光的衍射

x1 = f tgθ1 = 8.16cm
1 5
θ2 = arcsin = 0.411 rad
2 5
∴ 1、2 级暗纹在屏上位置： 、 级暗纹在屏上位置：
x2 = f tgθ2 = 17.44cm
中央明纹宽度： 中央明纹宽度： ∆x0 = 2x1 = 16.32cm 1级明纹宽度： 级明纹宽度： 级明纹宽度
I(θ ) I0
菲涅耳半波带法是一个近似的理论。 菲涅耳半波带法是一个近似的理论。 ① 无法计算各次极大的 相对光强； 相对光强； ② 无法解释次极大位置稍向 主极大方向靠拢的事实。 主极大方向靠拢的事实。
-4 -3.47
1.0
主极大
次极大
0.047 0.008 -3 -2.46 0.017 -2 -1 -1.43 0 1 1.43 2 2.46 3 3.47
多 缝 夫 琅 和 费 衍 射
衍 射 光 栅
圆 孔 夫 琅 和 费 衍 射
的 衍 射 光 学 仪 器 分 辨 本 领 x 射
菲 涅 耳 半 波 带 法
振 幅 矢 量 法
光 强 分 布
缝 间 干 涉 因 子
单 缝 衍 射 子 、 缺 级 因
光 栅 方 程
光 栅 光 谱
光 栅 的 分 辨 本 领
惠更斯— §5.1 惠更斯—菲涅耳原理
Q N∆A = R⋅ Nδ
a
A
a N
θ
θ
∆L
B
各波带在屏幕上P点引起的合振动为： 各波带在屏幕上 点引起的合振动为： 点引起的合振动为 Nδ sin Nδ 2 = N∆A sinu ∴ A = 2R⋅ sin = N∆A Nδ 2 u
2
ΔAN
R
Nδ
r A
δ δ δ
式中： 式中：
Nδ π a sinθ u= = 2 λ
Nδ = 2π a sinθ
a
B
θ
∆L
λ
屏上P点处光的合振动为 个同频率 屏上 点处光的合振动为N个同频率、同振 点处光的合振动为 个同频率、 的振动的合成。 幅、相位依次相差δ 的振动的合成。
所有波带发出的光在屏幕上各点产生的 光强分布可用振幅矢量法讨论。 光强分布可用振幅矢量法讨论。 根据矢量的多边形叠加法则， 根据矢量的多边形叠加法则，各波带在 屏幕上P点引起的光振动形成一圆弧 点引起的光振动形成一圆弧， 屏幕上 点引起的光振动形成一圆弧，该 圆弧的弧长为： 圆弧的弧长为：
a sinθ1 = a x1 =λ f
f m ∴ x1 = λ = 0.5m a
次极大位置： ⑵ 第1 次极大位置：
3 f x1' = ⋅ λ ⋅ = 0.75m m 2 a
极小位置在： ⑶ 第3 极小位置在：
x3 = 3λ ⋅ f = 1.5m m a
2、振幅矢量法（矢量叠加法）： 、振幅矢量法（矢量叠加法）：
∆x1 = x2 − x1 = 9.28cm
若取 θ1 = λ⁄a = 0.2、θ2 = 2λ⁄a = 0.4，则x1≈f θ1=8cm、x2≈ f θ2=16cm。 、 ， 、 。 。（误差较大 此时 ∆x0 = 2x1 = 16 cm、∆x1 = x2 - x1 = 8 cm。（误差较大） 、 。（误差较大）
次极大（其他明纹中心）： ⑶ 次极大（其他明纹中心）： 屏上任意点振幅： 屏上任意点振幅：
A= A 0 sinu u
A
∆A2 ∆AN
∆A1
sinu 2 光强： 光强： I = I0 ( u )
令：
d sinu 2 2 sinu ucos u− sinu ( ) = ⋅ =0 2 du u u u
取极大值。 得：当 tg u = u 时，光强 I 取极大值。
λ'
例题 5-2： 设 a = 5λ，f = 40 cm ，求中央明纹和 级明 求中央明纹和1级明 ，
纹在屏上的宽度。 纹在屏上的宽度。
解： 1、2级暗纹衍射角 1、θ2满足：a sinθ1=λ ，a sinθ2=2λ 、 级暗纹衍射角 级暗纹衍射角θ 满足： 得： θ1 = arcsin = 0.201 rad
dS dA∝ K(θ ) r
r n
θ dS
P
K(θ ) 称为倾斜因子 称为倾斜因子
r r
S
K θ ↑⇒K(θ ) ↓，当 ≥ π 2时， (θ ) = 0 θ
