2021年广西中考一轮数学分层练习：与圆有关的位置关系

与圆有关的位置关系
基础训练
1.⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是()
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 不能确定
2. (2019广州)平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线的条数为()
A. 0条
B. 1条
C. 2条
D. 无数条
3.如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定AT是⊙O的切线的是()
A. AB＝4，AT＝3，BT＝5
B. ∠B＝45°，AB＝AT
C. ∠B＝55°，∠TAC＝55°
D. ∠ATC＝∠B
第3题图
4. (2020通辽)如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝()
A. 108°
B. 72°
C. 54°
D. 36°
第4题图
5.(2020泰安)如图，P A是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥A B. 则∠BAC等于()
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 50°
第5题图
6. (2020徐州)如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在过点B 的切线上，OC ⊥OA ，OC 交AB 于点P .若∠BPC ＝70°，则∠ABC 的度数等于( )
A. 75°
B. 70°
C. 65°
D. 60°
第6题图
7. 直角三角形的两条直角边分别为5和12，则它的内切圆半径为________．
巩固训练
8. (2020温州)如图，菱形OABC 的顶点A ，B ，C 在⊙O 上，过点B 作⊙O 的切线交OA 的延长线于点D ，若⊙O 的半径为1，则BD 的长为( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 3
第8题图
9. (2020金华)如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，分别切AB ，BC ，AC 于点E ，F ，D ，P 是DF ︵
上一点，则∠EPF 的度数是( )
A. 65°
B. 60°
C. 58°
D. 50°
第9题图
10. (2020永州)如图，已知P A ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点，线段OP 交⊙O 于点M . 给出下列四种说法：
①P A ＝PB ②OP ⊥AB
③四边形OAPB 有外接圆 ④M 是△AOP 外接圆的圆心
其中正确说法的个数是()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
第10题图
11. (人教九上P102习题24.2第11题改编)如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，BO＝6 cm，CO＝8 cm，则BC＝________ cm.
第11题图
12.(2020宁波)如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点(不与点A重合)，过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连接OC，AC，当△OAC是直角三角形时，其斜边长为________．
第12题图
13. (2020衡阳)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F.
(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AD＝8，AE＝10，求BD的长．
第13题图
14. (2020盐城)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若DE⊥AB，垂足为E, DE交AC与点F.
求证：△DCF是等腰三角形．
第14题图
15.如图，已知点O是菱形ABCD对角线BD上的点，以点O为圆心，OB为半径的圆与CD相切于点C.
(1)求证：AD与⊙O相切；
(2)若⊙O的半径为6，求菱形的边长．
第15题图
16.(2020贵阳)如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，⊙O 的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A，且∠CAD＝∠AB D.
(1)求证：AD＝CD；
(2)若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．
第16题图
能力提升
17. (2020南京)如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D.若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0，8)，则点D的坐标是()
A. (9，2)
B. (9，3)
C. (10，2)
D. (10，3)
第17题图
参考答案
1. B
2. C 【解析】根据切线的定义进行判断，过圆外一点可以作两条直线和圆相切．
3. D 【解析】A .∵AB ＝4，AT ＝3，BT ＝5，∴AB 2＋AT 2＝BT 2，∴△BAT 是直角三角形，∴∠BAT ＝90°，∵AB 是⊙O 的直径，∴AT 是⊙O 的切线，故此选项不符合题意；B .∵∠B ＝45°，AB ＝AT ，∴∠T ＝45°，∴∠BAT ＝90°，∵AB 是⊙O 的直径，∴AT 是⊙O 的切线，故此选项不符合题意；C .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA ＝90°，∵∠B ＝55°，∴∠BAC ＝35°，∵∠TAC ＝55°，∴∠BAT ＝90°，∴AT 是⊙O 的切线，故此选项不符合题意；D .∠ATC ＝∠B ，无法得出AT 是⊙O 的切线，故此选项符合题意．
4. C 【解析】如解图，连接OA ，OB ，∵直线P A ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，∠OAP ＝∠OBP ＝90°，在四边形OAPB 中，∵∠P ＝72°，∴∠AOB ＝108°.∵C 是⊙O 上一点，∴∠ACB ＝1
2
∠AOB ＝54°.
