通信原理（陈启兴版）第7章课后习题答案

通信原理（陈启兴版）第7章课后习题答案
第7章模拟信号的数字传输
7.1 学习指导 7.1.1 要点
本章的要点主要有抽样定理；⾃然抽样和平顶抽样；均匀量化和⾮均匀量化；PCM 原理，A 律13折线编码，译码；ΔM 原理，不过载条件；PCM ，ΔM 系统的抗噪声性能；PCM 与ΔM 的⽐较；时分复⽤和多路数字电话系统原理；
1. 概述
为了使模拟信号实现数字化传输，⾸先要通过信源编码使模拟信号转换为数字信号，或称为―模/数转换‖即A/D 转换。

模/数转换的⽅法采⽤得最早⽽且应⽤较⼴泛的是脉冲编码调制(PCM)，PCM 通信系统原理图如图7-1所⽰。

图7-1 PCM 通信系统原理图
抽样
量化器
编码器
模拟信号
PCM 信号
译码器
低通滤波器
模拟信号
数字通信系统
PCM 信号
由图7-1可见，PCM 系统由以下三部分组成。

(1) 模/数转换（A/D 转换）
模/数转换包括三个步骤：抽样(Sampling)、量化(Quantization)和编码(Coding)。

a. 抽样是把在时间上连续的模拟信号转换成时间上离散的抽样信号，抽样信号在时间上是离散的，但是其取值仍然是连续的，所以是离散模拟信号。

b. 量化。

量化是把幅度上连续的抽样信号转换成幅度离散的量化信号，故量化信号已经是数字信号了，它可以看成是多进制的数字脉冲信号。

c. 是编码。

编码是把时间离散且幅度离散的量化信号⽤⼀个⼆进制码组表⽰。

(2) 数字⽅式传输——基带传输或带通传输；
(3) 数/模转换（D/A ）——将数字信号还原为模拟信号。

包含了译码器和低通滤波器两部分。

2.抽样定理
为模拟信号的数字化和时分多路复⽤（TDM ）奠定了理论基础。

根据抽样的脉冲序列是冲激序列还是⾮冲激序列，抽样可以分为理想抽样和实际抽样。

抽样是按照⼀定的抽样速率，把时间上连续的模拟信号变成⼀系列时间上离散的抽样值的过程。

能否由此样值序列重建源信号，取决于抽样速率⼤⼩，⽽描述这⼀抽样速率条件的定理就是著名的抽样定理。

(1) 低通信号的抽样定理
定理：设有⼀个频带限制在（0，f H ）内的连续模拟信号m (t )，若以T s ≤1/(2f H )间隔对它抽样，则m (t )将被这些抽样值所完全确定。

此定理⼜称均匀（等间隔）抽样定理。

含义：欲传信号m (t )，只需传抽样信号m s (t )接收端就能恢复m (t )，其条件是：抽样间隔T s ≤1/(2f H )，或抽样速率f s ≥2f H 其中fs =1/T s 。

①理想抽样信号m s (t )可表⽰为：
s T s s n m t m t
t m n T t n
T d d ￥
=-
==-?
(7-1) 式中，()s
T t d 是周期为T s 的冲击函数序列，因此称()s m t 为理想抽样信号。

()s m t 的频谱为:
()()()()s s 11
*s s s n M f M f f nf M f nf T T d ゥ=-?
轾犏=
-=-犏臌邋 (7-2)
式中，()()M f m t ?，()
()1
s T s s
t f
nf T d d ￥
-
，()()s s M f m t 。

式(7-2)表明，抽样信号的频谱M s (f )是⽆数间隔频率为f s 的原信号频谱M (f )相叠加⽽
成，只要f s ≥2f H ，则M s (f )中相邻的M (f-nf s )之间互不重叠，⽽位于n =0的频谱就是原信号频谱M (f )本⾝。

这时，在接收端⽤⼀个低通滤波器，就能从M s (f )中取出M (f )，也就是说能从抽样信号中恢复原信号m (t )。

若抽样速率f s < 2f H ，则会产⽣混叠失真。

最低抽样速率f s =2f H ，称为奈奎斯特（Nyquist ）速率。

与此相应的最⼤抽样时间间隔T =1/(2f H )称为奈奎斯特间隔。

实⽤的抽样频率f s 必须⽐2f h ⼤多⼀些。

例如，典型的电话信号的最⾼频率通常在3400Hz ，⽽抽样频率通常采⽤8000Hz 。

(2) 带通信号的抽样定理
定理：设带通型模拟信号m (t )的最⾼频率为f H ，最低频率为f L ，其带宽B =( f H – f L )与f H 的关系可表⽰为
H f n B k B
=+
(7-3) 这时，带通模拟信号所需的最⼩抽样频率S f 为
21S k f B n 骣÷
=+÷÷
桫 (7-4) 式中，n 为商(f H /B )的整数部分；k 为商(f H /B )的⼩数部分，0
②实际抽样
由于冲击序列δT s (t )不能实现，通常采⽤窄脉冲串代替冲击序列。

