学期望可以通过每个可能取值乘以其对应的概率，再求和得到。
对于连续型随机变量，数学期望可以通过概率密度函数在整个取值范围上的积分得到。
2. 方差方差是衡量随机变量取值分散程度的指标。
北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第4章随机变量的数字特征
北京理工大学《概率论与数理统计》分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在某些实际问题中，不需要全面考查随机变量的变化，只需知道它的随机变量的某些数字特征也就够了.评定某企业的经营能力时，只要知道该企业例如：年平均赢利水平研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及平均重量考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小.由上面的例子看到，平均盈利水平、平均粒数、平均环数、数据的波动大小等，都是与随机变量有关的某个数值，能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征，这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.另一方面，对于一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，其中的参数恰好就是某些数字特征，因此，只要知道了这些数字特征，就能完全确定其具体的分布.第四章随机变量的数字特征4.1随机变量的平均取值——数学期望4.2随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差4.3 描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数4.1 数学期望一离散型随机变量的数学期望二连续型随机变量的数学期望三常见分布的数学期望四随机变量函数的数学期望五数学期望的性质六、数学期望的应用一离散型随机变量的数学期望引例射击问题设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下命中环数Y0 1 2 3 4 5命中次数n k 2 13 15 10 20 30频率n k/n2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/90试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?解：平均命中环数这是以频率为权的加权平均命中环数Y0 1 2 3 4 5命中次数n k2 13 15 10 20 30频率n k /n 2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/900211321531042053090×+×+×+×+×+×=21315102030012345909090909090=×+×+×+×+×+×50k k n k n =⋅∑ 3.37.==射中靶的总环数射击次数平均射中环数频率随机波动随机波动“平均射中环数”的稳定值?=由频率的稳定性知：当n 很大时：频率n k /n 稳定于概率p k 稳定于50k k n k n =⋅∑50k k k p =⋅∑50k k n k n =⋅∑“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加定义1 设X 是离散型随机变量，它的概率分布是:P {X =x k }=p k , k =1,2,…如果绝对收敛,则称它为X 的数学期望或均值.记为E (X ), 即如果发散，则称X 的数学期望不存在.1k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑1||k k k x p∞=∑注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量.注1：随机变量X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求绝对收敛1k k k xp ∞=<+∞∑11111(1)1ln 2234212n n−+−++−→− 1111111(2)1ln 22436852−−+−−+→注2.E (X )是一个实数，而非随机变量，它是一种以概率为权的加权平均，与一般的算术平均值不同，它从本质上体现了随机变量X 取可能值的真正的平均值，也称均值.当随机变量X 取各个可能值是等概率分布时，X 的期望值与算术平均值相等.假设X 1P80 85 90 1/4 1/4 1/21()800.25850.25+900.586.25E X =×+××=X 2P80 85 901/3 1/3 1/32()85.E X =注3.数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布确定，若X服从某一分布，也称E(X)是这一分布的数学期望.乙射手甲射手例1.甲、乙两个射击手，他们射击的分布律如下表所示，问：甲和乙谁的技术更好?击中环数8 9 10概率0.3 0.1 0.6击中环数8 9 10概率0.2 0.5 0.3单从分布列看不出好坏，解：设甲，乙两个射击手击中的环数分别为X 1，X 2E (X 1)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3（环）E (X 2)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1（环）例2.1654年职业赌徒德.梅尔向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局.他们约定，谁先赢三局，则得到全部100法郎的赌本.当甲赢了2局，乙赢了1局时，因故要中止赌博.现问这100法郎如何分才算公平？解：假如比赛继续进行下去，直到结束为止. 则需要2局.这时，可能的结果为：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙即：甲赢得赌局的概率为3/4，而乙赢的概率为1/4.设：X、Y分别表示甲和乙得到的赌金数. 则分布律分别为：X0 100 P1/4 3/4Y0 100 P3/4 1/4这时，可能的结果为：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙即：甲赢得赌局的概率为3/4，而乙赢的概率为1/4.E(X)=0×1/4+100×3/4=75E(Y)=0×3/4+100×1/4=25即甲、乙应该按照3：1的比例分配全部的赌本.例3.确定投资决策方向?某人有10万元现金,想投资于某项目,预估成功的机会为30%,可得利润8万元,失败的机会为70%,将损失2万元.若存入银行,同期间的利率为5%,问是否做此项投资?