第十三章动荷载(讲稿)

第十五章动荷载
一、教学目标和教学内容
1、教学目标
通过本章学习，唤起学生对动荷载问题的注意。

让学生知道动荷载问题的两个方面，目前应当掌握在较简单的工程问题中，动荷载引起杆件的应力、应变和位移的计算。

对于材料在动荷载下的力学行为，以后根据工作的需要再进一步补充学习。

让学生掌握动荷载问题的基本知识，如杆件作等加速运动时的应力计算，作等速旋转圆盘的应力分析，简单的自由落体冲击和水平冲击，以及循环应力问题的有关概念。

能够深刻认识动荷系数概念，并能够熟练地进行杆件作等加速运动时的应力计算，作等速旋转圆盘的应力分析，完成简单的自由落体冲击和水平冲击的计算。

2、教学内容
介绍杆件作等加速运动拉伸、压缩及弯曲时的应力计算。

介绍等角速度旋转的动荷应力计算。

讲解简单冲击时，能量守恒的基本方程，分别导出自由落体冲击和水平冲击时的动荷系数公式，及杆件经受冲击时的应力计算公式。

二、重点难点
重点：建立三类动荷载概念。

掌握杆件作等加速运动时的应力计算。

作等速旋转圆盘的应力分析。

简单的自由落体冲击和水平冲击问题的计算
难点：对动静法和动荷系数的理解。

对于动荷载问题与静荷载问题的联系与区别。

在简单冲击问题中，被冲击杆件冲击点的相应静荷位移的理解和计算，特别是水平冲击时的静荷位移的理解和计算。

三、教学方式
采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。

四、建议学时
3学时
五、实施学时
六、讲课提纲
(一)概念（动荷载的概念）
1、静荷载：
作用在构件上的荷载由零开始，逐渐（平缓、慢慢）地增长到最终值，以致在加载过程中，构件各点的加速度很小，可以不计；荷载加到最终值保持不变或变动的不显著的荷载，称之为静荷载。

2、动荷载：
如果构件本身处于加速度运动状态（高层、超高层建筑施工时起吊重物；这些建筑物中运行的电梯—惯性力问题）；或者静止的构件承受处于运动状态的物体作用（落锤打桩，锤头猛烈冲击砼桩顶—冲击问题）；地震波引起建筑物晃动(构件在振动状态下工作—振动问题)；机械零件在周期性变化的荷载下工作(交变应力疲劳问题)，则构件受到荷载就是动荷载。

3、动荷载与静荷载的区别
静荷载：构件在静止状态下承受静荷载作用。

由零开始，逐渐缓慢加载，加到终值后变化不大、加速度很小，可以略去不计。

动荷载：在动荷载作用下，构件内部各质点均有速度改变，即发生了加速度，且这样的加速度不可忽略。

区别：加速度可忽略与不可忽略。

4、虎克定律的适用问题
实验结果表明，只要应力不超过比例极限，虎克定律仍适用于动荷载的应力、应变的计算，弹性模量与静荷载的数值相同。

5、本章讨论的问题
⑴惯性力问题：构件在加速度运动时的应力计算；构件在匀速转动时应力计算（构件上各点有向心加速度）。

⑵冲击问题：垂直冲击；水平冲击。

(二)惯性力问题
1、惯性力的大小与方向
对于加速度为a的质点，惯性力等于质点的质量m与其加速度a的乘
积，即惯性力大小。

a m F I ⨯= ─────────────(a)
若构件的重量为G,重力加速度为g ，则质点的质量
g
G
m =
─────────────(b) 则质点的惯性力
a g
G
F I ⨯=
─────────────(c) 惯性力的方向与加速度a 的方向相反。

2、动静法——达朗贝尔原理。

达朗贝尔原理指出，对作加速度的质点系，若假想地在每一质点上加上惯性力，则质点系上的原力系与惯性力系组成平衡力系。

这样，就可把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理。

这就是动静法。

3、构件在加速度直线运动时的应力和变形计算。

⑴动荷载系数K d
例如有一绳索提升重量为G 的重物（如下图）。

图13-1
则∑=0y F
0=⨯-
-a g G G F Nd )1(g
a G a g G G F Nd +=⨯+= 所以，绳索中出现的动应力为
)1()1(g a
g a A G A F st Nd d +=+==
σσ ────────────⑴ 式中的A
G
st =
σ是静力平衡时绳索中的静应力。

若令⑴式括号内g
a +1为d K ， 那么⑴式即为
st d d k σσ⨯=────────────────────⑵
式中的d k 称为动荷系数
⑵式表明：绳索中的动应力d σ=静应力st σ乘以动荷载系数d k 。

