解三角形(含答案)

解答题
1．
已知函数2
()22sin f x x x =-.
（Ⅰ）若点(1,P 在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63
x ππ
∈-
，求()f x 的值域. 解：
（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，
所以sin 2α=-
，1
cos 2
α=， ………………2分
所以22
()22sin cos 2sin f αααααα=-=- ………………4分
21(2(3222
=-
⨯-⨯-=-. ………………5分
（Ⅱ）2
()22sin f x x x =
-cos 21x x =+- ………………6分
2sin(2)16
x π
=+-，
………………8分 因为[,]63x ππ∈-，所以65626π
ππ≤+≤-x ， ………………10分
所以1sin(2)126x π
-≤+≤， ………………11分
所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分
2.函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A ωφωφπ
=+>><部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]x π∈上的最大值和最小值．
解：（Ⅰ）由图可得1A =，
22362
T πππ
=-=， 所以T =π． ……2分 所以2ω=． 当6x π=
时，()1f x =，可得 sin(2)16
ϕπ
⋅+=，
因为||2ϕπ<
，所以6
ϕπ
=． ……5分 所以()f x 的解析式为()sin(2)6
f x x π
=+． ………6分 （Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π
=-=+
-sin 2cos cos 2sin cos 266
x x x ππ
=+-
12cos 222x x =
- sin(2)6
x π
=-． ……10分 因为02x π≤≤，所以52666
x πππ
-≤-≤． 当262
x ππ-=，即3x π
=时，()g x 有最大值，最大值为1；
当266x ππ-=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为1
2
-．……13分
3．已知函数x x x f 2cos )6
2sin()(+-
=π
.
（1）若1)(=θf ，求θθcos sin ⋅的值； （2）求函数)(x f 的单调增区间. （3）求函数的对称轴方程和对称中心 解：（1）2
2cos 16
sin
2cos 6
cos
2sin )(x
x x x f ++
-=π
π
...3分（只写对一个公式给2分） 2
1
2sin 23+=
x ....5分 由1)(=θf ，可得3
3
2sin =
θ ......7分 所以θθθ2sin 2
1
cos sin =
⋅ ......8分 63= .......9分
（2换元法 ..11
即Z k k k x ∈++-
∈],4
,
4
[ππ
ππ
时，)(x f 单调递增.
所以，函数)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-
],4
,
4
[ππ
ππ
... 13分
4.已知函数2
()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的
距离等于
2π
． （Ⅰ）求()4
f π
的值；
（Ⅱ）当02
x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．
解：（Ⅰ）()sin 2cos 212sin(2)14
f x x x x π
=--=
--ωωω． ……4分
因为
22
T π
=，所以 T =π，1ω=． ……6分 所以 ()2sin(2)14
f x x π=--．所以 ()04f π
= ………7分
（Ⅱ）()2sin(2)14
f x x π
=--
当 0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
时， 32444x πππ-≤-≤， 所以 当242
x ππ-
=，即8x 3π
=时，max ()21f x =-， …10分 当244
x ππ
-=-，即0x =时，min ()2f x =-． ………13分
5.已知函数2()2sin sin(
)2sin 12
f x x x x π
=⋅+-+ ()x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若02(
)23x f =，0ππ(, )44x ∈-，
求0cos 2x 的值. 解: 2
()2sin cos 2sin 1=⋅-+f x x x x ……………………………………1分 sin 2cos2=+x x ……………………………………2分
π2sin(2)4
x =+. ………………3分 （Ⅰ）函数()f x 的最小正周期2π
π2
T =
=. ……………………………………5分 令πππ
2π22π242
k x k -++≤≤()k ∈Z ， ……………………………………6分
所以3ππ2π22π44
k x k -
+≤≤. 即3ππ
ππ88k x k -+≤≤. 所以，函数()f x 的单调递增区间为3ππ
[π, π]88
k k -+ ()k ∈Z . ……………8分
（Ⅱ）解法一：由已知得0002
()sin cos 23x f x x =+=，
…………………9分 两边平方，得021sin 29x += 同角关系式 所以 07
sin 29
x =-…………11分 因为0ππ(, )44x ∈-
，所以0π
2(, )22
x π∈-. 所以2
07
42
cos 21()9
x =--=
. ……………………………………13分 解法二：因为0ππ(, )44x ∈-
，所以0ππ
(0, )42
x +∈. …………………………9分 又因为000ππ2(
)2)2)22443x x f x =⋅+=+=，
得 0π1
sin()43x +
=.