解：设X 为此项投资的利润，则存入银行的利息：故应该选择该项投资.(注：投资有风险，投资须谨慎)X 8 −2P0.3 0.7此项投资的平均利润为：E (X )=8×0.3+(−2)×0.7=1(万元)10×0.05=0.5(万元)设X 是连续型随机变量，密度函数为f (x ).问题：如何寻找一个体现随机变量平均值的量.将X 离散化.二、连续型随机变量的数学期望在数轴上取等分点：…x −2<x −1<x 0<x 1<x 2<…x k +1−x k =∆x ，k =0,±1,….，并设x k 都是f (x )的连续点.则小区间[x i ,x i+1)阴影面积近似为f (x i )∆x i1()i x x f x dx+=∫()i f x x≈∆P {x i <X ≤x i +1}定义一个离散型随机变量X *如下：其数学期望存在，且绝对收敛时，P {X *=x i }=P {x i ≤X <x i +1} ≈f (x i )∆x对于X *，当当分点越来越密，即∆x →0时，可以认为X *=x i 当且仅当x i ≤X <x i +1(*)i i ix P X x =∑(*){*}i i iE X x P X x ==∑()i i ix f x x ≈∆∑0=lim ()i i x ix f x x ∆→∆∑则其分布律为E (X *) →E (X ) *0=lim x EX EX ∆→即有：+()xf x dx∞−∞=∫定义2：设X 是连续型随机变量，其密度函数为f (x )，如果绝对收敛，则称的值为X 的数学期望，如果积分发散，则称随机变量X 的数学期望不存在.+()xf x dx ∞−∞∫+||()x f x dx∞−∞∫即+()()E X xf x dx∞−∞=∫+()xf x dx ∞−∞∫记为E (X ).注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量.三、常见分布的数学期望1.0−1分布设随机变量X服从参数为p的0−1分布，求EX.解：X的分布律为X0 1P1−p p则：E(X)=0×P{X=0}+1×P{X=1}=P{X=1}=p概率是数学期望的特例(第五章)2.二项分布X 的分布律为P {X =k }=C n k p k (1−p )n−k ,k =0,1,…,n .解：设随机变量X ~b (n ,p )，求EX .0{}nk EX kP X k ==∑0(1)n k k n k n k kC p p −=−∑1!(1)!()!n k n kk n k p p k n k −=−−∑1(1)(1)1(1)!(1)(1)!()!nk n k k n np p p k n k −−−−=−−−−∑11(1)1(1)n l k l ln ln l np Cp p −=−−−−=−∑1[(1)]n np p p −=+−np=抛掷一枚均匀硬币100次，能期望得到多少次正面3.泊松分布则解：X 的分布律为设随机变量X ~π(λ)，求EX .{},0,1,2,!kP X k e k k λλ−=== 00(){}!k k k e E X kP X k k k λλ−∞∞=====∑∑11(1)!k k ek λλλ−∞−==−∑1!ii k i e i λλλ∞=−−=∑=e e λλλλ−=1!k k e k k λλ−∞==∑泊松分布的参数是λ4.几何分布解：X 的分布律为P {X =k }=q k −1p ,k =1,2,….p+q =1设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，求EX .111(){}k k k E X kP Xk k pq∞∞−=====⋅∑∑11k k p k q∞−=⋅∑1=()kk p q ∞=′∑1=()k k p q ∞=′∑()1q p q′=−211(1)p q p=−重复掷一颗骰子平均掷多少次才能第一次出现6点设X ~U (a , b )，求E (X ).解：X 的概率密度为：X 的数学期望为：数学期望位于区间(a ,b )的中点.5.均匀分布1()0a xb f x b a<<=− 其它()()2bax a b E X xf x dx dx b a +∞−∞+===−∫∫设X 服从指数分布，求E (X ).分部积分法6.指数分布当概率密度表示为：对应的数学期望为θ.,0()0,x e x f x x λλ− >=≤ 0xxedx λλ+∞−=∫()()E X xf x dx +∞−∞=∫1λ=1,0()0,0xe xf x x θθ− > = ≤解：X 的概率密度为：设X ~N (μ,σ2)，求E (X ).解：X 的概率密度为被积函数为奇函数，故此项积分为0.7.正态分布22()21()2x f x eµσπσ−−=()()E X xf x dx +∞−∞=∫22()212x xedxµσπσ−+∞−−∞=∫221()2x t t t edtµσσµπ−=+∞−−∞+∫ 2222122t t tedt edt σµππ+∞+∞−−−∞−∞+∫∫µ=N (0,1)的密度函数积分为1.注意：不是所有的随机变量都有数学期望例如：Cauchy 分布的密度函数为但发散故其数学期望不存在.21(),(1)f x x x π=−∞<<+∞+2||||()(1)x x f x dx dx x π+∞+∞−∞−∞=+∫∫四随机变量函数的数学期望设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.例4.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记该种电器的使用寿命为X (以年计)，规定：X ≤1,一台付款1500元；1<X ≤2，一台付款2000元2<X ≤3，一台付款2500元；X >3，一台付款3000元设X 服从指数分布，且平均寿命为10年，求该商店一台电器的平均收费.解：设该商店一台电器的收费为Y .要求E (Y )X 的分布函数为：1101,()0,0x e x F x x − −>=≤设该商店一台电器的收费为YX ≤1，一台付款1500元1 <X ≤2，一台付款2000元2 <X ≤3，一台付款2500元X >3，一台付款3000元1101,0()0,0x ex F x x − −>=≤P {Y =1500}=P {X ≤1}=F (1)=1−e −0.1=0.0952P {Y =2000}=P {1<X ≤2}=F (2)−F (1)=0.0861P {Y =2500}=P {2<X ≤3}=F (3)−F (2)=0.0779P {Y =3000}=P {X >3}=1−F (3)=0.7408设X 服从指数分布，且平均寿命为10年.Y 的分布律为所以该商店一台电器的平均收费，即Y 的数学期望为Y 1500 2000 2500 3000P0.0952 0.0861 0.0779 0.7408()15000.095220000.086125000.0779 30000.74082732.15E Y =×+×+×+×=使用上述方法必须先求出g(X)的分布，有时这一步骤是比较复杂的.