同理：绳索中的静伸长st l ∆乘以动荷载系数d k =绳索的动伸长d l ∆，即
st d d l K l ∆⋅=∆────────────────────⑶
同理：
st d d K εε⋅=─────────────────────⑷
⑵匀加速直线运动构件的应力计算
一直杆AB 以匀加速a 向上提升（见下图）；设杆长为l ,横截面积为A ，材料的容重为r ，求杆内的动应力?=d σ
图13-2
解：①用截面法截出杆的下段 ②设截面上的轴向力为Nd F
③该段在Nd F 、自重rAx 和惯性力a g
rAx
⋅作用下形成平衡力系（图b ） 由静力平衡条件得：
+
=rAx F Nd =⋅a g
rAx
)1(g a rAx +
若用A
F Nd
d =
σ代表横截面上的正应力，则 )1(g
a rx d +=σ ──────────────────(A)
∵静应力rx A rAx st ==/σ ∴st d st d K g
a σσσ=+=)1(
由(A)式可知，杆内的正应力沿杆长按直线规律变化，见图c 4、构件在匀速转动时的应力计算
当构件作定点匀速转动时，构件上各点有向心加速度
2ωR a n =
式中的R 为质点到转轴的距离（圆环的平均半径）
图13-3
离心惯性力沿圆环中心线均匀分布，其集度为
2
22
ωωD g Ar R g Ar a g Ar q n d ⨯=⨯=⨯=
则环向应力
222
4222ωωσθ⨯=⋅⋅⋅==g
rD A D
D g Ar A D q o ─────────────⑴
∵线速度ω2
D
V =
∴环向应力计算式也可写成： 2υσθ⨯=
g
r
───────────⑵ 其强度条件：][42
2σωσθ≤⋅=g
rD ────────────────⑶
][2
συσθ≤⋅=
g
r ─────────────────⑷
由⑶式可求转速，∵n πω2=，则⑶式可写成
r
g
D n ⨯=
=
][12σππω───────────────⑸ 由⑷式可求容许线速度
r
g
⨯=
][][συ──────────────────⑹
例题13-1 在AB 轴的B 端有一个质量很大的飞轮（如下图）。

与飞轮相比，轴的质量可忽略不计。

轴的另一端A 装有刹车离合器。

飞轮的转速为
min /100r n =，转动惯量为2S M KN ⋅⋅=5.0x I 。

轴的直径mm d 100=，刹车时使轴
在10秒内均匀减速停止。

求轴内最大动应力。

图13-4
解：⑴飞轮与轴的转动角速度为s rad n o /3
1030100602π
ππω=⨯==
⑵当飞轮与轴同时做均匀减速转动时，其角加速度为
21/3
103100s rad t
o
ππ
ωωε-=-=
-=
(其中负号表示ε与o
ω的方向相反，如上图)
⑶按动静法，在飞机上加上方向与ε相反的惯性力偶矩d M ，且
m KN ⋅=--=-=3
5.0)3(5.0π
πεx d I M
⑷设作用于轴上的摩擦力矩为t M ，由平衡方程∑=0x M ，设：
m KN ⋅=
=3
5.0π
d t M M ⑸AB 轴由于摩擦力矩t M 和惯性力偶矩d M 引起扭转变形，横截面上
的扭矩为T M ，则
m KM ⋅=
=3
5.0π
d T M M ⑹横截面上的最大扭转剪应力为
2.67MPa Pa 103=⨯=⨯⨯==
-623max 1067.2)10100(16
3
5.0ππ
τp
r
W M
例题13-2 图示结构中的轴AB 及杆CD ，其直径均为d=80mm ，
s /40=ω，材料的MPa 70][=σ，钢的容重3KN/m 4.76=γ，试校核AB 、CD 轴的
强度。

解法之一：
解：1、校核AB 轴的强度（AB 轴的弯曲是由于CD 杆惯性力引起的，因为CD 杆的向心加速度引起了惯性力）
图13-5
⑴CD 杆的质量：g
l r A g G m CD
⋅⋅=
=
⑵CD 杆的加速度：CD R a ⋅=2ω ⑶CD 杆引起的惯性力I F ；
KN 28.112
6
.0408
.96.0104.764
08.0232
=⨯
⨯⨯⨯⨯⨯=
⋅=πa m F I ⑷AB 轴的M kN ⋅=⨯⨯==38.34
2.11028.1143max
l F M I d ⑸AB 轴的][MPa σπσ 3.6708.032
1038.333
max =⨯⨯==
W M d d 2、校核CD 杆的强度（I Nd F F =受拉，危险截面在C ）
][25.24
08.01028.1133
σπσ MPa =⨯⨯===A
F A F I Nd d
解法之二：
图13-6
解：沿CD 杆轴线单位长度上的惯性力（如图b 所示）为
N/m x x l l x q CD
CD
d 32321061440)104.7608.04()(⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=π
当0=x 时，0=d q
当m x 04.0=时（c 截面处），N/m 3106.24⨯=d q 当m x 6.0=时，N/m 3105.368⨯=d q CD 杆危险面C 上轴力和正应力分别为
KN
3.1102.01.110]
104.76)04.06.0(08.04
[)]04.06.0()105.368106.24[(213233max =+=⨯⨯-⨯⨯+-⨯⨯+⨯=π
Nd F MPa 9.2108.04
103.11023max max
=⨯⨯==πσA F N d
(三)冲击荷载
落锤打桩、汽锤锻打钢坯、冲床冲压零件，转动的飞轮突然制动、车辆紧急刹车都属于冲击荷载问题。