第4题解图
5. B 【解析】如解图，连接OA ，∵P A 是⊙O 的切线，∴∠P AO ＝90°，∵∠P ＝10°，∴∠POA ＝90°－∠P ＝80°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝12(180°－∠POA )＝50°，∵OC ∥AB ，∴∠BOC ＝∠OBA ＝50°，
由圆周角定理得∠BAC ＝1
2
∠BOC ＝25°.
第5题解图
6. B 【解析】∵∠BPC ＝70°，∴∠APO ＝70°，∵OC ⊥OA ，∴∠AOP ＝90°，∴∠OAP ＝90°－∠APO ＝20°，∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠OAP ＝20°，又∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90°，∴∠ABC ＝∠OBC －∠ABO ＝90°－20°＝70°.
7. 2 【解析】∵两条直角边的长分别为5和12，由勾股定理可知，斜边长＝52＋122＝13，∴它的
内切圆的半径＝5＋12－13
2
＝2.
8. D 【解析】如解图，连接OB ，∵四边形OABC 是菱形，∴AB ＝OA ，又∵OA ＝OB ，∴△OAB 为等边三角形，∴∠AOB ＝60°，∵BD 是⊙O 的切线，∴∠DBO ＝90°，∵OB ＝1，∴BD ＝3OB ＝ 3.
第8题解图
9. B 【解析】如解图，连接OE ，OF .∵AB ，BC 为⊙O 的切线，∴∠OEB ＝∠OFB ＝90°.∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∴∠EOF ＝120°，∴∠EPF ＝12
∠EOF ＝60°.
第9题解图
10. C 【解析】如解图，∵ P A ，PB 是⊙O 的两条切线，∴P A ＝PB ，∠APO ＝∠BPO , 故①正确；∵P A ＝PB ，∠APO ＝∠BPO ，∴PO ⊥AB , 故②正确；∵ P A ，PB 是⊙O 的两条切线，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°， 取OP 的中点Q ，连接AQ ，BQ ，则AQ ＝1
2OP ＝BQ ，∴以点Q 为圆心，QA 为半径作圆，则B ，O ，A ，P
共圆，故③正确；∵ M 是△AOP 外接圆的圆心，∴MO ＝MA ＝MP ＝AO , ∴∠AOM ＝60°， 与题干提供的条件不符，故④错误，综上所述，正确的说法有3个．
第10题解图
11. 10 【解析】∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G 三点，∴∠OBC ＝1
2∠ABC ，∠OCB
＝12∠DCB ，∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠DCB ＝180°，∴∠OBC ＋∠OCB ＝12(∠ABC ＋∠DCB )＝90°，∴∠BOC ＝90°，∵OB ＝6 cm ，OC ＝8 cm ，∴BC ＝OB 2＋OC 2＝62＋82＝10 cm.
12. 22或23 【解析】当∠AOC ＝90°时，如解图①，连接OB ，∵BC ＝OA ＝OB ＝2，又∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90°，∴OC ＝22，∴AC ＝OA 2＋OC 2＝22＋（22）2＝23；当∠OAC ＝90°时，如
解图②，连接OB，点B与点A关于OC对称，OC＝OB2＋BC2＝22＋22＝22，综上所述，斜边长为22或2 3.
第12题解图
13.解：(1)BC与⊙O相切．
理由如下：如解图，连接OD，
∵∠C＝90°，
∴∠ADC＋∠DAC＝90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC.
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO.
∴∠ADO＝∠DAC，
∴∠ADC＋∠ADO＝90°.
∴∠ODC＝90°.
∵∠ODC＝90°，∠C＝90°，
∴∠ODC＋∠C＝180°，
∴OD是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切；
(2)如解图，连接DE，
第13题解图
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴DE＝AE2－AD2＝102－82＝6.