⽤窄脉冲序列进⾏实际抽样的两种⽅式是：⾃然抽样和平
a.⾃然抽样
⾃然抽样的各个脉冲有⼀定的宽度，脉冲顶部随m (t )相应时段的值―⾃然波动‖。

⾃然抽样是基带模拟信号m (t )与矩形窄脉冲序列s (t )的乘积。

设m (t )的频谱为M (f )，s (f )的周期为T s （按照抽样定理确定），频谱为S (f )、脉冲宽度为
τ，幅度为A ，则⾃然抽样信号m s (t )为m (t )与s (t )的乘积，即
()()()s m t m t s t =? (7-5) 抽样信号m s (t )的频谱就是两者频谱的卷积：
()()()()()τ*τs s s n s A M f M f S f S a n f M f n f T p ￥
=-
==-? (7-6)
式(7-6)中，s 1s f T ==2H f 。

可见，经过截⽌频率合适的理想低通滤波器，就可以从抽样信号m s (t )中⽆失真地恢复原
始的模拟信号了。

⾃然抽样信号的第⼀零点带宽为
1
B τ
=(Hz) (7-7)
其中τ为窄脉冲序列s (t )的脉冲宽度。

b.平顶抽样
平顶抽样与⾃然抽样的不同之处在于抽样后信号中的脉冲顶部是平坦的，脉冲幅度等于瞬时抽样值。

原理上可以看作由理想抽样和脉冲形成电路产⽣，如图7-2所⽰。

图7-2 平顶抽样及其框图
m s (t )
t
O (b) 平顶抽样框图
(a) 平顶抽样⽰意图
T s
-T s
保持电路
m (t )
s (t )
m s (t )
m H (t )
设保持电路的传输函数为H (f )，则平顶抽样信号m H (t )的频谱M H (f )为：
s ()()()H M f M f H f = (7-8) 其中，M s (f )的表达式与理想抽样相同，即
()()1s s n M f M f nf T ￥=-
于是
()()1()H s n M f H f M f nf T ￥
=-
=-? (7-10) 由式(7-10)可见：平顶抽样信号的频谱M H (f )由H (f )加权后的周期重复的M (f )组成，因此不能直接⽤低通滤波器恢复（解调）原信号。

但只要在低通滤波器之前加⼀个传输函数为1/ H (f )的修正滤波器，就能⽆失真地恢复原模拟信号m (t )。

3. 量化
量化是将抽样信号幅值进⾏离散化处理的过程。

量化后，⽆限个模拟抽样值变成了有限
个量化电平值。

量化过程可以认为是在⼀个量化器中完成的。

量化的具体过程如图7-3所⽰，其中包括下⾯⼏个要点：
(1) 量化器把整个输⼊区域划分成多个区间；对落⼊每个区间的输⼊，以同⼀个y i 值作为输出，y i 被称为输出电平；
(2) 各区间之间的分界记为x i ，称为分层电平或阈值电平；
(3) 所分区间的个数记为M ，称为量化电平数；实际上M 常常取为2的幂次，不妨记为M = 2n ，n 称为量化器的位数(或⽐特数)。

图7-3 量化器特性曲线
x 1
y
x 2
x 3
x 4x 5
x 6
x 7
x 0
x 8
y 0
y 1y 2y 3y 4
y 5y 6y 7
量化过程可以表达为
{}i i+1i (),
1,2,,y Q x Q x x x y i M ==<≤== (7-11)
式中，x i 为分层电平。

通常把Δi = x i+1 - x i 称为量化间隔。

显然，在量化过程中，量化输出电平y i 和量化前信号的抽样值x (kT s )之间会产⽣误差，这种误差称为量化噪声。

它对量化性能影响的程度可以⽤量化信噪⽐来衡量。

量化信噪⽐被定义为
[]2
02
()()s q s i E x kT S N E x kT y =- (7-11) 式中， S 0为量化器输出的信号功率； N q 为量化噪声功率。

