2018版高中数学 专题08 破解四心问题特色专题训练 新人教A版必修4

专题08 破解四心问题
一、单选题
1．【内蒙古呼和浩特市2018届高三11月质量普查】已知,,A B C 是平面上不共线的三点， O 是ABC ∆的
重心，动点P 满足1112322OP OA OB OC ⎛⎫
=
++ ⎪⎝⎭
，则P 一定为ABC ∆的（ ） A . 重心 B . AB 边中线的三等分点（非重心）C . AB 边中线的中点 D . AB 边的中点
【答案】B 【解析】
2．【四川省德阳市2018届高三三校联合测试】在ABC ∆中， 5,6AB AC BC ===, I 是ABC ∆的内心， 若BI mBA nBC =+ (),m n R ∈，则
m
n
=（ ） A .
43 B . 65 C . 2 D . 12
【答案】B
【解析】如图所示，
设三角形的三条内角平分线BE 、AD 、CF 相交于点I ．∵A ，I ，D 三点共线，
∴存在实数λ使得()1BI BD BA λλ=+-，∵AB =BC =5，I 是△ABC 的内心，
∴AD 平分BC ，∴12BD BC =
．∴()1
12
BI BA BC λλ=-+， 同理由C ，I ，F 三点共线和角平分线的性质可得BI =()6
111
BA BC μμ+-，
∴6
111{ 112λμ
λμ-==-，解得
1116{ 1016
μλ==，∴651616BI AB AC =+
与AO =m AB +n AC 比较可得：m =616， 5
16
n =， 则m ：n =6：5．故选：B ．
点睛：本题考查了三点共线定理、共面向量基本定理、三角形内角平分线的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
3．【湖南师大附中2018届高三上学期月考】已知半径为4的圆O 是ABC ∆的外接圆，且满足
11
033
OA AB AC ++=，则CA 在CB 上的投影为（ ）
A . 23
B . 23-
C . 43 D
. -
【答案】A
4．【湖北省重点高中联考协作体2017年秋季高三上学期期中】G 为ADE ∆的重心，点P 为DEG ∆内部（含边界）上任一点， ,B C 分别为,AD AE 上的三等分点（靠近点A ），A P A B A C αβ=+（,R αβ∈），
则αβ的最大值是（ ）
A .
32 B . 34 C . 94 D . 98
【答案】C
【解析】G 为△ADE 的重心，点P 为△DEG 内部（含边界）上任一点，B ，C 均为AD ，AE 上的三等分点（靠近点A ），∴当点P 在点D 处，α=3，β=0，α+β=3；
当点P 在点E 处，α=0，β=3，α+β=3；当点P 在点G 处，α=1，β=1，α+β=2；
3
故得到αβ＋的最大值为3,
根据不等式得到9
34
αβαβ≥≥≤＋ 。

