高三9月月考(数学)试卷含答案

高三9月月考（数学）
（考试总分：150 分）
一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）
1.（5分）1．设集合{0,1}M =，{|01}N x x =<≤，则M N ⋃=（ ）
A ．[0,1]
B ．(0,1]
C ．[0,1)
D ．(,1]-∞
2.（5分）2．已知命题:p x R ∀∈,210x x -+>，则p ⌝
A ．x R ∃∈，210x x -+≤
B ．x R ∀∈，210x x -+≤
C ．x R ∃∈，210x x -+>
D ．x R ∀∈，210x x -+≥
3.（5分）3．已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.（5分）4．已知命题p ：“[1,]x e ∀∈，ln a x >”，命题q ：“x R ∃∈，240x x a -+=””若
“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(1,4]
B ．(0,1]
C ．[1,1]-
D ．(4,)+∞
5.（5分）5
．已知a =，0.2
16b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，375log 2c =，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
6.（5分）6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()232x
f x x xf e '=++，
则()2f '的值等于 A ．2-
B ．2
22e -
C ．2
2e -
D ．2
22
e --
7.（5分）7．已知函数f (x )的定义域为[3，6]，则函数y
2f x 的定义域为
（ ） A ．[3
2，＋∞)
B ．[3
2，2)
C ．(3
2
，＋∞)
D ．[1
2
，2)
8.（5分）8．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若
(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f +++
+=
A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
9.（5分）9．已知函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有
1[()]2f f x x -=，则1
()7
f 的值是.
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
10.（5分）10．函数()()
2ln 1
1x f x x +=
+的大致图像为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11.（5分）11．定义在R 上的函数1()()
23x m
f x -=-为偶函数，21(lo
g )2
a f =，1
31(())2b f =，()c f m =，则
A ．c a b <<
B ．a c b <<
C ．a b c <<
D ．b a c <<
12.（5分）12．已知函数x y a =（1a >）与log a y x =（1a >）的图象有且仅有两个公共
点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1
e 1e a << B ．1e a <<
C ．1
e e e a <<
D ．e a >
二、填空题
二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.（5分）13．命题:p x ∀，(0,1)y ∈，2x y +<的否定为______.
14.（5分）14．设函数112,1,(),1
x e x f x x x -⎧<⎪
=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为____．
15.（5分）15．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有(1)(1)f x f x +=-，已知当[0,1]x ∈时11()()2
x f x -=，则
（1）2是函数()f x 的周期；
（2）函数()f x 在()1,2上是减函数，在()2,3上是增函数； （3）函数()f x 的最大值是1，最小值是0； （4）当(3,4)x ∈时，3
1()2x f x -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
.
其中所有错误命题的序号是________.
16.（5分）16．已知关于x 的不等式3ln 1x e
x a x x
--≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数
a 的取值范围为_________．
三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）17．已知()2
:253,:220p x q x a x a -≤-++≤
（1）若q 是真命题，求对应x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.
18.（12分）18.已知函数()()log (23),log (23)(0a a f x x g x x a =+=->且1)a ≠,
（1）求函数()()f x g x +的定义域；
（2）判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由．
19.（12分）19．已知函数()2
12
()log 65f x x x =---.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）求()f x 的最值，并求取得最值时x 的值.
20.（12分）20．已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈.
（Ⅰ）当2a =时，求曲线y =()f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程； （Ⅰ）求函数()f x 的极值.
21.（12分）21．已知函数()()2
12
log 1f x x =+，()2
6g x x ax =-+.
（1）若关于x 的不等式()0g x <的解集为{}|23x x <<，当1x >时，求
()
1
g x x -的最小值； （2）若对任意的1[1,)x ∈+∞、2[2,4]x ∈-，不等式12()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
22.（12分）22．已知函数()cos x f x e a x -=-，其中a R ∈，e 为自然对数的底数.
（1）若()0f x ≥在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）当1a =，()0,x π∈时， Ⅰ证明：函数()f x 恰有一个零点；
Ⅰ设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，证明：1012
x x π--<.
参考数据：ln 20.6931≈
答案
一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）1．A
【分析】
利用并集的定义求解即可． 【详解】
Ⅰ集合{0,1}M =，集合{|01}N x x =<≤，Ⅰ{|01}M N x x ⋃=≤≤，即M N ⋃=[0,1]. 故选A 【点睛】
本题考查了并集的定义与计算问题，属于基础题．
2.（5分）
3.（5分）3．B
【分析】
利用集合的包含关系判断即可得出结论. 【详解】
{}1x x > {}2x x ≥，因此，则p 是q 的必要不充分条件，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用集合的包含关系判断充分不必要条件，属于基础题.