那么是否可以不先求g(X)的分布，而只根据X的分布求E[g(X)]呢？例5.设离散型随机变量X 的概率分布如下表所示,求:Z=X 2的期望.X−11P214141E (Z )= g (0)×0.5+g (-1)×0.25+g (1)×0.25解:=0.5注:这里的.)(2x x g =(1)当X 为离散型随机变量时，分布律为P {X = x k }=p k ，k =1,2,⋯(2)当X 为连续型随机变量时，概率密度函数为f (x ).定理：设Y 是随机变量X 的函数，Y =g (X )(g 是连续函数)若级数绝对收敛，则有若积分绝对收敛，则有1()[()]()kkk E Y E g X g x p∞===∑()[()]()()E Y E g X g x f x dx+∞==∫1()k k k g x p ∞=∑()()g x f x dx+∞−∞∫该公式的重要性在于：当求E [g (X )]时，不必知道g (X )的分布，而只需知道X 的分布就可以了，这给求随机变量函数的期望带来很大方便.k k k g x p X E Y E g X g x f x dx X 1(),()[()]()(),∞=+∞−∞== ∑∫离散型连续型例6.设随机变量X~b(n, p)，Y=e aX，求E(Y).解：因为X的分布律为所以有{}(1), 0,1,...,k k n knP X k C p p k n−==−= ()E Y=(1)nak k k n knke C p p−=−∑()(1)nk a k n knkC e p p−=−∑[(1)]a npe p=+−={}nakke P X k==∑例7.设X ~U [0,π]，Y=sinX ，求E (Y ).解：因为X 的概率密度为所以有1,0()0,x f x ππ≤≤ =其他()sin ()E Y xf x dx +∞−∞=∫01sin x dx ππ⋅∫2π=定理：设Z 是随机变量X 和Y 的函数，Z =g (X,Y )(g 是连续函数),Z 是一维随机变量(1)若(X,Y )是二维离散型随机变量，概率分布为(2)若(X,Y )是二维连续型随机变量，概率密度为f (x, y )，则有这里假定上两式右边的积分或级数都绝对收敛11()[(,)](,)ijijj i E Z E g X Y g x y p∞∞====∑∑()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞==∫∫{,},,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====则有几个常用的公式()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞==∫∫(,)EX xf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫(,)EY yf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫22()(,)E Y y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫22()(,)E X x f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫()(,)E XY xyf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫例8.设二维随机变量(X ,Y )的密度函数为求E (X ),E (Y ),E (X +Y ),E (XY ).解：21(13),02,01,(,)40,x y x y f x y +<<<< =其它()(,)E X xf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫212001(13)4x xdx y dy =⋅+∫∫43=()(,)E Y yf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫212001(13)4xdx y y dy +∫∫58=数学期望的性质注意：X ,Y 相互独立()()(,)E X Y x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞+=+∫∫(,)(,)xf x y dxdy yf x y dxdy+∞+∞+∞+∞−∞−∞−∞−∞+∫∫∫∫()()E X E Y +45473824=+=()(,)E XY xyf x y dxdy +∞+∞−∞−∞=∫∫2120011(13)22x xdx y y dy=⋅⋅+∫∫455386=⋅=()()E X E Y ⋅设X =(X 1,…, X n )为离散型随机向量，概率分布为≥ 1nnj j j j n P X =x ,,x =p ,j ,,j .11{()}1Z = g (X 1,…, X n ),若级数绝对收敛，则.<∞∑ nnnj j j j j j g x ,,x p 111()=∑ nnnn j j j jj j E Z =E g X ,,X g x ,,x p 1111()(())()设X =(X 1,…, X n )为连续型随机向量，联合密度函数为 n f x x 1(,,)Z = g (X 1,…, X n ),若积分绝对收敛，则+∞+∞−∞−∞∫∫n n ng x x f x x x x 111(,,)(,,)d d n E Z E g X X 1()=((,,))+∞+∞−∞−∞=∫∫n n ng x x f x x x x 111(,,)(,,)d d五数学期望的性质1.设C 是常数，则E (C )=C 4.设X 、Y 相互独立，则E (XY )=E (X )E (Y );2.若k 是常数，则E (kX )=kE (X )3.E (X +Y )=E (X )+E (Y )注意:由E (XY )=E (X )E (Y )不一定能推出X ,Y 独立推广(诸X i 相互独立时)推广11[]()nni i i i i i E C X C E X ===∑∑11[]()n ni i i i E X E X ===∏∏性质4 的逆命题不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定相互独立.反例XY p ij -1 0 1-10181818181818181810p • j838382p i•838382X Y P-1 0 1828284EX EY ==0;E XY ()=0;=E XY EX EY ()但P X Y 1{=-1,=-1}=8≠=P X P Y 23{=-1}{=-1}8××=30+2103-3+5=92X XY Y X XY Y E(3+2-+5)=3E()+2E()-E()+E(5)性质2和3×××EX EY =310+2-3+5性质4例9.