1) 均匀量化
把输⼊信号的取值域等间隔分割的量化称为均匀量化。

在均匀量化中，每个量化区间的量化电平均取在各个区间的中点。

均匀量化是⼀种最基本的量化⽅法。

假定量化器的最⼤量化范围为[-V , +V ]，M 个量化电平的均匀量化器的结构特点如下：
(1) 把整个输⼊区域均匀地划分为M 个区间，各量化间隔（区间长度）相等，记为Δ，则
2V
M
=
(7-12) (2) 1M +个分层电平（端点）等间距排列，取值为
i ,0,1,2,x V i i M =-+?= (7-13)
(3) 量化输出电平⼀般取各区间的中点，取值为
i i 1
i ,1,2,...,2
x x q i M -+=
= 在均匀量化时，量化噪声功率的平均值N q 可以⽤下式表⽰为
i
i-1
2
2
2q k i k i k k k i k k 1
[()]()()d ()()d M
V
x V
x i N E x q x q f x x x q f x x -==-=-=-∑?? (7-14)
式中，x k 为模拟信号的抽样值即x (kT s )；q i 为量化电平值；f (x k )为信号抽样值x k 的概率密度；E 表⽰求统计平均值；M 为量化电平数；x i = -V + i Δ；q i = -V + i Δ – 0.5Δ。

信号x k 的平均功率可以表⽰为
2
20k k k k ()()d V
V
S E x x f x x -==? (7-15)
若已知信号x k 的概率密度函数，则由式(7-14)和(7-15)可以计算出平均信号量噪⽐。

当输⼊信号m (t )在区间[-V ,V ]具有均匀概率密度函数，量化电平数M ，则均匀量化后的输出信号功率
22
20k k 1
d 212V
V
M S x x V
-??
==?
(7-16) 量化噪声功率
2
12
q N ?= (7-17)
所以，平均量化信噪⽐
20
q
S M N = (7-18) 或写成
q
dB
20lg 6(dB)
S M N N ??
=≈
(7-19)
式中，2N M =；N 为⼆进制编码位数。

由式(7-19)可见，编码位每增加1位，平均量化信噪⽐就提⾼6dB 。

由式(7-17)可见，量化噪声功率N q 只与量化间隔Δ有关。

对于均匀量化，Δ是确定的，因⽽N q 固定不变。

但是，信号的强度可能随时间变化。

当信号⼩时，量化信噪⽐也⼩。

所以，均匀量化对于⼩输⼊信号很不利。

为了克服这⼀缺点，改善的⼩信号时的量化信噪⽐，在实际应⽤中常采⽤⾮均匀量化。

2)⾮均匀量化
为改善⼩信号时的信号量噪⽐，在实际应⽤中常采⽤⾮均匀量化。

⾮均匀量化的量化间隔Δ随信号抽样值的⼤⼩⽽变化，信号抽样值⼩时，Δ也⼩；信号抽样值⼤时，Δ也⼤。

具体实现⽅法是先将信号抽样值压缩，再进⾏均匀量化。

关于电话信号的压缩特性，国际电信联盟(ITU)制定了两种建议，即A 压缩律，及相应的近似算法13折线法和15折线法。

我国⼤陆、欧洲各国以及国际间互连时采⽤A 律及相应的13折线法，北美、⽇本和韩国等少数国家和地区采⽤µ率及15折现法。

①A 压缩律
A 101ln A A 1ln(A )111ln A
A x x y x x ì??< ??+??
=í
+?＃??+?? (7-20) 式中，x 为压缩器归⼀化输⼊电压；y 为压缩器归⼀化输出电压；A 为常数，它决定压缩程度。

在实⽤中，选择A=87.6.
②µ压缩律
()()
l n 101ln 1x y x m m +=
＃+ (7-21)
式中，µ为常数，它决定压缩程度。

③A 律13折线
A 律13折线是A 压缩律的近似算法。

它是⽤13段折线逼近A=87.6的A 律压缩特性的，其特性曲线如图7-4所⽰。

注：图中仅画出了压缩特性曲线的⼀半（正极性范围）。

13折线的实现⽅法是，将x 轴在0~1范围内不均匀分成8段，分段的⽅法是每次以1/2对分，每⼀段在均匀分成16个量化级，共有128个量化级；y 轴在0~1范围内均匀分成8段，每段间隔1/8，每⼀段在均匀分为16个量化级。

