随机变量的统计特性

离散型随机变量： E ( X )  性质：

i 1
N
xi pi
所有取值的统计平均 均值为线性算子；
若随机变量X与Y相互独立，则有 E ( XY )  E ( X ) E ( Y )
若 E ( XY )  0 ，则称X与Y正交。
2、方差(Variance)
D ( X )  E {[ X  E ( X )] }
...
...
x1 p1
x2 p2
xn pn
p
k 1
n
k
1
离散随机变量概率分布
离散型随机变量常见分布
(0,1)分布
P{X  1  p, } P{X  0}  1  p (0  p  1)
二项分布 (Binomial distribution)
P ( A)  p, P ( A)  1  p  q
随机信号分析的基础是概率论与随机变量的理论。
1.1 概率论的基本术语 1.2 随机变量的定义 1.3 随机变量的分布函数与概率密度
1.4 多维随机变量及分布 1.5 随机变量的数字特征 1.6 随机变量的函数 1.7 随机变量的特征函数 1.8 多维正态随机变量 1.9 复随机变量及其统计特性
随机试验 满足下列三个条件的试验称为随机试验，记为E ：
函数X(e)，称X(e)为随机变量，简记为X。
随机变量是定义在样本空间S上的单值函数
二、随机变量的分类
连续型随机变量 离散型随机变量 离散型随机变量是指它的取值为有限个或者可列无穷个 离散型随机变量的概率分布：
概率分布列：
X pk
P ( X  xk )  pk
(k  1, 2,...., n)
F (  , y )  0 F ( x ,  )  0
F ( x,  )  F X ( x)
F (  ,  )  0 F ( ,  )  1
边缘（Marginal）分布
F (  , y )  FY ( y )
由二维分布函数可以求出一维分布函数
•二维随机变量的概率密度(PDF) 对二维随机变量(X,Y)的分布函数 F ( x , y ) ,如果存在非 负函数 f ( x , y )使对任意实数 x , y 有：
 ， x  0  x  0
瑞利分布概率密度＝2
指数分布（Exponential）
  e   x， x  0 f (x)   x  0  0，
1.5
1
0.5
0 0
1
2
3
4
5
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6
7
指数分布概率密度
一、二维随机变量
设随机试验E的样本空间S={e},X=X(e)和Y=Y(e)是
二项分布 (Binomial distribution)
P ( A)  p, P ( A)  1  p  q
m m nm
Pn ( X  m)  Cn p q
(0  m  n )
X ~ B (n, p )
泊松分布(Poisson distribution)
P( X  k ) 
例2 设随机变量在区间上服从均匀分布，其概率密度为
 1  ， a  x  b f (x)   b  a  0， other 
求均值与方差。
第二讲：小 结
随机变量
随机变量的分布函数和概率密度
F ( x )  P { X  x}
F ( x , y )  P{ X  x , Y  y}
 e
k

k!
k  0,1,...   0
X ~ P ( )
一、分布函数
设X为随机变量， 为实数，定义 x
F ( x )  P { X  x}
为X的
概率分布函数，简称分布函数。
二、分布函数的性质
F (x)
是一个不减函数
F ( x 2 )  F ( x1 )  0 x 2  x1 0, F ( )  1
(1)在相同条件下可重复进行；
(2)试验的结果不止一个，所有可能的结果能事先明确；
(3)每次试验前不能确定会出现哪一个结果。
例：投掷硬币
样本空间 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样
本空间，记为S。
随机事件 试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称为事件。
基本事件 由一个样本点组成的单点集称为基本事件。 频数和频率 在相同条件下的 n 次重复试验中，事件A发生的次
m m n m
P (m)  Cn p q n
(0  m  n )
X ~ B (n, p )
例：某人进行射击训练，设每次射击的命中率为0.02，独立射击
400次，求至少命中两次的概率为多少？
离散型随机变量常见分布
(0,1)分布
P{X  1  p, } P{X  0}  1  p (0  p  1)
F (x) 
1 1/2 0
(0,1)分布的分布函数

i
p iU ( x  x i )
x
•随机变量的概率密度(PDF) 对随机变量X的分布函数 F ( x ) ,如果存在非负函数 f ( x ) 使对任意实数
F (x) 
x 有：

x 
f (t ) d t
称 f ( x ) 为 F ( x ) 的概率分布密度，简称概率密度
 p
i j
ij
1
三、二维分布函数
设（X，Y）为二维随机变量，x，y为实数，定义
F ( x , y )  P{ X  x , Y  y}
为二维随机变量的分布函数。
y
( x, y )
y
y2
x
0
y1
x
0
x1
x2
二维分布函数图解
二维随机变量落在某一区域的概率
二维分布函数性质
0  F ( x, y )  1
D( X 1    X n )  D ( X 1)    D ( X n )
3、协方差(Covariance)与相关系数
协方差： c o v ( X , Y )  E { [ X  E ( X )][ Y  E ( Y )]}
 E ( X Y )  E ( X ) E (Y )  K
定义在样本空间S上的两个随机变量,由X和Y构成的矢
量（X，Y）称为二维随机变量。
y
R
2
e S
●
●
( X (e), Y (e))
x
二、二维随机变量的分类
连续型随机变量 离散型随机变量 离散型随机变量是指(X,Y)的取值为有限个或者可列无穷个 二维离散型随机变量的取值规律： 联合概率分布列：
P ( X  xi , Y  yi )  pij (i , j  1, 2,....)