设X ～N (10,4)，Y ～U [1,5]，且X 与Y 相互独立，求E (3X ＋2XY －Y ＋5).解：由已知，有E (X )＝10, E (Y )＝3.例10: 设X 1 , X 2…,X n 相互独立且都服从B (1, p ),求Z = X 1 + X 2+…+X n 的数学期望E (Z ).解:注: 由二项分布的可加性易知Z = X 1 + X 2+…+X n ～B (n, p ).EZ = E (X 1 + X 2+…+X n )= E (X 1 ) +E ( X 2)+…+E (X n )= p +p +…+p =n p求二项分布的数学期望的又一种方法.例11.（超几何分布的数学期望）设一批同类型的产品共有N 件，其中次品有M 件.今从中任取n (假定n ≤N −M )件，记这n 件中所含的次品数为X ，求E (X ).则有所以解: 引入X ＝X 1+X 2+…+X n且易知抽签模型，概率与试验次数无关例10和例11：将X 分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的期望等于期望的和这一性质，此方法具有一定的意义.1,,1,2,,0,i i X i n i ==第件是次品第件不是次品iMP X N{1}==1()ni i EX E X ==∑ni i P X 1{1}==∑1ni M N ==∑nM N =为普查某种疾病，N 个人需验血.有如下两种验血方案：（1）分别化验每个人的血，共需化验N 次；（2）分组化验.每k 个人分为1组，k 个人的血混在一起化验，若结果为阴性，则只需化验一次；若为阳性，则对k 个人的血逐个化验，找出有病者，此时k 个人的血需化验k+1次.设每个人血液化验呈阳性的概率为p ，且每个人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.验血方案的选择例13.六、数学期望的应用解：只需计算方案(2)所需化验次数X 的期望.。
随机系统的稳定性分析与控制读书札记
《随机系统的稳定性分析与控制》读书札记1. 随机系统稳定性分析概述在《随机系统的稳定性分析与控制》作者首先为我们介绍了随机系统的定义、性质和分类。
随机系统是指其状态变量遵循随机过程的数学模型，这些过程通常具有一定的统计特性，如均值、方差等。
随机系统可以分为线性、非线性和时变三种类型，它们分别具有不同的稳定性特征。
线性随机系统是指其状态变量之间存在线性关系的系统，其稳定性分析主要集中在极点问题上。
非线性随机系统则需要考虑其解的奇偶性、连续性等因素，以确定系统的稳定性。
时变随机系统则需要考虑时间演化对系统稳定性的影响，这通常涉及到动态方程的稳定性分析。
为了研究随机系统的稳定性，我们需要先了解一些基本的概念和方法。
稳定性判据包括渐近稳定性、可控性、可观性等，它们可以用来判断系统是否稳定。
还有一些常用的数学工具，如微分方程、线性代数、概率论等，它们可以帮助我们分析系统的稳定性。
在实际应用中，随机系统的稳定性分析对于确保系统的安全运行至关重要。
在控制系统设计中，我们需要确保系统具有足够的稳定性以避免出现不可控的现象；在金融领域，稳定性分析可以帮助我们评估投资风险并制定相应的风险管理策略。
深入研究随机系统的稳定性分析具有重要的理论和实践意义。
1.1 随机过程的基本概念随机过程作为随机系统的基础组成部分，对于理解整个系统的动态行为和特性至关重要。
对于从事相关领域研究的人员来说，掌握随机过程的基本概念是进行稳定性分析与控制的前提。
本章节主要探讨了随机过程的基本概念、性质以及相关的数学工具，为后续研究打下坚实的基础。
随机过程是一系列随机事件的动态序列，其中每一事件都依赖于时间或其他参数的变化。
根据随机过程的特性，可以将其分为多种类型，如马尔科夫过程、泊松过程等。
理解这些不同类型的随机过程有助于我们更深入地研究其统计特性和概率分布。
本节详细阐述了随机变量、随机函数和随机过程之间的关系与差异。
随机变量描述的是单一事件的不确定性，而随机过程则描述了一系列随时间或其他参数变化的随机事件。
随机数的产生及统计特性分析-实验报告
电子科技大学通信与信息工程学院标准实验报告实验名称：随机数的产生及统计特性分析电子科技大学教务处制表电子科技大学实验报告学生姓名：吴子文学号：2902111011 指导教师：周宁实验室名称：通信系统实验室实验项目名称：随机数的产生及统计特性分析实验学时：6（课外）【实验目的】随机数的产生与测量：分别产生正态分布、均匀分布、二项分布和泊松分布或感兴趣分布的随机数，测量它们的均值、方差、相关函数，分析其直方图、概率密度函数及分布函数。
通过本实验进一步理解随机信号的一、二阶矩特性及概率特性。
编写MATLAB程序，产生服从N（m, sigma2）的正态分布随机数，完成以下工作：（1）、测量该序列的均值，方差，并与理论值进行比较，测量其误差大小，改变序列长度观察结果变化；（2）、分析其直方图、概率密度函数及分布函数；（3）、计算其相关函数，检验是否满足Rx(0)=mu^2+sigma2，观察均值mu 为0和不为0时的图形变化；（4）、用变换法产生正态分布随机数，重新观察图形变化，与matlab函数产生的正态分布随机数的结果进行比较。
【实验原理】1、产生服从N（m, sigma2）的正态分布随机数，在本实验中用matlab中的函数normrnd()产生服从正态分布的随机数。
（1）R = normrnd(mu,sigma) 产生服从均值为mu，标准差为sigma的随机数，mu和sigma可以为向量、矩阵、或多维数组。
（2）R = normrnd(mu,sigma,v) 产生服从均值为mu 标准差为sigma的随机数，v是一个行向量。
如果v是一个1×2的向量，则R为一个1行2列的矩阵。
如果v 是1×n 的，那么R 是一个n 维数组。
（3）R = normrnd(mu,sigma,m,n) 产生服从均值为mu 标准差为sigma 的随机数，标量m 和n 是R 的行数和列数。
2、测量该序列的均值、方差，并与理论值进行比较，测量其误差大小，改变序列长度观察结果变化。
随机变量的基本概念
随机变量的基本概念随机变量是概率论中的一个重要概念，它是描述随机现象结果的数学变量。
在概率论和数理统计中，随机变量是对随机试验结果的数值描述，它的取值不是确定的，而是依赖于随机试验的结果。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的，它们在不同的概率分布下具有不同的特性。
本文将介绍随机变量的基本概念，包括随机变量的定义、分类、性质以及常见的概率分布。
一、随机变量的定义随机变量是对随机试验结果的数值描述，它的取值不是确定的，而是依赖于随机试验的结果。
随机变量通常用大写字母表示，如X、Y 等。
在数学上，随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量两种类型。
1. 离散随机变量：如果随机变量只能取有限个或可数个数值，称为离散随机变量。
