2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版课件:7.4.3 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题
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设直线 l1 的方程为 y=kx+1,联立方程组
������ 2
+
������2
=
得 1,
4
(4k2+1)x2+8kx=0,解得 x1=-4������82���+��� 1,x2=0,
所以 xM=-4������82������+1,yM=41���-���42���+���21. 由 l1,l2 垂直,可得直线 l2 的方程为 y=-���1���x+1.
-12-
考向一 考向二 考向三
对点训练 2(2019 陕西西安高三第三次质量检测)已知椭圆
E:������������22
+
������������22=1(a>b>0)经过点
A(0,1),右焦点到直线
x=������2的距离为
������
3.
3
(1)求椭圆 E 的标准方程;
(2)过点 A 作两条互相垂直的直线 l1,l2 分别交椭圆于 M,N 两点.
又
y1=kx1+t,从而|OM|=|xM|=
������1 ������ ������ 1 +������-1
.
同理,|ON|=
������2 ������ ������ 2 +������ -1
.
������ = ������������ + ������,
由 ������2 + ������2 = 1得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0.
5������
NP
������������22+-44+35
8������ ������ 2 +4
8������2 8
= 5 -5
8������
=
������2-1,所以 kMP=kNP,
5������
即 M,N,P 三点共线.故直线 MN 恒过定点 P 0,-35 .
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考向一 考向二 考向三
整理得 2tx1-2y1+1=0.
设 B(x2,y2),同理可得 2tx2-2y2+1=0.
故直线 AB 的方程为 2tx-2y+1=0.
所以直线 AB 过定点
0,
1 2
.
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考向一 考向二 考向三
(2)解 由(1)得直线 AB 的方程为 y=tx+1.
2
由
������ ������
= =
������������
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考向一 考向二 考向三
圆锥曲线中的存在性问题
例4(2019湖南长沙第一中学高三下学期高考模拟)已知圆 x2+y2=9,A(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点,且∠PAQ=90°,M是
圆锥曲线中的定值问题 例3(2019全国卷1,文21)已知点A,B关于坐标原点O对 称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切. (1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径; (2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.
解 (1)因为☉M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知 A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上, 故可设M(a,a).
0,
5 2
为圆心的圆与直线 AB 相切,且切点为线段 AB 的中
点,求该圆的方程.
-2-
考向一 考向二 考向三
(1)证明
设D
������,-
1 2
,A(x1,y1),则������12=2y1.
由于 y'=x,所以切线 DA 的斜率为 x1,故������������11+-������12=x1.
又������22+mx2-2=0,可得
������
=
2
-
1 2
.
所以过 A,B,C 三点的圆的圆心坐标为 - ������ ,- 1 ,半径 r= ������2+9.
22
2
故圆在 y 轴上截得的弦长为 2
������2-
������ 2
2
=3,即过 A,B,C 三点的圆在 y
轴上截得的弦长为定值.
所以 t+(t2-2)t=0.
解得 t=0 或 t=±1.
当 t=0 时,|������������|=2,所求圆的方程为 x2+
������-
5 2
2
=4;
当 t=±1 时,|������������|=
2,所求圆的方程为 x2+
������- 5
2
2
=2.
-4-
考向一 考向二 考向三
解题心得证明直线或曲线过定点,如果定点坐标没有给出,一般
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考向一 考向二 考向三
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 y1+y2=-������22���+���������4,y1y2=������������22+-44.
①
又以线段 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 C,∴������������ ·������������=0.
由������������=(x1-2,y1),������������=(x2-2,y2),得(x1-2)(x2-2)+y1y2=0.
对点训练1(2019安徽泗县第一中学高三最后一模)已知椭圆
M:������������22
+
������������22=1(a>b>0)的离心率为
3,且椭圆上一点
2
P
的坐标为
2,
2 2
.
(1)求椭圆M的方程;
(2)设直线l与椭圆M交于A,B两点,且以线段AB为直径的圆过椭圆
的右顶点C,求证:直线l恒过x轴上一定点.
(*)式
用-���1���替换(*)式中的 k,可得 xN=������82+������ 4,yN=������������22+-44.
则 k = MP
41���-���42���+��� 21 +35
8������
-4 ������ 2 +1
= 8������2
-5
+85
-8������
=
,k = ������2-1
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考向一 考向二 考向三
对点训练3在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两
点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;
(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
解 (1)不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:
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考向一 考向二 考向三
解 (1)由已知 e=������ = 3,又 a2=b2+c2,则 a=2b.
������ 2
椭圆方程为 ������2
4������ 2
+
������ ������
22=1,将
2, 2 代入方程,解得 b=1,从而 a=2,
2
故椭圆的方程为������ 2 +y2=1.
