随机信号分析(常建平李海林)习题答案解析

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1-9 已知随机变量X的分布函数为
0 , x 0
2
F (x) kx , 0 x 1
X
1 , x 1
求：①系数 k；②X落在区间(0.3,0.7) 内的概率；③随机变量
X的概率密度。

解：
第①问利用F X (x) 右连续的性质k ＝1
P 0.3 X 0.7 P 0.3 X 0.7 P X 0.7 第②问
F 0.7 F 0.3
第③问f (x)
X
d F(x)
X
dx
2x 0 x 1
0 else
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x
1-10 已知随机变量X 的概率密度为( ) ( )
f x ke x
X
（拉普拉斯分布），求：
①系数k ②X落在区间 (0,1)内的概率③随机变量 X
的分布函数
解：
第①问f x dx 1 k
1
2
第②问
x
2
P x X x F x F x f x dx
1 2 2 1
x
1
随机变量 X落在区间( x1 , x2 ] 的概率 P{ x1 X x2} 就是曲线y f x 下的曲边梯形的面积。

1
P 0 X 1 P 0 X 1 f x dx
1 2 1 e
1
第③问
1
2 f x
1
2
x
e x
x
e x
x
F x f ( x)dx
1 1
x x x
e dx x 0 e x 0
2 2
0 1 1 1
x
x x x
e dx e dx x 0 1 e x 0
2 0 2 2
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1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。

设每辆汽车
在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000 辆汽车进
出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于 2 的概率是多少？
n=1
- 分布 (0 1)
n ,p 0,np=
二项分布泊松分布
n 成立，0不成立
, p q
高斯分布
实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布
n 10 p 0.1
P X k
k e
＝＝
np k!
汽车站出事故的次数不小于 2 的概率
P(k 2) 1 P k 0 P k 1
0.1
P(k 2) 1 1.1e 答案
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完美 WORD 格式1-12 已知随机变量 (X,Y)的概率密度为
f (x, y) XY
(3 x 4 y)
,
ke x 0, y 0
, 其它0
求：①系数k？②( X ,Y)的分布函数？③P{0 X 1,0 X 2} ？
第③问
方法一：
联合分布函数F XY (x, y) 性质：
若任意四个实数 a a
b b ，满足
1, 2, 1, 2a a b
b ，满足
a1 a2,b1 b2 ，则
P{a X a ,b Y b}F XY(a ,b ) F XY(a ,b) F XY(a ,b ) F XY(a ,b)
1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1
P{0X 1,0 Y 2} F XY(1,2) F XY(0,0) F XY(1,0) F XY(0,2)
方法二：利用P{( x, y) D } f XY u,v dudv
D
2 1
P{0X 1,0 Y 2} f XY x,y dxdy
0 0
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1-13 已知随机变量(X,Y) 的概率密度为
f (x, y)
1, 0 x 1, y x
0 , 其它
①求条件概率密度 f X (x| y)和f Y ( y | x) ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。

先求边缘概率密度f X (x) 、 f Y ( y)
注意上下限的选取
f (x) f x,y dy X XY x
2x ,0 x 1
dy ,0x 1
x
0 else
0 ,
else ，
1
dx ,0y 1
y
1
f (y) f x,y dx dx , 1 y 0 Y XY
y 1 | y|
1 y 1
else
0 , else
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1-14 已知离散型随机变量X的分布律为
X 3 6 7
P 0.2 0.1 0.7
求：①X的分布函数②随机变量Y 3X 1的分布律
1-15 已知随机变量X服从标准高斯分布。