离散随机变量的取值是可以数清楚的，例如掷骰子的点数、抛硬币的正反面等。
2. 连续随机变量：如果随机变量在某一区间内可以取无穷多个数值，称为连续随机变量。
连续随机变量的取值是连续的，例如人的身高、温度等。
二、随机变量的分类根据随机变量的取值类型和分布特点，可以将随机变量分为不同的类型，常见的随机变量包括离散型随机变量、连续型随机变量和混合型随机变量。
1. 离散型随机变量：离散型随机变量的取值是有限个或可数个，通常用概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）描述其分布特征。
常见的离散型随机变量包括伯努利随机变量、二项随机变量、泊松随机变量等。
2. 连续型随机变量：连续型随机变量的取值是连续的，通常用概率密度函数（Probability Density Function，PDF）描述其分布特征。
常见的连续型随机变量包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
3. 混合型随机变量：混合型随机变量是离散型随机变量和连续型随机变量的组合，其取值既可以是离散的，也可以是连续的。
混合型随机变量的分布特征由概率质量函数和概率密度函数共同描述。
三、随机变量的性质随机变量具有一些重要的性质，包括期望、方差、协方差等，这些性质可以帮助我们更好地理解随机变量的特征和分布规律。
随机变量的定义定义
条件随机变量
01
定义
条件随机变量是指在给定某些变量的条件下，另一个变量 的概率分布。
02 03
描述
条件随机变量通常用于描述两个或多个随机事件之间的条 件关系，例如在概率图模型中，条件随机变量被用来表示 节点之间的条件依赖关系。
应用
条件随机变量在许多实际问题中都有应用，例如在自然语 言处理中，给定上下文的情况下，下一个词的概率分布可 以用条件随机变量来表示；在推荐系统中，给定用户历史 行为的情况下，用户的兴趣偏好可以用条件随机变量来表 示。
02
相关系数的定义
相关系数是协方差与两个随机变量各自方差的比值，用于衡量两个随机
变量的线性相关程度。
03
协方差与相关系数的性质
协方差和相关系数具有对称性、非负性、规范性等性质，这些性质使得
协方差和相关系数成为描述两个随机变量之间线性关系的重要指标。
03
CATALOGUE
随机变量的应用
在统计学中的应用
方差的定义
方差是随机变量取值与期望值之差的平方的平均值，用于衡量随机变量取值的离散程度 。
方差的性质
方差具有非负性、规范性、可加性等性质，这些性质使得方差成为描述随机变量离散程 度的重要指标。
协方差与相关系数
01
协方差的定义
协方差是两个随机变量取值之间线性关系的度量，反映了两个随机变量
同时取值的波动情况。
概率分布
随机变量是概率论的基本概念之一，它可以表示某一随机现象的 结果，并具有特定的概率分布。
随机事件的概率
通过随机变量，我们可以计算随机事件的概率，了解事件发生的 可能性。
随机过程的描述
在随机过程中，随机变量用于描述随机现象的变化规律，帮助我 们理解随机现象的本质。
随机过程的统计特性
2.2.1 随机过程的概率分布 1. 一维概率分布
对于任意的时刻t，X(t)是一个随机
变量F，X设(xx为,t任) 意P实{数X，(t定) 义 x}
为随机过程X(t)的一维分布函数。
若 则定F义X ( x, t)
的一阶偏导数存在，
f
X
(
x,
t)
FX (x, x
t)
为随机过程X(t)的二维概率密度。
对于任意的时刻t1,t2,…, tn， X(t1),X(t2),…, X(tn)是一组随机变量，
PF{X 定过X(x(义程1t,1x这X)2(,组t)x的随1,,nx机X维n;(变t概t12,量)t率2的,分x联2布,,合tn，)分,即X布定(为t义n )随机xn}
4FXY ( x1, x2, y1, y2;t1, t2, t1' , t2 ' ) x1x2y1y2
若两个随机过程互相独立，则有
f XY (x1,, xn, y1,, ym;t1,,tn,t1',,tm' ) f X (x1,, xn;t1,,tn ) fY ( y1,, ym;t1',,tm' )
当
时，
t1 t2
当 CX (t1, t1)时，RX (t1, t1) mX (t1)mX (t1) E[ X (t1) X (t1)] mX 2 (t1) E[ X 2(t1)] E2[ X (t1)]
X 2 (t1)
若对于任意的t1和t2都有CX(t1,t2)=0, 那么随机过程的任意两个时刻状态间 是不相关的。
[x mX (t1)][y mY (t2)] fXY (x, y;t1,t2)dxdy
概率论与数理统计-随机变量及其分布-随机变量与分布函数
7
01 随机变量
如何描述随机变量的统计规律呢 ？
无论是离散型随机变量，还是连续型随机变量以及其他类型 的随机变量，都需要一种统一的描述工具.
对一个样本空间，当建立了随机变量后，我们感兴趣的随机 变量落在某区间或等于某特定值的概率. 为此给出分布函数的概 念.
8
本讲内容
01 随机变量 02 分布函数
02 分布函数 定义 设 X 为随机变量，x 是任意实数，称函数 为 X 的分布函数.
x
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的
值就表示 X 落在区间
的概率.
10
02 分布函数
用分布函数计算 X 落在( a ,b ] 里的概率：
因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性 就可以得到全面的描述.
分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数 学分析的分布函数
分布函数的性质
(1) F ( x ) 单调不减，即
(3) F ( x ) 右连续，即 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量X 的分 布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某随机变 量的分布函数的充分必要条件.
01 随机变量
随机变量 ( random variable ) 定义 设 S 是试验E的样本空间, 若
按一定法则
ω.
X(ω)
R
4
01 随机变量
随机变量通常用
X,Y,Z或 , ,等表示
随机事件可以通过随机变 量的关系式表达出来 例如 某人每天使用移动支付的次数——随机变量X {某天至少使用1次移动支付} {某天1次也没有使用}
12
02 分布函数
例 解
随机过程的基本概念以统计特性
X (t )
=
X (t,i ) ，由全部元素 {ξ }
称为随机过程，简记为 X (t , )
。
S
9
定义 2 ：设有一个过程 X(t) ，若对于每一个固定的时刻 ， 是一个随机变量，则 X(t) tj(j 1 ,2 ,3 ) X (t j , ) 称为随机过程。
S
10
噪声电压的起伏波形
5
