高考数学理一轮总复习 必修部分开卷速查24 平面向量的概念及其线性运算(含解析)新人教A版

开卷速查(二十四) 平面向量的概念及其线性运算
A 级 基础巩固练
1．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )
A ．a
B ．B
C ．c D.0
解析：依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0，故选D.
答案：D
2．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB
→
(λ∈R )，则AD 的长为( )
A ．2 3 B.3 3 C ．4 3 D.5 3
解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以有14＋λ＝1，解得λ＝3
4
，如图，过点D 分别作AC ，
AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →
＝14AC →，AM →＝34
AB →，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.
答案：B
3．已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →
，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B.点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上 D.点P 在△ABC 外部
解析：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2AP →
，所以点P 在线段AC 上，选C.
答案：C
4．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋CO →
＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B.60° C ．90° D.120°
解析：由OA →＋OB →＋CO →＝0得OA →＋OB →＝OC →
，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.
答案：A
5．已知a ，b 是不共线的两个向量，AB →＝x a ＋b ，AC →
＝a ＋y b (x ，y ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则点P (x ，y )的轨迹是( )
A ．直线 B.双曲线 C ．圆
D.椭圆
解析：∵若A ，B ，C 三点共线，∴AB →＝λAC →
.
即x a ＋b ＝λ(a ＋y b )⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝λ，
1＝λy ，⇒xy ＝1，故选B.
答案：B
6．设O 在△ABC 的内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →
＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )
A ．3 B.53 C ．2
D.32
解析：设AC ，BC 的中点分别为M ，N ，则已知条件可化为(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝0，即OM →
＋2ON →＝0，所以OM →＝－2ON →
，说明M ，O ，N 共线，即O 为中位线MN 上的靠近N 的三等分点，S
△AOC
＝23S △ANC ＝23·12S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABC S △AOC
＝3. 答案：A
7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →
成立，则m ＝
__________.
解析：由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM →＝23AD →
，因
为AD 为中线，则AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →
，所以m ＝3.
答案：3
8．设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →
＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为__________．
解析：∵BD →＝BC →＋CD →
＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线，
∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨
⎪
⎧
2＝2λ，p ＝－λ，
∴p ＝－1.
答案：－1
9．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →
＋OD →
，则四边形ABCD 的形状为__________．
解析：∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →
. ∴BA →＝CD →
，BA 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：平行四边形
10．设两个非零向量a 与b 不共线，
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
解析：(1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →
＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →
. ∴AB →、BD →
共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线．
(2)解：∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .
∵a 、b 是不共线的两个非零向量，
∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2
－1＝0.∴k ＝±1.
B 级 能力提升练
11．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝
1
3⎝ ⎛⎭
⎪⎫12OA
→＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的( ) A ．AB 边中线的中点
B ．AB 边中线的三等分点(非重心)
C ．重心
D ．AB 边的中点
解析：设AB 的中点为M ，则12OA →＋12
OB →＝OM →
，
∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →
，∴P ，M ，C 三点共
线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点．
答案：B
12．已知：如图，|OA →|＝|OB →|＝1，OA →与OB →的夹角为120°，OC →与OA →的夹角为30°，若OC
→＝λOA →＋μOB →
(λ、μ∈R )，则λμ
等于( )
A.32
B.233
C.1
2
D.2
解析：过C 作OB 的平行线交OA 的延长线于D .由题意可知，∠COD ＝30°，∠CDO ＝60°， ∴∠OCD ＝90°，
∴OD ＝2CD ，又∵OD →＝λOA →，DC →＝μOB →，
∴λ|OA →|＝2μ|OB →
|，即λ＝2μ，故λμ
＝2.
答案：D
13．如图，△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →
＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →
＝2CH →
，求1m ＋1
n
的值．
解析：由GA →＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D ，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA
→
＋CB →
)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n
＝6.
14．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a
＋b )三向量的终点在同一条直线上？
解析：设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝1
3(a ＋b )，
∴AC →＝OC →－OA →
＝－23a ＋13b ，
AB →＝OB →－OA →
＝t b －a .
要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →
. 即－23a ＋1
3b ＝λ(t b －a )＝λt b －λa .
又∵a 与b 为不共线的非零向量， ∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －2
3＝－λ，1
3＝λt
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝2
3，t ＝1
2.
∴当t ＝1
2
时，三向量终点在同一直线上．。