上海市民办东光明中学2019-2020学年高一数学文月考试题含解析

上海市民办东光明中学2019-2020学年高一数学文月考
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若x、y满足约束条件，则的最小值是（）
A. －3
B. 0
C.
D. 3
参考答案：
A
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】约束条件，表示的可行域如图，
解得，解得，解得，把
、、分别代入，可得的最小值是，故选A．
【点晴】1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数截距型：形如.求这类目标函数
的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值，间接求出的最值．注意：转化的等价性及几何意义．
2. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是
A．B．C．D．
参考答案：
C
3. 若实数a，b满足，其中，且，则
A．B．
C．D．
参考答案：
C
当时，，得到，所以．
当时，，得到，所以，选C
4. 已知函数f(2) =
A.3 B,2
C.1
D.0
参考答案：
C
略
5. 如图，在长方体中，，分别过、
的两个平行截面将长方体分成三部分，它们的体积从左至右依次记为,
若，则截面的面积为（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
A
略
6. 化简的结果是（）
A.+1
B. -1
C.—
D.
参考答案：
D
略
7. 与sin2016°最接近的数是（）
A．B．﹣C．D．﹣1
参考答案：
B
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．
【解答】解：sin2016°=sin（5?360°+216°）=sin216°=sin=﹣sin36°≈﹣sin30°=﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．
8. 已知O、A、B三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P线段AB上且
=t(0≤t≤1)则·的最大值为（）
A．3 B．6
C．9 D．12
参考答案：
答案：C
错因：学生不能借助数形结合直观得到当|OP|cosα最大时，·即为最大。

9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）
A．18+36B．54+18C．90 D．81
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，进而得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，
其底面面积为：3×6=18，
前后侧面的面积为：3×6×2=36，
左右侧面的面积为：3××2=18，
故棱柱的表面积为：18+36+9=54+18．
故选：B．
10. 在集合上定义两种运算和如下：那么。

参考答案：
；
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图是正方体的表面展开图，在这个正方体中有如下命题：①；
②与是异面直线；③与成角；④与成角。

其中正确命题为．（填正确命题的序号）
参考答案：
③ （多填或少填都不给分）
略
12. 不等式的解集为_____▲_____．
参考答案：
(－2,1]
不等式等价于，根据一元二次不等式的解集的特征，可以断定原不等式的解集为.
13. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）若要从身高在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为
参考答案：
3
略
14. 已知，则
参考答案：
15. 在△ABC中，若则△ABC的形状是______________。

参考答案：
直角三角形解析：
16. P为圆x2+y2=1的动点，则点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最大值为．
参考答案：
3
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣10=0的距离等于=2，用2加上半径1，即为所求．
【解答】解：圆x2+y2=1的圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣10=0的距离等于
=2，
故圆x2+y2=1上的动点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最大值为2+1=3，
故答案为：3．
17. 求函数取最大值时自变量的取值集合_______________________.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在长方体中，截下一个棱锥，求棱锥的体积与剩余部分的体积之比．
参考答案：
略
19. 设函数f（x）=log4（4x+1）+ax（a∈R）．
（1）若f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；
（2）若关于x的不等式f（x）+f（﹣x）≤2log4m对任意的x∈[0，2]恒成立，求正实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】函数恒成立问题．
【专题】函数思想；换元法；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（1）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（x）=f（﹣x）恒成立，运用对数的运算性质，化简进而可得a值；
（2）若不等式f（x）+f（﹣x）≤2log4m对任意x∈[0，2]恒成立，化简即有4x+1≤m2x 对任意的x∈[0，2]恒成立，令，则t∈[1，4]，可得t2﹣mt+1≤0在[1，4]恒成立，由二次函数的性质，进而可得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（﹣x）对任意x∈R恒成立，
∴，
∴，
∴；
（2）∵f（x）+f（﹣x）≤2log4m，
∴，
∴对任意的x∈[0，2]恒成立，
即4x+1≤m2x对任意的x∈[0，2]恒成立，
令，则t∈[1，4]，
∴t2﹣mt+1≤0在[1，4]恒成立，
∴，∴．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，恒成立问题，注意运用定义法和换元法，同时考查指数函数和对数函数的性质及运用，难度中档．
20. 已知正方体，是底对角线的交点.
求证：（１）面；
（2 ）面．
参考答案：
证明：（1）连结，设
连结，是正方体是平行四边形
且
2分
又分别是的中点，且
4分面，面面
6分
（2）面
7分
又
，
8分
9分同理可证
， 11分
又面
12分
略
21. 已知M（﹣2，0），N（2，0），求以MN为斜边的直角三角形顶点P的轨迹方程．
参考答案：
【考点】J3：轨迹方程．
【分析】设出P点的坐标，由勾股定理得到等式，化简后除去曲线与x轴的交点得答案．【解答】解：设P（x，y），
则|PM|2+|PN|2=|MN|2，即（x+2）2+y2+（x﹣2）2+y2=16，
整理得：x2+y2=4．
∵M，N，P三点构成三角形，∴x≠±2．
∴直角顶点P的轨迹方程是x2+y2=4（x≠±2）．
【点评】本题考查了轨迹方程，解答时排除注意三点共线的情况，属易错题．
22. （本小题满分12分）如图所示，已知是半径为1，圆心角为的扇形，
是扇形的内接矩形，两点在圆弧上，是的平分线，连接，记，问：角为何值时矩形面积最大，并求最大面积.
参考答案：
解：设交于，交于，显然矩形
关于对称，而，均为，
的中点，在中，
即…………4分
故：
…………8分
故当即时，取得最大，此时……12分
略。