在x 轴，第1、2段最短，量化间隔最⼩，为1/2048，称为最⼩量化单位；第8段最长，量化间隔为1/32，包含64个最⼩量化单位。

注意：在实际中，量化过程通常是和后续的编码过程结合在⼀起完成的，不⼀定存在独⽴的量化器。

4.编码
编码就是把量化后的信号电平值变换成⼆进制码组的过程。

1)常⽤⼆进制码
对于M 个量化电平，可以⽤N 位⼆进制码来表⽰，其中的每⼀个码组称为⼀个码字。

在PCM
编码中常⽤的⼆进制码有三种：⾃然⼆进制码、折叠⼆进制码和格雷⼆进制码（反射⼆
图7-4 A 律13折线特性
进制码）。

折叠⼆进码具有镜像特性，即除了其最⾼位符号相反外，其上下部分呈现镜像关系，或称折叠关系。

这种码的优点之⼀是，在⽤最⾼位表⽰极性后，双极性电压可以采⽤单极性编码⽅法来处理，从⽽使编码电路和编码过程⼤为简化；优点之⼆是，误码对于⼩电压影响较⼩。

由于话⾳信号⼩电压出现的概率较⼤，所以折叠码有利于减⼩话⾳信号的平均量化。

2) A 律13折线编码
在话⾳通信中，通常采⽤8位的PCM 编码。

下⾯将结合我国采⽤的13折线法的编码，介绍⼀种码位排列⽅法。

第⼀位码是极性码，记为a 0。

当x ≥ 0时，a 0 = 1；当想x < 0时，a 0 = 0。

第⼆、三、四位码是段落码，记为a 1，a 2，a 3。

三位码组成的⼆进制数正好表⽰⼋个段落序号。

第五、六、七、⼋位码是段内电平码，记为a 4，a 5，a 6，a 7。

四位码组成的⼆进制数正好对应段内码16层电平。

前⾯已经算出最⼩阶距Δ = 2-11 = 1/2048，下⾯就以它作为单位，x 的最⼤值就是211Δ。

在表7-1中列出了各段的x 取值范围和起始值，规定了段落码和段号之间的对应关系。

表7-2给出了段内码与16个量化间隔之间的对应关系。

表7-1 段落码
段落序号段落码(a 1a 2a 3)段落范围
8111
1024~2048 512~1023 256~511 128~255 64~127 32~63 16~31 0~15
110
101
100
011
010
001
000
7654321
表7-2 段内码
电平序号段内码(a 4a 5a 6a 7)
00111
0110
0011
0100
0101
0010
0001
0000
765432110001001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
8
9
101112131415
具体编码过程可分为三个基本步骤：第⼀步，判别样值x 的极性，编出a 0；第⼆步，取x 的绝对值|x |，得到段落码a 1a 2a 3；第三步，计算段内相对电平，得到段内码a 4a 5a 6a 7。

根据抽样值的绝对值|x |，由表7-1可以直接查到段落码a 1a 2a 3。

计算段内相对电平⽐较⿇烦⼀些，设段落码对应的段落范围的起点值为y ，⾸先计算|x | - y ，再计算(|x | - y )/ (段内阶距D i )的商，并取整数部分，把这个整数作为相对电平数，最后查表7-2可以得到段内码a 4a 5a 6a 7。

在保证⼩信号区间量化间隔相同的条件下，采⽤13折线编码的7位⾮线性码（除极性码）与均匀量化的11位线性编码等效。

由于⾮线性编码的码位数减少，因此设备简化，所需传输系统带宽减⼩。

5. PCM 信号的数码率和带宽
设模拟信号m (t )的最⾼频率为f H ，抽样速率f s =2f H ，每个样值脉冲的⼆进制编码位数为N ，则PCM 信号的数码率为
2b s H R f N f N
=? (7-22) 按照第5章数基带传输系统中分析的结论，在⽆码间串扰和采⽤理想低通传输特性的情
况下，所需最⼩传输带宽（奈奎斯特带宽）为
m i n 2
b H
R
B N f == (7-23) 当采⽤矩形脉冲传输时，所需的带宽与脉冲宽度τ成反⽐，第⼀零点带宽为
1
B τ
=
定义⼆进制码元的占空⽐为⼆进制脉冲宽度τ与⼆进制码元宽度T b 的⽐值，即
b
T τ
=
占空⽐
在⽆码间串扰和采⽤升余弦传输特性时，所需传输带宽为
(1)(1)2
b H R
B f N
a a =+=+ (7-24) 因此，已知⼆进制码元宽度T
b 和占空⽐就能得到PCM 信号的第⼀零点带宽。

可见，编码位数越多，码元宽度T b 越⼩，占⽤带宽B 越⼤，信道利⽤率下降。

显然，传输PCM 信号所需要的带宽要⽐模拟基带信号的带宽⼤得多。

5. PCM 系统的抗噪声性能
PCM 通信系统的噪声有两种：量化噪声和传输中引⼊的加性噪声。

噪声、量化噪声和加性噪声分别⽤e n 、e q 与e t 表⽰，由于量化噪声和加性噪声彼此独⽴，相应的噪声功率满⾜
222n q t σσσ=+ (7-25)
PCM 系统的抗噪声性能可⽤输出端总的信噪⽐来衡量，系统总的信噪⽐为
s 22
PCM q t
P S N σσ??
= ?+?? 假设输⼊信号m (t )在区间 [-V ,V ]具有均匀分布的概率密度，并对x (t )进⾏均匀量化，量化级数为M ，理想低通滤波器的传输函数H R (f )为
()10
H R f f H f ì
=í
其他
(7-26)
假定信道加性噪声为⾼斯⽩噪声，仅考虑在码组中有⼀位错码的情况，并认为每⼀组码
组中的错码彼此独⽴。