故选：C 。

5．【湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）2018届高三上学期期中联考】点G 为ABC ∆的重心（三边中线的交点）．设,GB a GC b ==，则
1
2
AB 等于 （ ） A .
3122a b - B . 1
2
a b + C . 2a b - D . 2a b + 【答案】B 【解析】如图，
点睛：三角形的内心、外心、重心、垂心的向量表示
①在ABC 中，若OA OB OC ==或2
2
2
OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心； ②在ABC 中，若0GA GB GC ++=，则点G 是ABC 的重心；
③在ABC 中，若HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅，则点H 是ABC 的垂心；
④在ABC 中，若(0)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫
⎪=++
> ⎪⎝⎭
，则直线AP 通过ABC 的内心. 6．已知 ABC ∆中4,2AC AB ==，若G 为ABC ∆的重心，则·
AG BC =（ ） A . 8 B . 6 C . 4 D . 2
【答案】C
【解析】
()
1,,3AG AC AB BC AC AB =
+=-∴ ·
AG BC =()()
1
·3
AC AB AC AB +- ()
221
3
AC AB =
-=4,故选C . 点睛:本题考查平面向量基本定理的应用以及数量积的应用. 平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
7．【重庆市第一中学2018届高三上学期期中】已知I 为ABC ∆的内心， 7
cos 8
A =，若A
I xA B yA C =+，
则x y +的最大值为（ ）
A .
34 B . 12 C . 56 D . 45
【答案】D
点睛：这道题目考查了三角形内心的性质，及判断内心的充要条件， aOA bOB cOC
OI a b c
++=++，通过这个
结论得到b c
x y a b c
++=
++，求这个式子的最值时，取倒，结合余弦定理得到二元式子，最终化为均值不等
式求解，计算量较大.
5
8．【2018届云南省名校月考】已知()0,2A ， ()2,0B -， ()4,0C ， AP AB AC λμ=+，则下列结论错误的是（ ）
A . 若P 是ABC 的重心，则
1λμ= B . 若P 是ABC
的内心，则2
λμ= C . 若P 是ABC 的垂心，则
2λμ= D . 若P 是ABC 的外心，则54
λμ= 【答案】B
【解析】如图，设AP r AD =，直线AP 与直线BC 交于D 点，因为AP AB AC λμ=+，
点睛：本题主要综合考查了平面向量基本定理，突出考查,λμ和
λ
μ
的几何性质，三角形内心、外心、重心、垂心的性质，即角平分线的交点为内心，各边中垂线的交点为外心，各边中线的交点为重心，各边高的交
点为垂心，兼顾考查了平面向量的坐标运算，综合性较强.
9．【广西省贺州市桂梧高中2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面
内一点P 满足
，若实数λ满足：
，则λ的值为( )
A . 2
B .
C . 3
D . 6
【答案】C
【点睛】有关平面向量的线性 运算问题是高考常见考试题，要记住三角形重心的一个重要结论，重心分中线
为1：2两部分，因此才有
.另外还要注意使用向量的中点
公式
.
10．【河南省洛阳市2018届高三上学期尖子生第一次联考】已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若
OC mOA nOB =+（m ， n R ∈），则（ ）
A . 2m n +≤-
B . 21m n -≤+<-
C . 1m n +<-
D . 10m n -<+<
【答案】C
【解析】∵O 是锐角△ABC 的外心，
∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1， 又OC mOA nOB =+， ∴|OC |=| mOA nOB +|，
可得2
OC =2
2m OA +2
2
n OB +2mn OA ⋅OB ，
而OA ⋅OB =|OA |⋅|OB |cos ∠A 0B <|OA |⋅|OB |=1. ∴1=2
m +2
n +2mn OA ⋅OB <22m n ++2mn ，
∴m n + <−1或m n + >1，如果m n + >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m n + <−1， 故选：C .
7
11．【福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习】已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫
⎪+
⋅= ⎪⎝⎭
，且
1
2
AB AC AB
AC
⋅
=
，则ABC ∆为( ） A . 三边均不相等的三角形 B . 直角三角形 C . 等腰非等边三角形 D . 等边三角形
【答案】D
【解析】依题意，由0AB AC BC AB AC ⎛⎫
⎪+
⋅= ⎪⎝⎭
得BC 垂直于BC 边上中学ABC ∆为等腰三角形，AB ，AB 为 腰，再由
1
2
AB AC AB