求：①随机变量
X Y e
Z X 的概率密度？的概率密度？②随机变量
分析: ①f Y (y) h '(y) f X h( y)
② f Y ( y) | h'1(y) | f X [h1( y)] | h'2 ( y) | f X [h2 ( y)]
答案:
2 2
ln y z
1 2
2 2
e y 0 e z 0
f (y) 2 y f (z)
Y Z
0 else 0 else
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1-16 已知随机变量X和
1 X相互独立，概率密度分别为2
1 f (x )
2
X 1
1
1
x
1
e 2 , x 0
1
1
f x
( ) 3
X 2
2
1
x
2
e 3 x
, 0
2
0 , x 0 ，
1
0 , x 0
2
求随机变量 Y X1 X2 的概率密度？
解：设Y Y X X
1 1 2
Y X 任意的求反函数，求雅克比J＝－1 2 1 ( )
1
f y , y 6
YY 1 2 1 2
1 1
y y
1 2
e y y
3 6
1 2
0 0 else
f y Y 1 1
1 1
y y
1 1
e e y
3 2
1
0 else
1-17 已知随机变量X ,Y 的联合分布律为
m n e
5
3 2
P X m,Y n , m,n 0,1,2,
m! n!
P X m (m 0,1,2, )
P Y n (n 0,1,2, ) ？求：①边缘分布律和
②条件分布律P X m |Y n 和P Y n | X m ？
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分析：
m n e 5 m n
3 2
3 2 3 e 2 e
P X m,Y n , m,n 0,1,2,
m!n! m! n!
k e
泊松分布, 0,1,2,
P X k k
k!
k k
e
P X k e e e 1
k P19 （1－48）! k!k 0 k 0
k 0
解：①
m 3 n
3 e 2 e
P X m P X m,Y n
m! n!
n 1 n 1
2
同理P Y n P X m,Y n
n 1
n
2
e
n!
2
②P X m,Y n ＝P X m P Y n
即X、Y相互独立
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1-18 已知随机变量X X
X 相互独立，概率密度分别为
1, 2, , nX X X 相互独立，概率密度分别为
f x f x f x 。

又随机变量
1( 1), 2 ( 2), , n ( n)
Y X
1 1
Y X X
2 1 2
Y X X X
n 1 2 n
证明：随机变量Y Y
Y 的联合概率密度为
1, 2, , n Y Y Y 的联合概率密度为
f (y , y , , y ) f ( y ) f (y y ) f ( y y )
Y 1 2 n 1 1 2 2 1 n n n 1
Y X
1 1
Y X X X Y Y
2 1 2 1 2 1
Y X X X X Y Y
2 1 2
3 2 3 2
Y X X X X Y Y
n 1 1 2 n 1 n n n 1
Y X X X X
n 1 2 n 1 n
1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
J 1
0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
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因为|J| ＝1, 故 f y y y f y y y y y
( , , , ) ( , , ,
n )
Y 1 2 n X 1 2 1 n
1
已知随机变量X1 , X2 , , X n 相互独立，概率密度分别为
f1(x1), f2 (x2), , f n (x n)
f (y , y , , y ) f ( y , y y , , y y )
Y 1 2 n X 1 2 1 n n 1
f ( y ) f (y y ) f (y y )
1 1
2 2 1 n n n 1
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1-19 已知随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为
1
x
f (x) e , x
X
2
求其数学期望与方差？
解:
1
x
E X xf ( x)dx x e dx 0
X
2
奇函数
1
x
2 2 2
E X x f ( x)dx x e dx
X
2
偶函数
2 x 2 x x 2
x e dx x e e dx
0 0
x
e 2 xdx
2
x x
xe 2 e dx 2
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1-20 已知随机变量X可能取值为 { 4, 1,2,3,4} ，且每个值出现的概率均为 1 5 。

求：①随机变量 X的数学期望和方差？②
随机变量
2
Y X 的概率密度？③Y的数学期望和方差？
3
①③
E[ X ] x p
k k
k 1
2
E[ g(X )] g(x ) p E[ X ]
k k
k 1
2
2
D X E[ X ]
E [ X]
答案:
4 46 214
2
E[X ] E[ X ] D X
5 5 25
2
E[Y ] E[Y ] 1098 D Y
5 25
138 8406
②
Y 3 12 27 48
P 1/5 1/5 1/5 2/5
离散型随机变量的概率密度表达式P12，1-25 式
f x p x x
k k 其中x
, x 0
0 , x 0
为冲激函数
k 1
1
f y y 3 y 12 y 27 2 y 48 Y
5
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1-22 已知两个随机变量X,Y的数学期望为m X 1, m Y 2 ，方
2 4, 2 1
差为
X Y ，相关系数XY 0.4。

现定义新随机变量V W 为
,
V X 2Y
W X 3Y
求V,W 的期望，方差以及它们的相关系数？
E V 3 E W 7
E aX bY aE X bE Y
D V 4.8 D W 17.8
2 2
D aX bY a D X b D Y 2abC XY
C
XY
XY 0.13
X Y
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1-23 已知随机变量X,Y 满足Y aX b ，a,b 皆为常数。