光屏
波阵面
P点总的光振动为波面S上所有点波源在该点引起的光振动的相 点总的光振动为波面S 点总的光振动为波面 干叠加。 干叠加。
菲涅耳衍射和夫琅和费衍射
A0
极小（暗纹中心）： ⑵ 极小（暗纹中心）：
…
u = ±kπ 即Nδ = ±2kπ ∴sinu = 0, I = 0
由a sinθ = ±kλ 得
∆AN
A=0
∆A1 ∆A2
λ 与半波带法结果一致。 与半波带法结果一致。
a sinθ
= ±k
讨 论
sinu A = N∆A u
Nδ π a sinθ u= = 2 λ
第五章
光的衍射现象： 光的衍射现象： 光在传播过程中遇到小障碍物 （< 0.1mm）时： ）
光的衍射
S
传播方向发生变化， ⑴ 传播方向发生变化，使几何阴影 内光强不为零； 内光强不为零； 光屏上出现明暗相间的条纹。 ⑵ 光屏上出现明暗相间的条纹。
S
第五章 光的衍射
惠 更 斯 菲 涅 耳 原 理
单 缝 夫 琅 和 费 衍 射
a
λ
2
L
A A1 A2 B
P
xp
θ θ
P0
f
a sinθ
∆L= a sinθ =
恰为入射光半波长的整数倍 若∆ L恰为入射光半波长的整数倍： 恰为入射光半波长的整数倍：
∆L = a sinθ = n⋅
λ
2
( n = 1 2、K) 、3 、
a
λ
2
A A 1 A
2
θ
B
均分为n个半 则以 λ⁄2 为间隔将狭缝 AB 均分为 个半 菲涅耳半波带。 波带 —— 菲涅耳半波带。 每一半波带在P点引起的光振动振幅近似相等 点引起的光振动振幅近似相等； ① 每一半波带在 点引起的光振动振幅近似相等；
解：① a =
λ = 1300nm sinθ1
λ 误差为： 4 若用θ1 = ⇒ a = = 1241nm, 误差为：.5% a θ1 λ
② a sinθ = ( 2k + 1)
λ'
2
= 1.5λ'
( k = 1)
得 λ' = a sinθ 1.5 = 433.3nm
aθ 误差为： 4 若用θ = 1.5 ⇒ λ' = = 454nm, 误差为：.8% a 1.5
y u
tgu -2π -π o
由图解法： 由图解法：
u = ±1.43π , ±2.46π , ±3.47π , K
π
2π
u
或：
a sinθ
λ
= ±1.43, ±2.46, ±3.47 , K
I(θ )
I0
1.0
则一级次极大光强： 取 u= 1.43π ,则一级次极大光强： =
sinu 2 ) = 0.0472I0 I1 = I0 ( u
解： 单缝衍射光强公式： 单缝衍射光强公式：
I = I0 ⋅ ( sinu 2 ) u
x f
其中 u =
∴ u=
πa sinθ λ
Q sinθ ≈
πa x ⋅ = 7.86 λ f
相对光强： 相对光强：
I sinu 2 ) = 1.62% =( I0 u ( I2 = 1.7% ) I0
在二级次极大附近
Nδ
ΔA1 ΔA2
讨 论
sinu A = N∆A u
Nδ π a sinθ u= = 2 λ
∆A1 ∆A2
…Hale Waihona Puke … … … … … … …主极大（中央明纹中心）： ⑴ 主极大（中央明纹中心）：
∆AN
θ = 0, u = 0,
∴ A = N∆A , 0
∴ sinu = 1 u
I0 = A2 = ( N∆A)2 0
a
λ
2
A A 1 A
2
θ
B
xp = f ⋅ tgθ
处为暗条纹中心。 处为暗条纹中心。 暗条纹中心
a sinθ
、 3、 ⑵ 当∆L = a sinθ = ±( 2k + 1 )λ 2 ( k = 1 2、K)时，
可得到奇数个半波带， 可得到奇数个半波带， 奇数个半波带
xp = f ⋅ tgθ 处为明条纹中心。 处为明条纹中心。
a sinθ
λ
4
） 例题 5-1：① 平行白光垂直照射单缝，得红光（λ=650nm） ： 平行白光垂直照射单缝，得红光（