=2
1+������ 1-������
.
又|OM|·|ON|=2,
所以
2
1+������ 1-������
=2.
解得 t=0,所以直线 l 经过定点(0,0).
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考向一 考向二 考向三
解题心得证明直线或曲线过某一确定的定点(定点坐标已知),可 把要证明的结论当条件,逆推上去,若得到使已知条件成立的结论, 即证明了直线或曲线过定点.
4
(2)当直线 l 的斜率不存在时,易证直线 l 恒过点 6,0 ,当直线 l 的斜
5
率存在时,不妨设直线 AB 的方程 x=ky+m,
联立
������2 + ������2
4
= 1,消去 x 得(k2+4)y2+2kmy+m2-4=0.
������ = ������������ + ������,
������ 2
+
1 2
, 可得
x2-2tx-1=0.
2
于是 x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1.
设 M 为线段 AB 的中点,则 M t,t2+12 .
由于������������ ⊥ ������������,而������������=(t,t2-2),������������与向量(1,t)平行,
例2(2019北京卷,文19)已知椭圆C:
������2 ������2
+
������������22=1
的右焦点为(1,1)求椭圆C的方程;
(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,
直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|=2,求证:
2
则 x1+x2=-1+4���2���������������2,x1x2=12+������22-������22.
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考向一 考向二 考向三
所以|OM|·|ON|=
������1 ������ ������ 1 +������ -1
· ������2
������ ������ 2 +������-1
直线l经过定点.
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考向一 考向二 考向三
(1)解 由题意得,b2=1,c=1.
所以 a2=b2+c2=2.
所以椭圆 C 的方程为������2+y2=1.
2
(2)证明
设
P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线
AP
的方程为
y=������1 -1x+1.
������1
令 y=0,得点 M 的横坐标 xM=-���������1���1-1.
,可得 BC 的中垂线方程为 y-12=x2
������-
������2 2
.
由(1)可得 x1+x2=-m,
所以 AB 的中垂线方程为 x=-���2���.
联立
������
=
-
������ 2
,
������-
1 2
=
������2
������-
������2 2
,
������ = - ������ ,
设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.
又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为-1
所以不能出现AC⊥BC的情况.
������1
·���-���12=-12,
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考向一 考向二 考向三
(2)BC 的中点坐标为
������2 2
,
1 2
将 x1=ky1+m,x2=ky2+m 代入上式,得
(k2+1)y1y2+k(m-2)(y1+y2)+(m-2)2=0,
将①代入上式,求得 m=65或 m=2(舍去后者),
所以直线 AB 的方程为 x=ky+65, 则直线 l 恒过点 6,0 .
5
综上所述,直线 l 恒过定点 65,0 .
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考向一 考向二 考向三
=
������ 1 ������ 2 ������ 2������1������2+������(������-1)(������1+������2)+(������-1)2
2 ������ 2 -2
= 1+2������2
������ 2·12+������22���-���22+������ (������-1)·-1+42������������������2 +(������-1)2
可根据已知条件表示出直线或曲线的方程,然后根据方程的形式确
定其过哪个定点;如果得到的方程形如f(x,y)+λg(x,y)=0,且方程对参
数的任意值都成立,则令
������(������,������) = 0, ������(������,������) = 0,
解方程组得定点.
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考向一 考向二 考向三
求证:直线 MN 恒过定点 P 0,-35 .
(1)解 由题意知,������2-c= 3,b=1,a2=b2+c2,
������
3
解得 a=2,b=1,c= 3.
所以椭圆的标准方程为������ 2 +y2=1.
4
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考向一 考向二 考向三
(2)证明 显然直线 l1,l2 的斜率存在.
������ = ������������ + 1,
因为☉M与直线x+2=0相切,所以☉M的半径为r=|a+2|. 由已知得|AO|=2,又������������ ⊥ ������������ ,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或 a=4. 故☉M的半径r=2或r=6.
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考向一 考向二 考向三
(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值. 理由如下: 设M(x,y),由已知得☉M的半径为r=|x+2|,|AO|=2. 由于������������ ⊥ ������������故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x. 因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线, 所以|MP|=x+1. 因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P. 解题心得证某一量为定值,一般方法是用一参数表示出这个量,通 过化简消去参数,得出定值,从而得证.
7.4.3 圆锥曲线中的定点、 定值与存在性问题
考向一 考向二 考向三
圆锥曲线中的定点问题
例 1(2019 全国卷 3,文 21)已知曲线 C:y=���2���2,点 D 为直线 y=-12上的 动点,过点 D 作 C 的两条切线,切点分别为 A,B.
(1)证明:直线 AB 过定点;
(2)若以 E