AC
⋅
=
得060A =.所以ABC ∆为等边三角形，选D . 12．【贵州省思南中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知点O 是边长为1的等边三角形ABC 的中心，则()()
OA OB OA OC +⋅+等于（ ）
A .
19 B . 19- C
. 3- D . 1
6
-
【答案】D
13．【甘肃省武威市第六中学2018届高三第一次阶段性过关考】如图,△ABC 中,如果O 为BC 边上中线
AD 上的点,且0OA OB OC ++=,那么（ ）
A . AO OD =
B . 2AO OD =
C . 3AO O
D = D . 2OD AO =
【答案】B
【解析】由O 为BC 边上中线AD 上的点,可知2OD OB OC OA AO =+=-=， 故选：B .
二、填空题
14．【河南省南阳市2017年秋期高中三年级期中】在ABC ∆中， 5,7AB AC ==.若O 为ABC ∆的外接圆的圆心，则AO BC ⋅=__________． 【答案】12 【解析】
15．【广西桂林市第十八中学2018届高三上学期第三次月考】已知O 为ABC ∆的外心，
()2,4,,AB AC AO xAB y AC x y R ===+∈且42x y +=，则OA =__________．
【答案】2
【解析】如图，分别取AB ，AC 中点D ，E ，连接OD ，OE ，AO ，O 为△ABC 的外心； ∴OD ⊥AB ，OE ⊥AC ；
9
∴解42
{ 1
2
x y x y +=+=得， 1
x 0y 2
==，； ∴1
2
AO AC =
； ∴2OA =． 故答案为：2．
16．【四川省成都市龙泉第二中学2018届高三10月月考】已知O 是锐角ABC 的外心， 30B =︒，若
c o s sin A
C
BA ＋
cos sin C
A
BC ＝λ BO ，则λ=_____ 【答案】1 【解析】如图，由
cos cos sin sin A C
BA BC BO C A
λ＋＝得： 2cos cos sin sin A C
BA BO BC BO BO C A
λ⋅⋅＋＝
2221cos 1cos 2sin 2sin A C
BA BC BO C A
λ⋅⋅＋＝ 2
cos +cos ?2sin sin BA BC A BA C BC BO C
A
λ⋅⋅
⋅⋅
＝
设ABC 外接圆半径为R ，则| BO R =
在ABC 中由正弦定理得：
2sin sin BA BC R C
A
=
=
()2
cos 2+cos 2?2A BA R C BC R R λ⋅⋅⋅⋅＝
即
cos +cos ?A BA C BC R
λ⋅⋅＝|
22221501RsinCcosA RcosCsinA R sin C A sin λλλ∴+=∴+=︒=∴=；（）；．
故答案为1λ=．
17．【天津市实验中学2018届高三上学期第二次阶段】如图， ABC ∆中， ,D E 分别为边,BC AC 的中点，
且AD 与BE 夹角为120
， 1
2
AD BE ==，，则AB AC ⋅=______
【答案】4
9
-
18．【湖北省黄石市第三中学（稳派教育）2018届高三阶段性检测】已知O 是ABC ∆外接圆的圆心，若3
A π
=且
cos cos 2sin sin B C
AB AC mAO C B
+=，则m =_______．
11
(ABC ∆的角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，外接圆半径为r ，有2sin sin sin a b c r A B C
===)
19．【吉林省实验中学2018届高三上学期第二次月考】已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足(-)·(+-2)=0，则ABC 的形状一定为___________.
【答案】等腰三角形
【解析】∵PB PA AB CB CA -==-,
()()2PB PA PC PB PC PA PC CB CA +-=-+-=+,
又()()20PB PA PB PA PC -⋅+-=,
∴()()220CB CA CB CA CB CA -⋅+=-=,
∴22CB CA =，故CB CA =。

∴ABC 一定为等腰三角形。

答案：等腰三角形
20．【辽宁省实验中学分校2016-2017学年高一6月月考】已知ABC ∆中， I 是内心， 13AB AC ==， 10BC =， AI AB BC λμ=+，则实数λμ+的值为______________
【答案】3936
点睛：本题考查向量知识，考查平面向量基本定理的运用，考查学生的计算能力，解题的关键是三角形内心的特征即在角平分线上的应用，属于基础题；以BC 所在直线为x 轴， BC 的垂直平分线为y 轴建立坐标系，求得向量的坐标，利用AI AB BC λμ=+列出方程组，即可求得λμ+的值.
21．【河北省衡水市馆陶县第一中学2018届高三上学期第一次月考】已知在ABC 中，AB =4，AC =6，BC 其外接圆的圆心为O ， 则•AO BC =_____
【答案】10
【解析】()****AO BC AO AC AB AO AC AO AB =-=-
根据外心的性质： ()()2211*,*22AO AB AB AO AC AC == 原式等于18810-= ．
点睛：根据外心的性质，将向量点击转化为长度；
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