4.（5分）4．A
5.（5分）5．C
【分析】
利用指数函数单调性得到1
16
5
1155⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，幂函数的单调性得到115
5
1156⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，进而得到a ，b 的关系，再利用“1”与c 比较. 【详解】
因为51
1
1
0.2
6511115566a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>>== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
且106
11155a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 故1a b >>， 而3
377
23
5log log 17
c =>=，
所以c a b >>． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查指数式比较大小，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.
6.（5分）
7.（5分）7．B
【分析】
根据()f x 的定义域，结合被开方数是非负数，以及真数大于零，即可列出不等式求得结果. 【详解】
要使函数y
2f x 3261
log (2)02x x ≤≤⎧⎪
⎨->⎪⎩
3
3
2
021x x ⎧≤≤⎪⎨⎪<-<⎩Ⅰ32≤x <2. 故选：B. 【点睛】
本题考查具体函数和抽象函数定义域的求解，涉及对数不等式的求解，属综合基础题.
8.（5分）
9.（5分）9．D
【详解】 试题分析：设
，所以
，那么
，当
时，
，解得
，所以，那么，故选D.
考点：抽象函数
10.（5分）10．B
【分析】 函数()()
2
2ln 1
1x f x x +=
+是由函数()22ln x g x x =
向左平移1个单位得到的，而()
2
2ln x
g x x =是偶函数，所以得()()
2
2ln 1
1x f x x +=+的图像关于直线1x =-对称，再取值可判断出结果.
【详解】
解：因为()()
2
2ln 1
1x f x x +=+是由()2
2ln x
g x x =
向左平移一个单位得到的， 因为()2
2ln ()(0)()x
g x g x x x --=
=≠-， 所以函数()2
2ln x
g x x
=
为偶函数，图像关于y 轴对称， 所以()f x 的图像关于1x =-对称，故可排除A ，D 选项； 又当2x <-或0x >时，2ln 10x +>，()2
10x +>， 所以()0f x >，故可排除C 选项 .故选：B . 【点睛】
此题考查函数图像的识别，利用了平移、奇偶性，函数值的变化情况，属于基础题.
11.（5分） 12.（5分）12．A
【分析】
将问题转化为()1x
y a a =>的图象与y x =有两个公共点，即ln ln x
a x
=
有两解，再构造新函数()ln x
f x x
=，根据()f x 的单调性和取值分析ln a 的取值即可得到结果. 【详解】
因为函数()()1,log 1x
a y a a y x a =>=>的图象关于直线y x =对称，
所以两个图象的公共点在y x =上，所以()1x
y a a =>的图象与y x =有两个公共点，
即x x a =有两解，即ln ln x x a =有两解，即ln ln x
a x
=有两解， 令()ln x f x x =
，所以()2
1ln x
f x x -'=， 当()0,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，
()f x 大致图象如下图所示：
所以()1
0ln a f e e
<<=，所以11e a e <<，
故选：A. 【点睛】
结论点睛：函数图象的交点个数、方程根的数目、函数的零点个数之间的关系： 已知()()()h x f x g x =-，则有()h x 的零点个数⇔方程()()f x g x =根的数目⇔函数
()f x 与函数()g x 的图象的交点个数.
二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13．00,(0,1)∃∈x y ，002x y +
【分析】
直接利用全称命题的否定得解. 【详解】
因为命题:p x ∀，(0,1)y ∈，2x y +<是全称命题， 所以它的否定为00,(0,1)∃∈x y ，002x y +. 故答案为：00,(0,1)∃∈x y ，002x y +. 【点睛】
本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.
14.（5分）14．(,9]-∞ 15.（5分）15．（3）
【分析】
（1）先化简得到(2)()f x f x +=说明2T =，判断（1）正确；（2）先判断函数()f x 在
()1,0-上是减函数，再判断函数()f x 在()1,2上是减函数，在()2,3上是增函数，从而判
断（2）正确；（3）先根据单调性直接求最小值min 1()2
f x =，再判断（3）错误；（4）先
求函数在()1,0-上的解析式1+1()()2
x f x =，最后求出(3,4)上的解析式
31
()(4)()2
x f x f x -=-=，再判断（4）正确.