证明：
①
2
C a ；②
XY X
XY
1 a 0
X
1 0
a ；③当m 0 且
b
2
aE[ X ]
E X 时，
[ ]
随机变量 X,Y 正交。

①C XY R XY m X m Y
E Y E aX b am b
X
2
E XY E X aX b aE X bm
X
C a
＝
XY X
2
C
XY
②
XY
X Y
2 2 2
D Y D aX b a D X a
X
2
C a a
XY X
XY 2 2
a
X Y X X
a
③正交R XY＝0
2
E XY aE X bm
X
b
2
aE[ X ]
E[ X ]
得证
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1-25 已知随机变量X,Y 相互独立，分别服从参数为 1 和 2 的泊松分布。

①求随机变量X的数学期望和方差？②证明
Z X Y 服从参数为 1 2 的泊松分布。

k
e
解：①泊松分布
P X k
k
0 k!
特征函数的定义
ju
e
k
juX juk
Q u E e e e e
X
k k
0 k!0 k!
k
由
x
e
k
k
x
k (1-17 题用过) 可得
0 !
ju ju
e (e
1)
Q u e e e
X
ju
e
dQ u de
X
E X j j
d u d u
u 0 1
u
ju
e 1 2 2
d Q u d
e 2
2
2 X 2
E X j j
2 2
d u d u
u 0 u 0
②根据特征函数的性质，X Y 相互独立，
ju
( )(e 1)
Q u Q u Q u e
1 2
Z X Y
表明Z 服从参数为 1 2 的泊松分布
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完美 WORD 格式1-26 已知随机变量X ,Y 的联合特征函数为
Q (u, v) XY
6
6 2 ju 3jv uv
求：①随机变量 X的特征函数②随机变量 Y 的期望和方差
Q (u) Q (u, 0)
X XY 3
3
解：①
ju
②0
Q (v) Q ( ,v) Y XY 2
2
jv
k
d Q (u)
k k X
E[ X ] ( j )
k
du
u0
2
dQ (v) 2 j d Q (v) 4 jv 8
Y Y
2 2
dv jv dv j v
2 2
4
2
d Q (v) 1 d Q (v) 1
2 2
Y Y
E[Y] ( j)E[Y ] ( j)
2
du 2 u 2
d
v 0 v 0
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1-28 已知两个独立的随机变量X,Y的特征函数分别是( )
Q u 和
X
Q u ，求随机变量Z 3(X 1) 2(Y 4)特征函数 Q Z (u) ？
( )
Y
解：
特征函数的性质：相互独立随机变量和的特征函数等于它们
特征函数之积
X、Y 独立，
因此有3(X 1)和2(Y 1)独立
独立的等价条件（充分必要条件）
①f XY(x, y) f X (x) f Y (y)
k n k n
②k 1,n 1 E(X Y ) E(X ) E(Y )
③Q (u ,u )=Q u Q u
X 1 2 X 1 X
2
1 2
1-29 已知二维高斯变量
X X 的期望分别为
(X, X ) 中，高斯变量
1 2
1, 2X X 的期望分别为
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m m ，方差分别为1, 2 2 2
1 ,
2 ，相关系数为。

令
X m 1 X m X m
1 1
2 2 1 1
Y , Y
1 2
2
1
1 2 1
①写出二维高斯变量 1 2
(X, X ) 的概率密度和特征函数的矩阵形
(X, X ) 的概率密度和特征函数的矩阵形式，并展开；
②证明(Y1,Y2 ) 相互独立，皆服从标准高斯分布。

X m X m
1 1
2 2
X , X
解：
1 2
1 2 X1 ~ N(0,1)，
X2 ~ N (0,1)，
X X
1
2
1
Y X , Y X X
1 1
2 2 1
2
1
1 0
系数矩阵A 1
2
2
1 1
Y AX，线性变换，故Y 也服从高斯分布
M AM
Y X
1 1 0 T T
C AC A A A
Y X
1 0 1
C i j ，故
0( )
ij Y
1
Y 不相关，
2
高斯变量不相关和独立等价，Y1 Y2 独立专业知识分享
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1-30 已知二维高斯变量(X1, X2 ) 的两个分量相互独立，期望
皆为0，方差皆为
2 。