1、垂直冲击（冲击物为自由落体）
图13-6
设有一重物Q 从高处为H 处自由落下（如图），冲击到被冲击物体的顶面上，则其动荷载系数st
d H
K δ211+
+=
式中的EA
Ql
EA l F l N st ==
∆=δ ─────构件在静荷载作用时的静位移。

⑴若H=0时（即突加荷载——荷载由零突然加到Q 值）， 则2=d K st st d d K δσσ2== st st d d K δδδ2==
即突加荷载作用下，构件的应力与变形比静荷载（由值逐渐Q −−→−0）时要大一倍。

⑵若
102 st
H
δ时，则
st
d H
K δ21+
≈
⑶若
1002 st
H
δ时
st
d H
K δ2≈
⑷若已知在冲击开始时冲击物自己落体的速度V ，则st
d H
K δ21+
=中的高
度H 可用g
V 22
来代替，即st d g V K δ211++=
2、水平冲击
水平冲击时（图a 、b 所示）的动荷系数
st
d g V
K δ=
─────────────────⑺
图13-7
3、冲击荷载作用下的动位移、动应变、动应力
st d d K δδ= st d d K εε= st d d K σσ=
4、受冲击时构件的强度条件：
][σσσ≤=st d d K
例题13-3 试校核图示梁在承受水平冲击荷载作用时的强度。

已知，冲击物的重量Q=500KN,冲击荷载Q 与弹簧接触时的水平速度m/s 35.0=V ；弹簧的刚度N/m 610100⨯=k ，冲击荷载及弹簧作用在梁的中点处，梁的抗弯截面系数3m 31010-⨯=W ，截面对中性轴的惯性矩 4m 3105-⨯=I ，钢的GPa 200=E ，
MPa 160][=σ。

图13-7
解：1、当N 500=Q 以静载方式从水平方向作用在弹簧、梁的跨中时，跨中截面的水平位移为
K
Q EI Ql st +=483δ
6
3
393310100105001051020048810500⨯⨯+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-m 01.0005.000533.0=+= 2、动荷载系数d K
12.1313.035
.001
.08.935.0==⨯==
st d g V K δ
3、最大弯矩d M )(max
m N M k M st d d ⋅⨯=⨯⨯⨯==33max max 1011204
8
1050012.1)()(
4、强度校核
][MPa σσ 11210
10101120)()(3
3
max max =⨯⨯==-W M d d
5、结论：强度够
例题13-4 图a 所示结构，梁长2m =l ，其宽度75mm =b 。

高25mm =h ；材料的200GPa =E ；弹簧的刚度10kN/m =K 。

今有重量250N =Q 的重物从高度50mm =H 处自由下落，试求被冲击时梁内的最大正应力。

若将弹簧置于梁的上边（图b ），则受冲击时梁内的最大正应力又为何值？
图13-8
解：第一种情况（图a ）
由弹簧支承B 处的变形协调方程：
K
F EI l F Q B
B =-48)3（ 解出N 6.192101010257512110200481250
4813
312
393=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+
=+=
-kl EI Q F B B 截面的静位移m K F B st 33
1096.110
106
.19-⨯=⨯==δ
动荷载系数21.810
96.11052112113
3
=⨯⨯⨯++=++=--st
d H
K δ 梁内的最大正应力为
MPa 1211025756
12
)6.19250(4121.8)(419=⨯⨯⨯⨯-⨯=-⨯=⋅=-W
l F Q K K B d st d d σσ
第二种情况（图b ）
重物Q 以静载方式作用于弹簧顶部时的静位移为
m 133
1239331013.2710
1025010257512
11020048225048--⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+=K Q EI Ql st δ 动荷载系数16.31013.2710502112113
3
=⨯⨯⨯++=++=--st
d H
K δ
梁内的最大正应力为
MPa 6.501025756
122504116.34192=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=⋅=-W
Ql K K d st d d σσ。