【详解】
解：（1）因为对任意的x ∈R 恒有(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=，所以2T =，所以（1）正确；
（2）因为当[0,1]x ∈时11
()()2
x f x -=，所以函数()f x 在()0,1上是增函数，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以函数()f x 在()1,0-上是减函数，又因为2T =，所以函数()f x 在()1,2上是减函数，在()2,3上是增函数，所以（2）正确；
（3）由（2）可知函数()f x 在()1,0-上是减函数，在()0,1上是增函数，所以
10min 11
()(0)()22
f x f -===，所以（3）错误；
（4）因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[0,1]x ∈时11
()()2
x f x -=，所以当()
1,0x ∈-时，1+1
()()2x f x =，因为(3,4)x ∈，所以140x -<-<，所以31()(4)()2
x f x f x -=-=，所以（4）正确. 故答案为：（3） 【点睛】
本题考查函数的单调性、奇偶性、周期性与最值，是中档题.
16.（5分）16．(],3-∞-
【分析】
先将不等式3ln 1x
e x a x x --≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立,转化为3ln 1ln x x e x a x ---任意
(1,)x ∈+∞恒成立，设()3ln 1ln x x
e x
f x x
---=，求出()f x 在()1,+∞内的最小值,即可求出a 的
取值范围. 【详解】
解：由题可知，不等式3ln 1x
e x a x x
--≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，
即33ln 3ln 31111ln ln ln ln x
x x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x -----------===， 又因为(1,)x ∈+∞，ln 0x >，
3ln 1
ln x x e x a
x ---∴对任意(1,)x ∈+∞恒成立， 设()3ln 1
ln x x e x f x x ---=，其中()1,x ∈+∞，
由不等式1x e x ≥+，可得：3ln 3ln 1x x e x x -≥-+，
则()3ln 13ln 11
3ln ln x x e x x x x f x x x ----+--=≥=-，
当3ln 0x x -=时等号成立， 又因为3ln 0x x -=在()1,+∞内有解，
()min 3f x ∴=-，
则()min 3a f x ≤=-，即：3a ≤-， 所以实数a 的取值范围：(],3-∞-. 故答案为：(],3-∞-. 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围，考查转化思想和计算能力.
三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）17．（1）答案见解析；（2）[1,4].
【分析】
（1）由q 是真命题，利用含参二次不等式分类讨论进行求解； （2）由p 是q 的必要不充分条件，得利用集合的思想分类讨论. 【详解】
（1）化简得到:(2)()0--≤q x x a ，讨论2,2,2a a a >=<三种情况 当2a >时，2x a ≤≤； 当2a =时，2x =； 当2a <时，2a x ≤≤.
（2）:|25|3-≤p x 即|25|3-≤x ，解得14x ≤≤，
p 是q 的必要不充分条件，
当2a >时，:2q x a ≤≤，故满足4a ≤，即24a <≤； 当2a =时，:2q x =，满足条件；
当2a <时，:2q a x ≤≤，故满足1a ≥，即21a >≥. 综上所述：[1,4]∈a .
18.（12分）18．（1）22
(,)33
-； （2）见解析.
【分析】
（1）根据对数函数的真数大于0即可（2）首先判断定义域，再计算()h x -与()h x 的关系. 【详解】
（1）由()()log (23),log (23)a a f x x g x x =+=-，所以令
()()()()log (23)log 23a a h x f x g x x x =+=++-
因此函数()h x 需满足：23022230
33x x x +>⎧⇒-<<⎨->⎩，所以函数定义域为: 22(,)33- （2）由（1）得函数定义域为22(,)33
-，因为()()()()log (23)log 23()a a h x f x g x x x h x -=-+-=-++=,所以函数为偶函数.
19.（12分）19．（1）(]5,3--上单调递减，[)3,1--上单调递增；（2）当3x =-时，最小值为2-，无最大值.
【分析】
（1）首先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断函数的单调性；（2） 首先确定定义域内内层函数的最值，再求函数()f x 的最值.