令
Y X X
1 1 2
Y X X
2 1 2
其中0, 0 为常数。

①证明：(Y ,Y ) 服从二维高斯分布；
1 2
②求(Y1,Y2 ) 的均值和协方差矩阵；③证明：Y1,Y2 相互独
立的条件为。

复习：n 维高斯变量的性质
1.高斯变量的互不相关与独立是等价的
2.高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。

3.高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布
解：①Y X
1 1
Y X
2 2
②M AM
Y X 0
T
C AC A
Y X
2
2 2 2 2
2 2 2 2
③Y1,Y2 相互独立、二维高斯矢量
因此Y1 ,Y2 互不相关只要证C Y 为对角证即
2 2 0
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X
1
1-31 已知三维高斯随机矢量
X X
X 2
3
均值为常矢量 a ，方差阵
2 2 2
为
B 2 5 4
2 4 4
证明： X1, X2 X1, X1 3 2X2 3 X3 相互独立。

复习：n 维高斯变量的性质
1.高斯变量的互不相关与独立是等价的
2.高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。

3.高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布
Y X
1 1
思路：设随机矢量Y Y X X
2 1 2
Y
3
1 2
X X X
1 2
3
3 3
由性质可得 Y 为三维高斯变量，求得方差阵 C Y 为对角阵
C AC A
Y X
T
1 0 0
2 0 0
A 1 1 0 C 0 3 0
Y
1 2 2
0 0 0
3 3 3
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1-32 已知三维高斯随机变量
( X , X ,X) 各分量相互独立，皆服
1 2 3
从标准高斯分布。

求Y1 X1 X2 和Y X X 的联合特征函数？
2 1 3
0 1 0 0
M 0 C 0 1 0
X X
0 0 0 1
思路：Y 是X 线性变换故也服从高斯分布，求得M Y C Y 就
可以写出联合特征函数
Y X X Y
1 1
2 1 Y X X Y
2 1
3 2 1 1 0
1 0 1
X X
1 1
X A X
2
2
X X
3
3
Y AX，线性变换，故Y 也服从高斯分布
0 2 1
T
M AM C AC A
Y X Y X
0 1 2
N维高斯变量的联合特征函数
T
T
U C U T
jU Y Y
Q , , E e exp jM U
Y
Y 1 n
2
exp
2
2
1 1 2
2
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完美 WORD 格式2、已知随机变量 (X,Y) 的联合概率密度为
f (x, y) XY 6xy(2 x y) 0 x 1 0 y 1
0 else
(1) 条件概率密度 f (x y), f ( y x)
(2)X 和Y是否独立？给出理由。

解题思路：( , ) ( ), ( ) ( ), ( )
f x y f x f y f x y f y x
X Y
解：(1)
f (x) f (x, y )dy X XY
1 2
6xy(2 x y )dy 4x 3x 0 x 1
0 else
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6y 2 x y
f (x, y) 0 x 1 0 y 1
XY
f ( y x) 4 3x
Y
f (x)
X
0 else
同理
6x 2 x y
f (x y) 4 3y
X
0 x 1 0 y 1
0 else
(2) ( ) ( ) ,
f x y f x or f x y f x f y
X X XY X Y X和Y不相互独立
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完美 WORD 格式4、已知 (X 1,X2,X3) 是三维高斯变量，其期望
和方差为
X m
1 1 0
7 3 2 Y X X
1 1
2
X X M m
2 X 2 0 C
3
4 1
X
Y X
2
3
X m
3 3
0 2 1 2 求：(1) (X 1,X2) 的边缘特征函数。

(2) (Y 1,Y2) 的联合概率密度
高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布
所以(X1,X2) 、Y 服从高斯分布
(1)
X 0 7 3 1
E C
X X
X 0 3 4
1 2
2
Q u ,u exp X 1 2
2 2
7u 6u u 4u
1 1
2 2
2
(2)
1 1 0 0 17 3
A M C
Y Y
0 0 1 0 3 2
C 25 C
Y Y 1 1 2 3
25 3 17 专业知识分享
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2 2
2Y 6 Y Y 17Y 1
1 1
2 2
f y , y exp
Y 1 2
10 50
2-1 已知随机过程，其中为常数，随机变量服从标准高斯
分布。

求三个时刻的一维概率密度？
解：
( 离散型随机变量分布律)
2-2 如图2.23 所示，已知随机过程仅由四条样本函数组成，
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