高中数学 3.1回归分析的基本思想及其初步应用同步练习1 新人教A版高二选修2-3数学试题

第三章 统计案例
§3.1 回归分析的基本思想及其初步应用(一)
一、基础过关
1．在下列各量之间，存在相关关系的是 ( )
①正方体的体积与棱长之间的关系； ②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④家庭的支出与收入之间的关系； ⑤某户家庭用电量与电价之间的关系． A ．②③
B ．③④
C ．④⑤
D ．②③④
2．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^
＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是
( )
A ．y 与x 具有正的线性相关关系
B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )
C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg
D ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 3．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
中的b ^
为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
( )
A ．63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元
4．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和∑n
i ＝1
(y i －y ^
i )2
如下表
甲 乙 丙 丁
散点图
残差平方和 115
106
124
103 哪位同学的实验结果体现拟合A ，B 两变量关系的模型拟合精度高？
( )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
5．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel
软件计算得y ^
＝0.577x －0.448(x 为人的年龄，y (单位：%)为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是
( )
A ．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90%
B ．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为21.01%
C ．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%
D ．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为31.50% 6．下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的回归方程必过
( )
x 1 2 3 4 y
1 3
5
7
A.点(2,3)
B ．点(1.5,4)
C ．点(2.5,4)
D ．点(2.5,5)
二、能力提升
7．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R 2
≈________，表明“气温解释了85%的热茶销售杯数变化”或者说“热茶销售杯数差异有85%是由气温引起的”． 8．对具有线性相关关系的变量x 和y ，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为________．
9．一组观察值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )之间满足y i ＝a ＋bx i ＋e i (i ＝1,2，…，n )，若e i 恒为0，则R 2
为________．
10．如图是x 和y 的一组样本数据的散点图，去掉一组数据________后，剩下的4组数据的
相关指数最大．
11．某车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到的
数据如下：
零件的个数x /个 2 3 4 5 加工的时间y /小时
2.5
3
4
4.5
若加工时间y 与零件个数x 之间有较好的相关关系．
(1)求加工时间与零件个数的回归方程； (2)试预报加工10个零件需要的时间．
12之间的一组数据为：
1 2 3 4 5 价格x 1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量y
12
10
7
5
3
已知∑5
i ＝1x i y i ＝62，∑i ＝1x 2
i ＝16.6. (1)画出散点图；
(2)求出y 对x 的回归方程；
(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)．
三、探究与拓展
13．关于x 与y 有如下数据：
有如下的两个线性模型：
①y ^
＝6.5x ＋17.5；
②y ^
＝7x ＋17.
试比较哪一个模型拟合的效果更好．
答案
1．D 2.D 3.B 4.D 5.C 6.C 7．0.85 8.y ^
＝－10＋6.5x 9.1 10．D (3,10)
11．解 (1)由表中数据得x ＝72，y ＝72，∑4i ＝1
x 2i ＝54，∑4i ＝1y 2
i ＝51.5，∑4
i ＝1x i y i ＝52.5， 从而得b ^
＝0.7，a ^
＝y －b ^
x ＝1.05，
因此，所求的回归方程为y ^
＝0.7x ＋1.05.
(2)将x ＝10代入回归方程，得y ^
＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，即加工10个零件的预
报时间为8.05小时．
12．解 (1)散点图如下图所示：
(2)因为x ＝15×9＝1.8，y ＝1
5
×37＝7.4，
∑5
i ＝1
x i y i ＝62，∑5
i ＝1
x 2i ＝16.6， 所以b ^
＝
∑5
i ＝1
x i y i －5x y
∑5
i ＝1
x 2i －5x
2
＝
62－5×1.8×7.4
16.6－5×1.8
2＝－11.5，
a ^
＝y －b ^
x ＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，
故y 对x 的回归方程为y ^
＝28.1－11.5x .
(3)当x ＝1.9时，y ^
＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)． 故当价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25 t.
13．解 由①可得y i －y ^
i 与y i －y 的关系如下表：
y i －y ^
i －0.5 －3.5 10 －6.5 0.5 y i －y
－20
－10
10
20
所以∑5
i ＝1
(y i －y ^
i )2
＝(－0.5)2
＋(－3.5)2
＋102
＋(－6.5)2
＋0.52
＝155， ∑5
i ＝1
(y i －y )2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202
＝1 000.
所以R 2
1＝1－∑5
i ＝1 y i －y ^
i
2
∑5
i ＝1
y i －y 2
＝1－155
1 000＝0.845.
由②可得y i －y ^
i 与y i －y 的关系如下表：
y i －y ^
i －1 －5 8 －9 －3 y i －y
－20
－10
10
20
所以∑5
i ＝1
(y i －y ^
i )2
＝(－1)2
＋(－5)2
＋82
＋(－9)2
＋(－3)2
＝180， ∑5
i ＝1
(y i －y )2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202
＝1 000.
所以R 2
2＝1－∑5
i ＝1 y i －y ^
i
2
∑5
i ＝1
y i －y 2
＝1－180
1 000＝0.82.
由于R 2
1＝0.845，R 2
2＝0.82,0.845>0.82，
所以R 21>R 2
2.
故①的拟合效果好于②的拟合效果．。