∴sin ∠EAD ＝DE AE ＝610＝3
5.
又∵∠EAD ＝∠DAC ， ∴sin ∠DAC ＝3
5.
即
CD AD ＝35，得CD ＝245
， ∴AC ＝AD 2－CD 2＝82－（245）2＝32
5
.
∵OD ∥AC ， ∴△BOD ∽△BAC ， ∴
BD BC ＝OD AC ，即BD BD ＋
245＝5
32
5
， 解得BD ＝120
7
.
14. 证明：(1)如解图，连接OC ，
第14题解图
∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠BCA ＝90°. ∵OB ＝OC ， ∴∠B ＝∠OCB ， ∵∠DCA ＝∠B ，
∴∠OCA ＋∠DCA ＝∠OCB ＋∠OCA ＝90°， ∴OC ⊥CD ，
又∵OC 为⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线；
(2)∵∠OCA ＋∠DCA ＝90°，∠OCA ＝∠A ， ∴∠A ＋∠DCA ＝90°. ∵DE ⊥AB ，
∴∠A＋∠EF A＝90°，
∴∠DCA＝∠EF A，
又∵∠EF A＝∠DFC，
∴∠DCA＝∠DFC.
∴DC＝DF，
∴△DCF是等腰三角形．
15. (1)证明：如解图，连接OA，OC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADO＝∠CDO，
∵OD＝OD，
∴△ADO≌△CDO(SAS)，
∴OA＝OC，∠OAD＝∠OCD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠OAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD与⊙O相切；
第15题解图(2)解：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠DOC＝∠OBC＋∠OCB＝2∠OBC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴∠DOC＝2∠CDO.
∵∠CDO＋∠DOC＝90°，
∴∠CDO＝30°.
∵OC ＝6，
∴CD ＝3OC ＝63，
∴菱形的边长为6 3.
16. (1)证明：∵∠CAD ＝∠ABD ，
∴CD ︵＝AD ︵，
∴AD ＝CD ；
(2)解：∵AF 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，
∴∠F AB ＝∠ACB ＝∠ADB ＝∠ADF ＝90°.
∵∠F AD ＋∠BAD ＝90°，∠ABD ＋∠BAD ＝90°，
∴∠F AD ＝∠ABD .
又∵∠ABD ＝∠CAD ，
∴∠CAD ＝∠F AD .
∵AD ＝AD ，
∴Rt △ADE ≌Rt △ADF (ASA)，
∴AE ＝AF ，ED ＝FD .
在Rt △BAF 中，AB ＝4，BF ＝5，
由勾股定理得AF ＝BF 2－AB 2＝3，∴AE ＝3.
∵S △ABF ＝12AB ·AF ＝12
BF ·AD ， ∴AD ＝AB ·AF BF ＝125
. 在Rt △ADF 中，FD ＝AF 2－AD 2＝95
， ∴BE ＝BF －2DF ＝5－95×2＝75
. ∵∠BEC ＝∠AED ，且∠ECB ＝∠EDA ＝90°，
∴△BEC ∽△AED ，
∴BE AE ＝BC AD ，即753＝BC 125
， 解得BC ＝2825
. ∵∠BDC 与∠BAC 都是BC ︵所对的圆周角，
∴∠BDC ＝∠BAC .
在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，
∴sin ∠BAC ＝BC AB ＝725
， 即sin ∠BDC ＝725
. 17. A 【解析】如解图，设⊙P 与y 轴切于点N ，与x 轴切于点M ，连接PN 、PM ，延长NP 交CD 于点E ，得矩形ANEC ，∴CE ＝DE ，∵OA ＝8，PM ＝PN ＝OM ＝5，∴DE ＝CE ＝AN ＝8－5＝3，∴DB ＝CB －CE －DE ＝8－3－3＝2 ，连接PC ，由勾股定理可得PE ＝PC 2－CE 2＝52－32＝4，∴OB ＝OM ＋BM ＝NP ＋PE ＝5＋4＝9，∴点D 的坐标为(9，2)．
第17题解图。