2、观察具有随机振幅 A 或随机相位 的电压波形 若A和 0为常数， 是（0，2π）的随机取值的随机变量， 电压波形为
1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
第1章
随机过程
主要内容：
随机过程的基本概念及其统计特性 连续时间随机过程的微分和积分 随机过程的平稳性和遍历性 联合平稳随机过程 正态随机过程 马尔可夫链
2
随机变量 随机过程
与时间无关
与时间相关
3
1.1 随机过程的基本概念及统计特性
自然界事物的变化分为两大类：确定性过程和随机过程。 确定性过程： 1）每次试验得到的观测 过程都相同。 2）具有确定形式的变化 过程，或可用一个时 间t的确定函数表示。 正弦信号 随机过程： 1）每次试验得到的观测 过程都不同。 2）没有确定的变化形式 或不能用一个时间t 示波器的噪声电压 的确定函数表示。
先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法 来计算。
25
1 数学期望（均值函数）
m ( t ) E [ X ( t ) ] f (,) x td x X x
随机变量的基本概念
随机变量的基本概念随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，它是对随机试验结果的数值化描述。
在实际问题中，我们常常需要研究某个随机试验的结果与某个数值之间的关系，这时就需要引入随机变量来描述试验结果的数值特征。
一、随机变量的定义随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它的取值是由随机试验的结果决定的。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
离散随机变量：如果随机变量的取值是有限个或可列无限个，那么它就是离散随机变量。
例如，掷一枚骰子，随机变量X表示出现的点数，它的取值为1、2、3、4、5、6。
连续随机变量：如果随机变量的取值是一个区间上的任意实数，那么它就是连续随机变量。
例如，某地一天的降雨量，随机变量X表示降雨量的大小，它的取值可以是任意的实数。
二、随机变量的分布函数随机变量的分布函数是描述随机变量取值规律的函数。
对于离散随机变量，分布函数可以用概率质量函数来表示；对于连续随机变量，分布函数可以用概率密度函数来表示。
离散随机变量的分布函数：设X是一个离散随机变量，其取值为x1、x2、x3、...，对应的概率为p1、p2、p3、...，则X的分布函数F(x)定义为F(x)=P(X≤x)=p1+p2+...+pk。
连续随机变量的分布函数：设X是一个连续随机变量，其概率密度函数为f(x)，则X的分布函数F(x)定义为F(x)=P(X≤x)=∫f(t)dt，其中积分区间为负无穷到x。
三、随机变量的概率密度函数对于连续随机变量，概率密度函数是描述随机变量取值规律的函数。
概率密度函数f(x)满足以下两个条件：1. f(x)≥0，对于任意的x；2. ∫f(x)dx=1，积分区间为负无穷到正无穷。
概率密度函数与分布函数之间的关系为：F(x)=∫f(t)dt，其中积分区间为负无穷到x。
四、随机变量的数学期望随机变量的数学期望是对随机变量取值的平均值的度量。
对于离散随机变量，数学期望可以通过加权平均的方式计算；对于连续随机变量，数学期望可以通过积分的方式计算。
基础会计学 随机变量
基础会计学随机变量
在基础会计学中，随机变量是一个非常重要的概念。
随机变量指的是在某个随机试验中可能取得的值，这些值是随机的，并且可以用来描述事件发生的概率分布。
随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量两种类型。
离散随机变量是指在一定范围内可能取得有限个数值的变量，比如掷硬币的结果只能是正面或反面。
而连续随机变量则是指在某一区间内可以取得任意值的变量，比如人的身高就是一个连续随机变量。
在会计学中，随机变量的应用非常广泛。
比如在风险管理中，我们可以用随机变量来描述不同风险事件发生的概率，从而制定相应的风险管理策略。
又比如在财务分析中，我们可以用随机变量来描述公司未来收入的不确定性，从而评估公司的经营风险。
随机变量还可以帮助我们进行决策分析。
通过对不同随机变量的概率分布进行分析，我们可以选择出最优的决策方案，从而提高决策的准确性和效果。
总的来说，随机变量在基础会计学中起着非常重要的作用。
通过对随机变量的研究和分析，我们可以更好地理解和应对不确定性，从而提高会计学的决策效率和准确性。
希望大家能够深入学习和理解随机变量的概念，从而更好地应用于实际的会计工作中。
第三章 随机变量的数字特征
第三章 随机变量（向量）的数字特征
§3.1 随机变量的数学期望 §3.2 随机变量的方差 §3.3 协方差与相关系数
为了完整的描述随机变量的统计特性，自然应该知道 其分布函数，因为随机变量的分布函数可以反映随机变量 取值的规律。但是在实际问题中，一方面随机变量的分布 或分布函数并不都是容易求得的，另一方面，往往也不需 要知道随机变量的详尽的概率分布，而仅需要知道其某些
四、随机变量函数的数学期望 1. 一元随机变量函数的情况 设Y g( X )是随机变量 X的函数， （1）离散型
如果随机变量X 的概率函数为 P{ X xk } pk k 1, 2, 则有E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) pk
k 1
（2）连续型
x2
1 n
Pk
n
… xi … 1 n
… xn … 1 n
E ( X ) x1 1 x2 1 ... xn 1 1 xi n n n n
i 1
2.两点分布 由数学期望的定义
E( X ) p
X pi
0
1
q
p
3. 二项分布 若随机变量 X ~ B(n, p) ，其概率函数为
xR
( x )2 2 2
1 E ( X ) xf ( x)dx xe 2 t2 (x ) 1 令t ( t )e 2 dt 2 t2 1 e 2 dt 2
dx
解：由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v)dv kv dv ka a 3 0
2 2 a
例3.6 设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为
通信原理——随机信号分析
x(fx)dxE(X)
称为随机变量X的数学期望，又称均值。用E(X)表 示。 ▪ 方差 设X为一随机变量，则：
E{[X-E(X)]2}＝D(X) 称为随机变量X的方差，用D(X)表示。
随机变量的基本概念和统计特性
▪ 协方差 设X，Y为两随机变量，则： E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=cov(X,Y) 称为随机变量X与Y的协方差。记为cov(X,Y)
随机过程的基本概念和统计特性