设误⽐特率为P b 。

于是，PCM 总的信噪⽐为
q s
2222
P C M q b q b (/)4(1)14(1)
S N P S N M P M P σσ??== ?+-+-?? (7-27) 若仅考虑量化噪声，PCM 系统输出端平均信号量化噪声功率⽐为
22o q
2N S M N ??
== ? ???
(7-28) 其中量化电平数2N M =。

6. 其它信源编码的基本原理
降低数字电话信号的⽐特率、压缩传输频带是话⾳编码技术追求的⼀个⽬标。

通常，把话路速率低于64kb/s 的编码⽅法称为话⾳压缩编码技术。

话⾳压缩编码⽅法很多，具体见表7-3所⽰。

表7-3 常见语⾳压缩技术
编码⽅法
典型数据率（kbps ）语⾳质量典型应⽤ PCM 64
优良电话通信 ADPCM 32 良好电话通信
DM 32 中等卫星通信、军事通信等
CS-ACELP 8 良好 IP 电话 RPE-LTP
13
良好
移动电话
MBE 2.4~4.8 中等卫星通信等 LPC-VQ 1.2~4.8 较差和⼀般军事通信
下⾯只介绍差分脉冲编码调制与增量调制的基本概念，它们是两种重要的话⾳波形压缩编码⽅法。

(1)差分脉冲编码调制（DPCM ）
DPCM 是⼀种预测编码⽅法。

预测编码⽅法不是对每个抽样值独⽴地编码，⽽是对当前抽样值与预测值的差值（称为预测误差）进⾏编码并传输。

由于抽样值以及预测值之间有较强的相关性，既抽样值和其预测值之间有较强的相关性，即抽样值和其预测值⾮常接近，使预测误差的可能取值⽐抽样值的变化范围⼩。

因此，所需编码位数减少，从⽽降低了编码⽐特率。

图7-5为DPCM 系统原理⽅框图。

图7-5 DPCM 原理⽰意图
抽样保持电路
量化器
编码器
冲激脉冲串
x (t )
(a) 编码器
译码器
预测器
模拟信号
(b) 译码器
a n
预测器
b n
c n
d n
e n
DPCM 信号
DPCM 信号
LPF
f n
g n
h n
+
-
(2)⾃适应差分脉码调制（ADPCM ）
为了改善DPCM 体制的性能，将⾃适应技术引⼊量化和预测过程，得到ADPCM 体制。

⾃适应量化是指量化台阶随信号的变化⽽变化，使量化误差减⼩；⾃适应预测是指预测器系数可以随信号的统计特性⽽⾃适应调整，提⾼了预测信号的精度，从⽽得到⾼预测增益。

通过这两点改进，可⼤⼤提⾼书信噪⽐和编码动态范围。

ADPCM 可在32kb/s ⽐特率上达到64kb/s 的PCM 数字电话质量。

近年来，它以成为长
途传输中⼀种国际通⽤的话⾳编码⽅法。

(3)增量调制（ΔM 或DM ) a.原理
ΔM 可看成是量化电平数为2（即对预测误差进⾏1位编码）的DPCM ，换⾔之M D 序列中的每个⽐特表⽰相邻抽样值的差值极性。

它的预测器只是⼀个简单的延时器，⽽量化器只有1⽐特，如图7-6所⽰。

图7-6 DM 原理⽰意图
抽样保持电路
⼆电平量化
冲激脉冲串
x (t )
(a) 编码器
模拟信号
(b) 译码器a n
延迟T s
b n
c n
d n
e n
DM 信号
DM
信号LPF
f n
g n
h n
+
-延迟T s
在接收端，每收到⼀个―1‖码，译码器的输出相对于前⼀个时刻的值上升⼀个量阶Δ，每
收到⼀个―0‖码就下降⼀个量阶Δ。

当收到连―1‖时，表⽰信号连续增长；当收到连―0‖时，表⽰信号连续下降。

译码器的输出再经过低通滤波器滤去⾼频量化噪声，从⽽恢复原信号。

只要抽样频率⾜够⾼，量化阶距⼤⼩适当，接收端恢复的信号就与原信号⾮常接近，量化噪声可以很⼩。

b.不过载条件和编码范围
ΔM 系统中的量化噪声有两种形式：⼀般量化噪声和过载量化噪声，见图7-7。

过载量化噪声发⽣在模拟信号x (t )斜率陡变，积分器的输出电压输出()x t 因跟不上x (t )的变化⽽形成很⼤误差的时候。

在实际⼯作中，应避免过载现象。

图7-7 DM 原理⽰意图
t
x (t)/x ’(t )
O
x ’(t )x (t)
t
x (t)/x ’(t )
O
x ’(t )x (t)
(a) DM 的模拟信号与阶梯电压波形⽰意图
(b) DM 的斜率过载情形的⽰意图
设抽样周期为T s ，抽样频率为f s =1/T s ，量化台阶为Δ，则⼀个阶梯台阶的斜率k 为： s s k T f =D =D (7-29) 它也是阶梯波的最⼤可能斜率，或称为译码器的最⼤跟踪斜率。