的第一极小衍射角θ 的第一极小衍射角 1 =30°，求缝宽 a =？；② 若 波长为λ'的光的第一极大衍射角 的光的第一极大衍射角θ= 波长为 的光的第一极大衍射角 30°，求λ'=？
∆xk = xk+1 − xk = f ( tgθk+1 − tgθk )
当θ ~ 0时 时
∆xk ≈ f
λ
a
注
∆x0 ≈ 2 f
λ
a
∆xk ≈ f
λ
a
a↓则∆x↑，a↑则∆x↓。当a >> 时，全部明纹靠向中央明纹， 则 >>λ 全部明纹靠向中央明纹， ， 则 无法分辨。 无法分辨。 时的极限情况。 所以说： 所以说：几何光学是波动光学当 λ⁄a → 0 时的极限情况。
⑴波阵面上每一点都可看作发射球面子波的波源（惠更斯）； 波阵面上每一点都可看作发射球面子波的波源（惠更斯）； ⑵同一波阵面上各子波源发出的光波在空间相遇时，会发生干 同一波阵面上各子波源发出的光波在空间相遇时， 涉（菲涅耳）； 菲涅耳）； 发出的光在P点引起的振幅为 ⑶点波源dS发出的光在 点引起的振幅为： 点波源 发出的光在 点引起的振幅为：
a sinθ
相邻半波带上各相应点发出的光到P点时光程差为 点时光程差为λ⁄2 ② 相邻半波带上各相应点发出的光到 点时光程差为 。 所以：相邻两个半波带发出的光在 点因干涉而完全相消 点因干涉而完全相消！ 所以：相邻两个半波带发出的光在P点因干涉而完全相消！
讨 论 ⑴ 当 ∆L = a sinθ = ±kλ ( k = 1 2、 K) 时， 、 3、 可得到偶数个半波带， 可得到偶数个半波带， 偶数个半波带
λ= 的单缝。 例题 5-3： 500nm 的平行光垂直入射于 a =1mm 的单缝。缝 ：
后透镜焦距 f = 1m。求在透镜焦平面上中央明纹到 。 下列各点的距离： 极小； 次极大； 下列各点的距离：⑴第1极小；⑵第1次极大；⑶第3 极小 次极大 极小。 极小。
解： ⑴ 对第 极小，有： 对第1 极小，
条纹宽度： ⑶ 条纹宽度： 中央明纹宽度( 级暗纹中心的距离）： ① 中央明纹宽度(±1 级暗纹中心的距离）：
∆x0 = 2⋅ f ⋅ tgθ1
其中： θ1 = arcsin 其中： 当θ 1 ~ 0时 θ1 ≈ 时
λ
a
称为半角宽度 称为半角宽度
, ∆x0 ≈ 2 f
λ
a
λ
a
其他明纹宽度（相邻暗纹中心的距离）： ② 其他明纹宽度（相邻暗纹中心的距离）：
将单缝处波面分为大量（ 很大 等宽波带。 很大） 将单缝处波面分为大量（N很大）等宽波带。各波带到达屏 上同一点时振幅∆A 近似相等（均取∆A）。 上同一点时振幅 i近似相等（均取 ）。 相邻波带间相位差： 相邻波带间相位差：
2π a sinθ δ = ∆L = ⋅ λ λ N 2π
A
a N
θ
A、B间相位差： 、 间相位差 间相位差：
0.047
主极大
u=
次极大
π a sinθ λ
与实验结果相符合。 与实验结果相符合。
-4
0.008 -3 -3.47
0.017 -2 -2.46 -1 -1.43 0 1 1.43 2 2.46 3 3.47
a sinθ
λ
4
波长λ= 波长 546.1nm 的单色平行光垂直照射 a = 0.4mm 的 例题 5-4： ： 单缝。 处屏幕上形成衍射图样。 单缝。缝后 f = 120cm 处屏幕上形成衍射图样。求屏 处的相对光强。 上离中央明纹 4.1mm 处的相对光强。
P
L1
S S
L2
P
菲涅耳衍射
夫琅和费衍射
实际的夫琅和费 衍射装置
§5.2 单缝的夫琅和费衍射
1、菲涅耳半波带法（代数叠加法）： 、菲涅耳半波带法（代数叠加法）：
设单缝宽为a，透镜 的焦距为 屏幕置于透镜的焦平面上。 的焦距为f， 设单缝宽为 ，透镜L的焦距为 ，屏幕置于透镜的焦平面上。 P0点：衍射角为零的所有光 线到该点时同相位， 线到该点时同相位，P0为中 央明条纹。 央明条纹。 P点：以衍射角θ 出射的所有 点 以衍射角 光线到该点时相位不同。 光线到该点时相位不同。 A、B间出射的光光程差最大： 、 间出射的光光程差最大： 间出射的光光程差最大