▪ 二维概率分布函数及概率密度函数 任给两个时刻t1, t2∈T，则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成 一个二维随机变量{ξ(t1), ξ(t2)}，则 F2(x1,x2; t1,t2)=P[ξ(t1)≤x1, ξ(t2)≤x2] 称为随机过程ξ(t)的二维概率分布函数。
f(x) dF(x) dx
( 导数关系 )
则函数f(x)称为随机变量X的概率密度函数。
随机变量的基本概念和统计特性
▪ ▪ 设E是一个随机试验，它的样本空间S={e}，设X和 Y是定义在S上的两个随机变量，则由X和Y构成的 向量(X, Y)，叫做二维随机变量/向量。 ▪ 设 (X, Y) 是二维随机变量，对于任意实数x, y，二 元函数： F(x,y)= P{X≤x ,Y≤y} 称为二维随机变量(X, Y) 的概率分布函数。
▪ 相关系数 设X，Y为两随机变量，则： covX(,Y) XY D(X) D(Y) 称为随机变量X与Y的相关系数。
随机过程的基本概念和统计特性
▪ 随机过程： 设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。每一次试验都有一条时间 波形(称为样本函数或实现)，记作xi(t)，所有可能出现 的结果的总体 {x1(t), x2(t)， …, xn(t)， …}就构成一随机 过程，记作ξ(t)。 简言之，无穷多 个样本函数的总 体叫做随机过程， 如图所示。
简述最大熵定理内容
简述最大熵定理内容最大熵原理是一种选择随机变量统计特性最符合客观情况的准则，也称为最大信息原理。
随机量的概率分布是很难测定的，一般只能测得其各种均值（如数学期望、方差等）或已知某些限定条件下的值（如峰值、取值个数等），符合测得这些值的分布可有多种、以至无穷多种，通常，其中有一种分布的熵最大。
选用这种具有最大熵的分布作为该随机变量的分布，是一种有效的处理方法和准则。
这种方法虽有一定的主观性，但可以认为是最符合客观情况的一种选择。
在投资时常常讲不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里，这样可以降低风险。
在信息处理中，这个原理同样适用。
在数学上，这个原理称为最大熵原理。
历史背景最大熵原理是在1957年由E.T.Jaynes提出的，其主要思想是，在只掌握关于未知分布的部分知识时，应该选取符合这些知识但熵值最大的概率分布。
因为在这种情况下，符合已知知识的概率分布可能不止一个。
我们知道，熵定义的实际上是一个随机变量的不确定性，熵最大的时候，说明随机变量最不确定，换句话说，也就是随机变量最随机，对其行为做准确预测最困难。
从这个意义上讲，那么最大熵原理的实质就是，在已知部分知识的前提下，关于未知分布最合理的推断就是符合已知知识最不确定或最随机的推断，这是我们可以作出的不偏不倚的选择，任何其它的选择都意味着我们增加了其它的约束和假设，这些约束和假设根据我们掌握的信息无法作出。
可查看《浅谈最大熵原理和统计物理学》——曾致远(RichardChih-YuanTseng)研究领域主要为古典信息论，量子信息论及理论统计热物理学，临界现象及非平衡热力学等物理现象理论研究古典信息论在统计物理学中之意义及应用[1]。
发展过程早期的信息论其中心任务就是从理论上认识一个通信的设备（手段）的通信能力应当如何去计量以及分析该通信能力的规律性。
但是信息论研究很快就发现利用信息熵最大再附加上一些约束，就可以得到例如著名的统计学中的高斯分布（即正态分布）。
cp3_1随机过程的基本概念
若X与Y不相关，不一定统计独立。
不相关的充要条件为：CXY= rxy=0 …协方差为0
《 通信原理》第三章 随机过程
3-1-14
第1节随机过程的基本概念
例3.1-1 随机变量X取离散值2，5，8，概率分别为0.5、 0.2、0.3，求该随机变量的方差。
m x E[ x ] xi P( x xi ) xi P( xi ) =2×P(2)+5×P(5)+8×P(8)
3-1-8
第1节随机过程的基本概念
随机变量的数字特征 ⑴数学期望：随机变量X的统计平均值。 …………X为连续随机变量
m x E[x]
xf ( x)dx
m x E[ x ] xi P( x xi ) xi P( xi )
i 1 i 1
… X为离散随机变量
连续型随机变量：X的可能取值为整个区间的任意值。如接收
机输出电压噪声。
离散型随机变量： X的可能取值为有限值。如掷殺子。
《 通信原理》第三章 随机过程
3-1-3
第1节随机过程的基本概念
分布函数 在实际问题中，往往研究X≦xi的概率比研究x=xi的概率更有意义。 随机变量X的取值不超过x的概率P(X ≦x)为X的（概率）分布函数。 记为F(x)= P(X ≦x)。 设离散随机变量X可能取值有6个,x1～x6 ,且x1﹤…﹤x6 ,概率表：
E[g( x )] g ( xi ) P( x xi ) g ( xi ) P( xi )
i 1 i 1
… X为离散随机变量
《 通信原理》第三章 随机过程
3-1-10
第1节随机过程的基本概念
概率论与数理统计 第四章
矩，它们都是随机变量函数的数学期望。
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概率论与数理统计
【例3】[P.115:eg6]
〖解〗设X为随机取一球的标号,则r.v.X等可 能地取值1,2,3,4,5,6;
又Y=g(X),且
g(1)= g(2)= g(3)=1; g(4)= g(5)=2, g(6)=5. 故随机摸一球得分的期望为
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显然, 方差D(X)就是随机变量X的函数 g ( X ) [ X E( X )]2 的数学期望.因此,当X的分布律 p 或概率密度 k 已知时,有
2 [ x E ( X )] pk , 离散型 k k 1 D ( X ) [ x E ( X )]2 f ( x)dx, 连续型
1500 (分) □
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二、随机变量函数的数学期望 利用随机变量函数的分布可以证明下列两定理: 定理1 设Y=g(X)是随机变量X的连续函数，则 Y 也是随机变量，且其数学期望为
离散型 g ( xk ) pk , k 1 E (Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx, 连续型
X2 Pk 3X2+5 Pk 0 0.3 5 0.3 4 0.7 17 0.7
于是,
E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2;
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例6-续
E(X2)=0×0.3+4×0.7=2.8; E(3X2+5)=5×0.3+17×0.7=13.4.