……………………………………10分 所以20π12cos()1()433
x +
=-=. ……………………………………11分 所以，00000πππ
cos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444
x x x x x π
=+
=+=++ 12242
2339
=⋅⋅=.
6.已知π2sin()410A +
=，ππ(,)42
A ∈． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5
()cos 2sin sin 2
f x x A x =+
的值域． 解：（Ⅰ）因为
ππ
42A <<，且π2sin()410A +=，
所以
ππ3π
244
A <+<，π2cos()410A +=-
ππππcos()cos
sin()sin 4444
A A +++
31021025=-
+=． 所以3
cos 5
A =． ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得4
sin 5
A =．
212sin 2sin x x =-+213
2(sin )22
x =--+，x ∈R ．
因为sin [1,1]x ∈-，所以，当1sin 2
x =
时，()f x 取最大值32；
当sin 1x =-时，()f x 取最小值3-．
所以函数()f x 的值域为3
[3,]2
-． 7.已知△ABC 中，2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+. （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）设向量(cos , cos 2)A A =m ，12
(, 1)5
=-n ，求当⋅m n 取最 小值时，)4
tan(π
-
A 值.
解：
所以2sin cos sin()sin()sin A B B C A A =+=π-=. ……… 3分 因为0A p <<，所以sin 0A ¹.所以1
cos 2
B =. ……… 5分
3
B π
=. …………7分
（Ⅱ）因为12
cos cos 25A A ⋅=-
+m n ， ………………… 8分 所以2
212343cos 2cos 12(cos )5525A A A ⋅=-+-=--m n . …10分
所以当3
cos 5
A =时，⋅m n 取得最小值.
……12分 所以tan 11
tan()4
tan 17
A A A π
--
=
=+. …………… 13分
8.已知函数2
3
cos sin sin 3)(2-
+=
x x x x f ()R x ∈． （Ⅰ）求)4
(π
f 的值；
（Ⅱ）若)2
,
0(π
∈x ，求)(x f 的最大值；
（Ⅲ）在ABC ∆中，若B A <，21)()(=
=B f A f ，求AB BC 的值．
解：（Ⅰ）234
cos
4
sin
4
sin 3)4
(2
-
+=
π
π
π
π
f 2
1
=． 4分 （Ⅱ）2
)2cos 1(3)(x x f -=
+23
2sin 21-x x x 2cos 232sin 21-=
)3
2sin(π
-=x ． …6分 2
0π
<<x Θ， 3
23
23
π
π
π
<
-
<-
∴x ． ∴当23
2
x π
π
-
=
时，即12
5π
=
x 时，)(x f 的最大值为1．…8分 （Ⅲ）Θ)3
2sin()(π-
=x x f ，
若x 是三角形的内角，则π<<x 0 令2
1
)(=
x f ，得
解得4
π=
x 或127π=x ． ……10分
由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且2
1
)()(==B f A f ， ∴4π=
A ，12
7π=B ， ∴6
π
=--π=B A C ． …11分
又由正弦定理，得
22
122
6sin 4sin
sin sin ==ππ==C A AB BC ． ……13分 9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b B
a A
-=
． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值． 解：（Ⅰ）因为
2cos cos c b B
a A
-=
， 所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅
由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅． 整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅． 所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=． 在△ABC
所以1cos 2A =
，3
A π
∠=．
（Ⅱ）由余弦定理2221
cos 22
b c a A bc +-=
=，a = 所以2
2
20220b c bc bc +-=≥- （均值定理在三角中的应用）
所以20bc ≤，当且仅当b c =时取“=” ． （ 取等条件别忘）
所以三角形的面积1
sin 2
S bc A =
≤ 所以三角形面积的最大值为 ……………………13分 10. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ．
（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2
cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23
时，判断△ABC
的形状．
解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+
c 2-a 2=bc
可得cos A =
1
2
．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分 ∵
， （或写成A 是三角形内角） ……………………4分
∴3
A π
=
． ……………………5分 （Ⅱ）2
cos 2cos 2sin 3)(2x
x x x f +
=
11cos 22x x =++ …7分 1
sin()62
x π=++， ……9分
∵3A π=
∴2(0,)3B π∈
（没讨论，扣1分）…10分 ∴当62B ππ+=，即3
B π=时，()f B 有最大值是23
． …11分
又∵3
A π=， ∴3C π
= ∴△ABC 为等边三角形． ……13分
11. 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1
tan 3
C =，
且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积.