【详解】
（1）由题意可得：2065x x --->，即2650x x ++<，解得：51x -<<-；
即函数()f x 的定义域为(5,1)--；
令265t x x -=--，则其为开口向下的二次函数，且对称轴为3x =-，
当(5,3]x ∈--时，函数265t x x -=--单调递增，
[3,1)x ∈--时，函数265t x x -=--单调递减； 又12log y t
=为减函数； 所以，
()212
()log 65f x x x =---在(5,3]x ∈--上单调递减，在[3,1)x ∈--上单调递增； （2）由（1）得：()2
26534t x x x =---=-++，()5,1x ∈-- 当3x =-时，max 4t =，(]0,4∈t ，[)12
log 2,y t ∴=∈-+∞，
()
212
()log 65f x x x ∴=---无最大值，
当3x =-时，()212()log 65f x x x =---有最小值12(3)log (9185)2f -=-+-=-，
综上所述，当3x =-时，最小值为2-，无最大值.
【点睛】
本题考查对数型复合函数的单调性和最值，重点考查基本方法和公式，属于基础题型，本题的易错点是求复合函数的单调性时，忽略函数的定义域.
20.（12分）20．(1) x ＋y －2＝0；(2) 当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a 无极大
【详解】
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－a x
. (1)当a ＝2时，f(x)＝x －2ln x ，
f′(x)＝1－2x
(x>0)， 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y ＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.
(2)由f′(x)＝1－a x ＝x a x
-，x>0知： Ⅰ当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
Ⅰ当a>0时，由f′(x)＝0，解得x ＝a ，
又当xⅠ(0，a)时，f′(x)<0；
当xⅠ(a ，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f(a)＝a －aln a ，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x ＝a 处取得极小值a －aln a ，无极大值．
21.（12分）
22.（12分）22．（1）
4a π
-≤；（2）Ⅰ证明见解析；Ⅰ证明见解析.
【分析】
（1）先由题意，得到cos x e a x -≤在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，令()cos x e g x x -=，对其求导，用导数的方法求出最值，即可得出结果；
（2）由1a =得()cos x f x e x -=-，求导得到()sin x f x e x -'=-+，
Ⅰ分2x π
≤<π，02x π<<两种情况，根据导数的方法分别研究零点，即可得出结果；
Ⅰ由0x 为()f x 的极值点，得00sin x e x -=；推出00ln 0x x +>，令()ln m x x x =+，
0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据导数的方法判断其单调性，得出()m x 在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
上有且仅有一个零点，设为2x ，得到0212
x x >>
，进而可得出结论成立. 【详解】 （1）若()0f x ≥在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，即cos x e a x -≤在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
恒成立，
令()cos x
e g x x -=，则(
)22sin sin 4cos c c s os o x x x x e e x g x x x x
π---⎛⎫- ⎪⎝⎭+-'==. 当04x π
<≤时，()0g x '≤；当42x π
π
<<时，()0g x '>.
即()g x 在0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减；在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 故(
)44g x g π
π-⎛⎫≥= ⎪⎝⎭
，即(
)4min g x π-=
，所以4a π-≤. （2）当1a =时，()cos x f x e x -=-，()sin x f x e x -'=-+， Ⅰ（i ）当2x π
≤<π时，()cos 0x f x e x -=->，即()f x 在,2上没有零点.
（ii ）当02x π
<<时，令()()h x f x ='，则()cos 0x h x e x -'=+>，
所以()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()010f '=-<，2102f e ππ-⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭
， 所以()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上存在唯一实根0x ，故()f x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.
又因为()00f =，()()000f x f <=，202f e π
π-⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 所以()f x 在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝
⎭上有且只有一个零点1x . 综上，函数()f x 在()0,π上恰有一个零点；
Ⅰ因为0x 为()f x 的极值点，所以()0'0f x =，即00sin x e x -=.
因为sin y x x =-的导函数为cos 10y x '=-<在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
上恒成立，所以sin y x x =-在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
上单调递减，因此sin 0y x x =-<恒成立， 即sin x x <对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
成立，所以00sin x x <，00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以有00x e x -<，即有00ln 0x x +>成立.
令()ln m x x x =+，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()110m x x '=+>，所以()m x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
上单调递增，11ln 2022m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110m =>，()m x 在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
上有且仅有一个零点，设为2x .
而()000ln 0m x x x =+>，所以()()020m x m x >=，故0212x x >>
. 由Ⅰ012x x π<<，所以01122x x π<<<， 故101
2x x π--<
. 【点睛】 本题考查导数的应用、零点、不等式、极值等综合应用能力，考查转化与化归、推理论证与运算求解能力，难度较大.。