因此，不发⽣过载的条件为
()s s
d d x t f t T ?
≤=?? (7-30) 注意：⽤增⼤f s 的办法增⼤乘积Δf s ，才能保证⼀般量化噪声和过载量化噪声两者都不超
过要求。

实际中增量调制采⽤的抽样频率f s 值⽐PCM 和DPCM 的抽样频率值都⼤很多；说对于话⾳信号⽽⾔，增量调制采⽤的抽样频率在⼏⼗千赫到百余千赫。

c.抗噪声性能
量化信噪功率⽐。

在不计信道加性噪声的影响，并设输⼊信号x (t ) = Asin(2πf 0t )，不过载时正弦信号的最⼤量化信噪⽐为
3s _m a x s 222DM
q 038πP f S N f B σ
== ? ????? (7-31) 式(7-30)表明，ΔM 系统的最⼤量化性噪⽐和抽样频率f s 的三次⽅成正⽐，⽽和信号频率f 0的
平⽅成反⽐，与接收端低通滤波器的截⽌频率B 成反⽐。

增⼤抽样频率f s 能显著提⾼最⼤量化信噪⽐。

7. 时分复⽤ ( TDM ) a. TDM 原理
时分复⽤(Time division multiplexing, TDM)是使多个信源的数据分别占⽤不同的时隙位置，共⽤⼀条信道进⾏串⾏数字传输的技术。

TDM 的原理框图如图7-8(a)所⽰。

TDM 技术包含⼏个基本要点：
(1) 各路信号的数据轮流占⽤不同时隙，在传输中互不影响。

(2) 上述时分复⽤原理中的机械开关，在实际电路中是⽤抽样脉冲取代。

因此，各路抽样脉冲的频率必须严格同步，⽽且相位也需要有确定的关系，使各路抽样脉冲保持等间隔的距离。

(3) 在时间T s 内，各路信号顺序出现⼀次，这样形成的时分复⽤信号，具有⼀个确定的结构，称为帧结构，简称帧(Frame)。

帧是TDM 信号的最⼩组成单元。

(4) 收发双⽅必须同步⼯作。

这种同步称为帧同步(Frame synchronization)，其⽬的是要正确地定位各帧的起始位置，以便正
确地放置与取出各路信号的数据。

帧同步通常借助在帧结构中插⼊供识别的特定码组来实现，这种特定的标准性码组称为帧同步码(Synchronization word)。

低通滤波器
低通滤波器
m 2(t )
低通滤波器
m 3(t )
传输系统
低通滤波器
m o1(t )
低通滤波器
m o2(t )
低通滤波器
m o3(t )
y 1(t )
y 2(t ) y 3(t )
同步
x (t )
y (t )
m 1
(t )
(a) 时分复⽤原理图
…...
O
t
…...
第1路第2路第N -1路第N 路第1路
图7-8 TDM 的⼯作原理⽰意图
(b)
b. 准同步与同步数字体系
ITU 为时分复⽤数字电话通信制定了PDH （准同步数字体系）和SDH （同步数字体系）两套标准建议。

PDH 体系主要适⽤于较低的传输速率，它⼜分为E 和T 两种体系。

我国、欧洲及国际间连接采⽤E 体系作为标准。

SDH 系统适⽤于155Mb/s 以上的数字电话通信系统，特别是光纤通信系统中。

SDH 系统的输⼊端可以和PDH 以及SDN 体系的信号连接，构成速率更⾼的系统。

E 体系的结构（包括层次，路数，和⽐特率）如图7-9所⽰。

它以30路PCM 数字电话信号的复⽤设备为基本层（E-1），每路PCM 信号的⽐特率为64kb/s 。

由于需要加⼊群同步码元和信令码元等额外开销(overhead)，所以实际占⽤32路PCM 信号的⽐特率。

故其总⽐特率为2.048Mb/s ，此输出称为⼀次群信号（也称PCM30/32路基群）。

4个⼀次群信号进⾏⼆次复⽤，得到⼆次群信号，起⽐特率为8.448Mb/s 。

按照同样的⽅法再次复⽤，得到⽐特率为34.368Mb/s 的三次群信号和⽐特率为139.264Mb/s 的四次群信号等。

由此可见，相邻层次之间路数成4倍关系，但是⽐特率之间不是严格的4倍关系。

1
30
(30路 ? 64 kb/s)
⼀次群 2.048 Mb/s
复⽤设备
4路?2.048 Mb/s
⼆次群 8.448 Mb/s
⼆次复⽤
复⽤设备
三次群 34.368Mb/s 三次复⽤复⽤设备
4路?8.448 Mb/s
五次复⽤
复⽤设备
五次群
565.148Mb/s
4路?139.264 Mb/s
四次群 139.264 Mb/s
复⽤设备
4路?34.368 Mb/
四次复⽤
1
11
1
4
4
4
4
图7-9 E 体系结构图
c. PCM 基群帧结构和数码率
ITU 建议的PCM 基群有两种标准，即E 体系的PCM30/32路基群和T 体系的PCM24路基群。