方法2(定义+性质法) 因为 E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2; E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8; 所以, E(3X2+5)=3E(X2)+5=3×2.8+5=13.4. □
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lim P {Y y | x X x }
存在，则称此极限为在条件 X x 下Y的条件分布函数，写成
P {Y y | X x } 或记为 FY | X ( y | x )
条件概率密度：
fY |X ( y | x )
FY | X ( y | x ) y
2
0.4
0.3
0.2
E(X
2
2
) E (X )
2
0.1
通常记为 X ， X 称为均方差或标准差。
0 -10
-5
1 1
0
5
10
随机变量的取值与其均值的偏离程度 性质：
2 3
D(c)=0
D(cX)=c2D(X)，c=constant 对于n个独立的随机变量 X 1 , X 2 , , X n
函数X(e)，称X(e)为随机变量，简记为X。
随机变量是定义在样本空间S上的单值函数
二、随机变量的分类
连续型随机变量 离散型随机变量 离散型随机变量是指它的取值为有限个或者可列无穷个 离散型随机变量的概率分布：
概率分布列：
X pk
P ( X xk ) pk
(k 1, 2,...., n)
离散型随机变量： E ( X ) 性质：
i 1
N
xi pi
所有取值的统计平均 均值为线性算子；
若随机变量X与Y相互独立，则有 E ( XY ) E ( X ) E ( Y )
若 E ( XY ) 0 ，则称X与Y正交。
2、方差(Variance)
D ( X ) E {[ X E ( X )] }
， x 0 x 0
瑞利分布概率密度＝2
指数分布（Exponential）
e x， x 0 f (x) x 0 0，
1.5
1
0.5
0 0
1
2
3
4
5
6
7
指数分布概率密度
一、二维随机变量
设随机试验E的样本空间S={e},X=X(e)和Y=Y(e)是
F (x)
1 1/2 0
(0,1)分布的分布函数
i
p iU ( x x i )
x
•随机变量的概率密度(PDF) 对随机变量X的分布函数 F ( x ) ,如果存在非负函数 f ( x ) 使对任意实数
F (x)
x 有：
x
f (t ) d t
称 f ( x ) 为 F ( x ) 的概率分布密度，简称概率密度
•概率密度性质
f (x)
f (x) 0
x
f ( x ) dx 1
0
x1
x2
随机变量落入( x 1 , x 2 ) 的概率
P{ x1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x1 )
x2
f ( x ) dx
x1
•离散型随机变量的概率密度(PDF)
F ( x)
p
i j
ij
1
三、二维分布函数
设（X，Y）为二维随机变量，x，y为实数，定义
F ( x , y ) P{ X x , Y y}
为二维随机变量的分布函数。
y
( x, y )
y
y2
x
0
y1
x
0
x1
x2
二维分布函数图解
二维随机变量落在某一区域的概率
二维分布函数性质
0 F ( x, y ) 1
e
k
k!
k 0,1,... 0
X ~ P ( )
一、分布函数
设X为随机变量， 为实数，定义 x
F ( x ) P { X x}
为X的
概率分布函数，简称分布函数。
二、分布函数的性质
F (x)
是一个不减函数
F ( x 2 ) F ( x1 ) 0 x 2 x1 0, F ( ) 1
D( X 1 X n ) D ( X 1) D ( X n )
3、协方差(Covariance)与相关系数
协方差： c o v ( X , Y ) E { [ X E ( X )][ Y E ( Y )]}
E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) K
XY
相关系数： 性质：
r XY
cov( X , Y ) D ( X ) D (Y )
描述两个随机变量相互关系
r XY 0 X与Y不相关
r XY 1
当X与Y相互独立时 r XY 0
rX Y 1 的充分必要条件是X与Y依概率1线性相关，即
P {Y a X b } 1
4、矩(Moment)
m m n m
P (m) Cn p q n
(0 m n )
X ~ B (n, p )
例：某人进行射击训练，设每次射击的命中率为0.02，独立射击
400次，求至少命中两次的概率为多少？
离散型随机变量常见分布
(0,1)分布
P{X 1 p, } P{X 0} 1 p (0 p 1)
f ( x , y ) f X |Y ( x | y ) f Y ( y ) f Y | X ( y | x ) f X ( x )
f ( x, y ) f X ( x) fY ( y )
称随机变量X，Y独立
1、均值(Mean)(数学期望)
定义：
E(X )
x f ( x ) d x 为随机变量X的均值，记为 m X 。
随机变量的数字特征
均值：E ( X )
xf ( x )dx
E(X )
i 1
N
xi pi
方差： D ( X ) E {[ X E ( X )] 2 } 协方差： co v( X , Y ) E { [ X E ( X )][Y E (Y )]} K X Y 相关系数：
பைடு நூலகம்
定义在样本空间S上的两个随机变量,由X和Y构成的矢
量（X，Y）称为二维随机变量。
y
R
2
e S
●
●
( X (e), Y (e))
x
二、二维随机变量的分类
连续型随机变量 离散型随机变量 离散型随机变量是指(X,Y)的取值为有限个或者可列无穷个 二维离散型随机变量的取值规律： 联合概率分布列：
P ( X xi , Y yi ) pij (i , j 1, 2,....)
distribution
a x b 其它
X ~ U (a, b)
在实际问题中，定点计算的舍入误差，计算机产生的随
机数，正弦波的随机相位等都用到均匀分布。
瑞利分布（Rayleigh）
2 x x 2 exp 2 f (x) 2 0，
0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12
(1)在相同条件下可重复进行；
(2)试验的结果不止一个，所有可能的结果能事先明确；
(3)每次试验前不能确定会出现哪一个结果。
例：投掷硬币
样本空间 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样
本空间，记为S。
随机事件 试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称为事件。
基本事件 由一个样本点组成的单点集称为基本事件。 频数和频率 在相同条件下的 n 次重复试验中，事件A发生的次
数 nA 称为事件A的频数，比值 A
n n
称为事件A发生的频率。
概率 事件发生的可能性大小的度量
P ( A) lim nA n
n
一、随机变量的定义
0 X X (e) 1 e T e H
定义：设随机试验E的样本空间为S={e}，如果对于每一个eS， 有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义在S上的单值
0 F (x) 1
且 F ( )
P ( x1 X x 2 ) F ( x 2 ) F ( x1 )
对于连续型随机变量，其分布函数是连续的，
因此：
P ( X x) 0
对离散型随机变量，分布函数是阶梯型的。
P ( X xi ) pi
F (x)
分布函数表示为：
F ( , y ) 0 F ( x , ) 0
F ( x, ) F X ( x)
F ( , ) 0 F ( , ) 1
边缘（Marginal）分布
F ( , y ) FY ( y )
由二维分布函数可以求出一维分布函数
•二维随机变量的概率密度(PDF) 对二维随机变量(X,Y)的分布函数 F ( x , y ) ,如果存在非 负函数 f ( x , y )使对任意实数 x , y 有：
pk p2 p1 x1 x2 xk
x
f ( x)
p2 p1 x1 pk
x
xk
•常见概率分布 正态分布（Normal），也称高斯（Gauss）分布
f (x) (x )2 exp 2 2 2 1
FX ( x )
X ~ N ( , )
2
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4
x
(x ) exp dx 2 2 2 1
2
(x)
x
1
x exp dx 2 2
2