x 
 (x  )  exp    dx 2 2 2   1
2
 (x) 

x 
1
 x  exp    dx 2  2 
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
标准正态分布函数 N(0,1)正态分布概率密度
•常见概率分布 均匀分布（uniform
 1  f (x)   b  a  0 
随机变量的数字特征
均值：E ( X ) 

 
xf ( x )dx
E(X ) 

i 1
N
xi pi
方差： D ( X )  E {[ X  E ( X )] 2 } 协方差： co v( X , Y )  E { [ X  E ( X )][Y  E (Y )]}  K X Y 相关系数：
K阶原点矩：
E[ X
k
]
k K阶中心矩： E [( X  m X ) ]
K＋L阶混合矩：
E[ X Y ]
k
l
K＋L阶混合中心矩：
E [( X  m X ) ( Y  m Y ) ]
k l
例1 设X为服从(0,1)分布的随机变量，且 P { X  1}  p
P { X  0 }  q  1  p 求X的均值和方差。
pk p2 p1 x1 x2 xk
x
f ( x)
p2 p1 x1 pk
x
xk
•常见概率分布 正态分布（Normal），也称高斯（Gauss）分布
f (x)   (x  )2  exp    2 2 2   1
FX ( x ) 
X ~ N ( , )
2
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4
r XY  cov( X , Y ) D ( X ) D (Y )
课后作业：1.8、1.9、1.10
F ( x, y ) 
 

x
y

f ( x , y ) dxdy
称 f ( x , y ) 为二维随机变量(X,Y)的概率密度。 •性质：
f ( x, y )  0
f X (x) 
fY ( y) 




f ( x , y ) dy
f ( x , y ) dx


•条件分布 定义：给定 x ,任意固定正数  ,若对于任意实数 y ，极限
0  F (x)  1
且 F ( ) 
P ( x1  X  x 2 )  F ( x 2 )  F ( x1 )
对于连续型随机变量，其分布函数是连续的，
因此：
P ( X  x)  0
 对离散型随机变量，分布函数是阶梯型的。
P ( X  xi )  pi
F (x)
分布函数表示为：
0
lim P {Y  y | x    X  x   }
存在，则称此极限为在条件 X  x 下Y的条件分布函数，写成
P {Y  y | X  x } 或记为 FY | X ( y | x )
条件概率密度：
fY |X ( y | x ) 
 FY | X ( y | x ) y
2
0.4
0.3
0.2
 E(X
2
2
)  E (X )
2
0.1
 通常记为 X ， X 称为均方差或标准差。
0 -10
-5
1 1
0
5
10
随机变量的取值与其均值的偏离程度 性质：
2 3
D(c)=0
D(cX)=c2D(X)，c=constant 对于n个独立的随机变量 X 1 , X 2 ,  , X n
distribution
a  x  b 其它
X ~ U (a, b)
在实际问题中，定点计算的舍入误差，计算机产生的随
机数，正弦波的随机相位等都用到均匀分布。
瑞利分布（Rayleigh）
2  x  x  2 exp   2 f (x)   2   0， 
0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12
•概率密度性质
f (x)
f (x)  0


x
f ( x ) dx  1
0

x1
x2
随机变量落入( x 1 , x 2 ) 的概率
P{ x1  X  x 2 }  F ( x 2 )  F ( x1 ) 

x2
f ( x ) dx
x1
•离散型随机变量的概率密度(PDF)
F ( x)
数 nA 称为事件A的频数，比值 A
n n
称为事件A发生的频率。
概率 事件发生的可能性大小的度量
P ( A)  lim nA n
n 
一、随机变量的定义
0 X  X (e)   1 e T e  H
定义：设随机试验E的样本空间为S={e}，如果对于每一个eS， 有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义在S上的单值
XY
相关系数： 性质：
r XY 
cov( X , Y ) D ( X ) D (Y )
描述两个随机变量相互关系
r XY  0 X与Y不相关
r XY  1
当X与Y相互独立时 r XY  0
rX Y  1 的充分必要条件是X与Y依概率1线性相关，即
P {Y  a X  b }  1
4、矩(Moment)
f ( x , y )  f X |Y ( x | y ) f Y ( y )  f Y | X ( y | x ) f X ( x )
f ( x, y )  f X ( x) fY ( y )
称随机变量X，Y独立
1、均值(Mean)(数学期望)
定义：
E(X ) 

 
x f ( x ) d x 为随机变量X的均值，记为 m X 。