解：（I ）因为1tan 2B =
，1tan 3
C =,tan tan tan()1tan tan B C
B C B C ++=-, …………………1分
代入得到，11
23tan()111123
B C +
+==-⨯ . …………………3分
因为180A B C =--o , …………………4分
………5分
（II ）因为0180A <<o o ，由（I ）结论可得：135A =o . …………………7分
因为11
tan tan 023
B C =
>=>，所以090C B <<<o o . …………8分
所以sin B =
sin C =. …………9分
由
sin sin a c
A C
=得a =， …………………11分 所以ABC ∆的面积为：
11
sin 22
ac B =. ………………13分 12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且274sin cos222
A B C +-=．
（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．
解：（Ⅰ）∵ A 、B 、C 为三角形的内角， ∴ π=++C B A ．
∵
∴ …………2分 ∴ 2
7)1cos 2(2cos 142=--+⋅
C C ．即 021
cos 2cos 22=+-C C ． ……4分
∴ 2
1cos =C ． 又∵ π<<C 0 ， ∴ 3π
=C ． …7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 32π
=
+B A ．∴ A A A sin 3
2cos cos 32sin
sin ⋅-⋅+=π
π)6sin(3cos 23sin 23π+=+
=A A A ．…10分 ∵ 320π<<A ，∴ 6566π
ππ<+<A ． ∴ 当2
6
π
π
=
+
A ，即 3
π
=
A 时，
B A sin sin +取得最大值为3．…………13分
13.在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知(1) 求sin(B+C)的值；
(2) 若a=2, 求b,c 的值.
【知识点】诱导公式；三角形的面积公式；解三角形.
【答案解析】（2
解析： A C B -=+π又
,
分83ΛΛΛ=∴bc
A bc c b a cos 2222-+=又
分10622ΛΛΛ=+∴c b
【思路点拨】(1)由诱导公式及平方关系得sin(B+C)的值；（2）由三角形面积公式和余弦定理得关于b 、c 的方程组求解.
14.在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c 。

已知()cos23cos 1A B C -+=. （I ）求角A 的大小；
（II ）若ABC ∆的面积，5b =，求sin sin B C 的值. 【知识点】三角形面积、正弦定理
【答案解析】（I ）3π
；（II ）57
解析：（1）cos 23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ⇒+-=
（2（
15.在△ABC 中，角A ，B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知sin 2C =（1）求cosC 的值：
（2）若△ABC 的面积为4，且22
213sin sin sin 16
A B C +=，求△ABC 的周长． 【知识点】解三角形
【答案】【解析】(1)1
4
-；(2)9 解析：(1)251cos 12sin
12284
C C =-=-⨯=-；
(2)因为sinC=
4,由22
213sin sin sin 16A B C +=得2221316
a b c +=①，由△ABC 的面积为
，得1sin 62ab C ab =
==②，由余弦定理得
2222212cos 2
c a b ab C a b ab =+-=++③， 由①②③得549a b c ++=+=. 【思路点拨】(1)直接利用倍角公式求值即可；(2)结合三角形面积公式、正弦定理、余弦定理得到三边的关系，解方程组求周长即可.
16.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且
B b a
C A c a sin )()sin )(sin (-=+-．
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若5=a ，7=c ，求ABC ∆的面积．
【知识点】解三角形
【答案解析】C=60°（Ⅱ）10 （1）由已知和正弦定理得：（a+c ）（a-c ）=b （a-b ）
故a 2-c 2=ab-b 2，故a 2+b 2-c 2=ab ，故cos C ＝2222a b c ab +-＝ 故C=60°
17.已知三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边为a,b,c,2acosA=bcosC+ccosB.
（Ⅰ）求A;
（Ⅱ）若1a b ==，求c.
【知识点】正弦定理，余弦定理的应用。

【答案解析】（Ⅰ）060A =（Ⅱ）2
解析：（Ⅰ） 2a cos A=b cos C +c cos B si n2=si n(+)A B C B C A +=2
0 A B C 180++=因为
得060A = ----------------6分 （Ⅱ）222022cos 60312a b c bc c c c =+-⇒=+-⇒= ----------------12分
【思路点拨】（Ⅰ）通过正弦定理化简已知条件，利用两角和的正弦函数与二倍角公式，结合谁教你的内角和即可求A ；。