1)PCM30/32路基群
PCM30/32路集群是E 体系的基础， 1帧共有32是时隙（TS ）中其中时隙TS0⽤于传
帧同步码，时隙TS16⽤于传送信令；其他30个时隙，即TS1~TS15和TS17~TS31⽤于传输30个话路。

每路话⾳信号抽样速率s f =8000Hz ，即抽样周期s T =125µs ，这就是⼀帧的时间。

将此125µs 时间分为32个时隙，每个时隙容纳8bit 。

因此，基群的数码率为
()80003028
2.048b R 轾=+?臌
(Mb/s)
即
()1323264/ 2.048b b R R kb
s =?? (Mb/s) (7-32)
每⽐特时间宽度为
1
0.488b b
R t = (µs ） (7-33) 每路时隙时间宽度为
()8τ 3.91b s t m = 即
()τ 3.9132
s
T s m =
(7-34) 2)PCM24路基群
其复⽤信号的基础层为⼀次群T1，由24路PCM 电话信号复⽤⽽成，T1的帧率也设计为8000帧/秒，每帧长为125µs ，由193位构成，连续12帧构成⼀个复帧。

每帧中的前192位正好对应于24路PCM 信号的各个编码字节(8b)，即24×8=192。

⽽第193位⽤于同步码。

基群的数码率为
()80002481b R =?=1.544 (Mb/s) (7-35) 每⽐特时间宽度为
()1
τ0.647b b
s R m =
(7-36) 每路时隙时间宽度为
()1τ8τ 5.18b s m = (7-37)
7.1.2 难点
本章的难点有选A=87.6的⽬的，编码电平和译码电平。

1. 在A 压缩律中，选⽤A=87.6有以下两个⽬的：
(1) 使压缩特性曲线在原点附近的斜率等于16，使16段折线简化成仅有13段； (2) 使在13折线的转折点上A 律曲线的横坐标x 值接近()120,1,2...,7i
i =，如表7-4
所列。

2. 编码电平、译码电平和量化误差
编码电平是样值所在量化级的最⼩值（起始电平）；译码电平是样值所在量化级别的中点值（中间电平）。

设编码电平为I c ，译码电平为I D ，样值为I s ，则
C I =Bi I +段内码序号i V 碊
D I =C I 2
i
V D +
其中，I Bi 是第i 段的起始电平；ΔV i 是第i 段的量化间隔。

例如：输⼊样值1270s I =+个量化单位，将其采⽤逐次⽐较法编码器，按照13折线A 律特性编出的PCM 码组是a 0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7=11110011。

其中，极性码a 0=1；段落码a 1a 2a 3=111，说明抽样值位于第8段，其起始电平I B8=1024个量化单位，量化间隔ΔV i =64个量化单位；段内码a 4a 5a 6a 7=0011，说明抽样值位于第8段的第4级（序号为3），
因此，编码电平为：
88310243641216c B I I V =+D =+?（个量化单位）
编码后的量化误差为
54s C I I -=个量化单位>半个量化级
译码电平为
8
121632
12482
D C V I I D =+=+=（个量化单位）
译码后的量化误差为
22s D I I -=个量化单位<半个量化级
此例也很好地解释了为什么译码器中采⽤7/12变换电路。

它就是为了增加⼀个ΔV i /2恒流电流，⼈为地补上半个量化级，把译码电路的电平置于量化级的中点位置，从⽽使最⼤量化误差不超过ΔV i /2。

表7-4 A 律和13折线法⽐较 1 8 7 6 5 4 3 2 1 0 y=1-i/8 0 1/8
2/8
3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1 A 律的x 值 0 1/128 1/60.
6
1/30.
6 1/15.4 1/7.79 1/3.93 1/1.98 1 13折线法的12i x = 0
1/128 1/64 1/32 1/16 1/8
1/4
1/2 1 折线段号 1 2 3 4 5 6 7 8 折线斜率
16
16
8
4
1/4
注：仅在i=8时，折线x 值不符合12i x =
7·2 习题解答
7-1 已知⼀低通信号()m t 的频谱为()M f 为
()1200H z
200
f f M f ì??-
(1) 假设以300s f =Hz 的速率对()m t 进⾏理想抽样，试画出已抽样信号()s m t 的频谱草图；
(2) 若⽤400s f =Hz 的速率抽样，重做上题。

解 (1) 由题意知，以抽样信号为
()()()s T m t m t t d = 其频谱函数为
()()(
)
()1*s s
s
s n M f M f f
n f f
M f n f
T d ゥ
=-?
轾
犏=-=-犏臌
邋当抽样速率s f =1T =300Hz 时
()()300300s M f M f n
￥
-
=-? 其频谱如图7-18 (a)所⽰。

(2) 当抽样速率1400s f T ==Hz 时 ()()400400s M f M f n ￥
-
=-?
其频谱如图9-18 (b)所⽰。

()
s M f 300
s M f 400
-400
0f
400
300
200
-200
(a)
(b)
7-2. 对模拟信号m (t ) = sin(200πt )/(200t )进⾏抽样。

试问：(1)⽆失真恢复所要求的最⼩抽
样频率为多少？(2)在⽤最⼩抽样频率抽样时，1分钟有多少个抽样值？
解： (1) 信号的最⾼频率为f H =200Hz ，抽样定理要求⽆失真恢复所要求的最⼩抽样频率为
2400s H f f ==Hz
(2) 1秒钟抽取400个样值，则1分钟有60×400=24 k 个抽样值。

7-3. 在⾃然抽样中，模拟信号m (t )和周期性的矩形脉冲串c (t )相乘。

已知c (t )的重复频率为f s ，每个矩形脉冲的宽度为τ，f s τ < 1。

假设时刻t = 0对应于矩形脉冲的中⼼点。

试问：
(1) m (t )经⾃然抽样后的的频谱，说明f s 与τ的影响； (2) ⾃然抽样的⽆失真抽样条件与恢复m (t )的⽅法。

解：(1) ⾃然抽样是m (t )与c (t )的乘积，所以其频谱可表⽰为
()
s s
s
s s
s
s
()()()()Sa(π) Sa(π)()
n n A M f M f C f M f n f f nf T A n f M f nf T τ
τδττ∞
=-∞
∞
=-∞
=*=*
-=
-∑∑
周期重复的频谱分量间隔为抽样频率f s ，抽样周期越⼤，分量间隔越密。

各分量的⼤⼩与脉幅成正⽐，与脉宽成正⽐，与周期成反⽐。

各谱线的幅度按Sa(f ) 包络线变化。

(2) ⾃然抽样的⽆失真抽样条件只要满⾜抽样定理即可，带宽满⾜H s H f B f f <<-这个条件的低通滤波器即可恢复m (t )。

7-4. 设信号m (t ) = 9 + A cos(ωt )，其中A ≤ 10V 。

若m (t )被均匀量化为40个电平，试确定所需的⼆进制码组的位数N 和量化间隔Δ。

解因为25<40<26，所以所需的⼆进制码组的位数N=6位。

量化级间隔
20.540
A
v D =
=V 7-5. 采⽤A 律13折线编码，设最⼩量化间隔为1个单位Δ，已知抽样脉冲值为+635Δ： (1) 试求此时编码器输出码组，并计算量化误差；
(2) 写出对应于该7位码（不包括极性码）的均匀量化11位码（采⽤⾃然⼆进制码）解 (1) 已知抽样脉冲值
63551233227s I =+D =D +碊+D 它位于第7段序号为3的量化级，因此输出码组为
0123456a a a a a a a a =11100011 量化误差为27。

(2) 对应的11位均匀量化码位
010********
7-6. 在A 律PCM 系统中，当归⼀化输⼊信号抽样值为0.12、0.3与-0.7时，编码器输出码组是多少？
解 1
0.120.122462048
÷?=÷
≈所以0.12246=?=1288146?+??+?，编码器输出码组为11001110
同理可得
0.3614≈?=5123326?+??+?，编码器输出码组为11100011
0.71434-≈-?= ()102466426-?+??+?，编码器输出码组为01110110
7-7. 对10路带宽均为300Hz~3400Hz 的模拟信号进⾏PCM 时分复⽤传输。

设抽样速率为8000Hz ，抽样后进⾏8级量化，并编为⾃然⼆进制码，码元波形是宽度为τ的矩形脉冲，且占空⽐为1。

试求传输此时分复⽤PCM 信号所需的奈奎斯特基带带宽解由抽样频率8s f =kHz ，可知抽样间隔
11
8000
s T f =
=
(s) 对10路信号进⾏时分复⽤，每路占⽤时间为
110180000
T T =
=(s) ⼜对抽样信号8级量化，故需要3位⼆进制码元编码，每位码元占⽤时间为
113380000240000
b T T =。