挑战中考数学压轴试题复习(第十版)因动点产生的相切问题

§1．6 因动点产生的相切问题
课前导学
一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形．
解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R、r、d，第二步分类列方程，第三步解方程并验根．
第一步在罗列三要素R、r、d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况．
二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形．
解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根．
第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d＝R列方程．
如图1，直线
4
4
3
y x
=+与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆O的半径为1，点C在
y轴的正半轴上，如果圆C既与直线AB相切，又与圆O相切，求点C的坐标．“既……，又……”的双重条件问题，一般先确定一个，再计算另一个．
假设圆C与直线AB相切于点D，设CD＝3m，BD＝4m，BC＝5m，那么点C的坐标为(0,4－5m)．
罗列三要素：对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；圆心距OC＝4－5m．
分类列方程：两圆外切时，4－5m＝3m＋1；两圆内切时，4－5m＝3m－1．
把这个问题再拓展一下，如果点C在y轴上，那么还要考虑点C在y轴负半轴．
相同的是，对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；不同的是，圆心距OC＝5m－4．
图1
例 42 20XX年湖南省衡阳市中考第27题
如图1，直线AB与x轴交于点A(－4, 0)，与y轴交于点B(0, 3)．点P从点A出发，以
每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动．同时将直线
3
4
y x
=以每秒0.6个单位长度
的速度向上平移，交OA于点C，交OB于点D，设运动时间为t（0＜t＜5）秒．（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；
（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14衡阳27”，拖动点P运动，可以体验到，当平行四边形ACDP 是菱形时，圆D与直线AB恰好相切．
思路点拨
1．用含t的式子把线段OD、OC、CD、AP、AC的长都可以表示出来．
2．两条直线的斜率相等，这两条直线平行．
3．判断圆与直线的位置关系，就是比较圆心到直线的距离与半径的大小．
图文解析
（1）如图2，由A(－4, 0)、B(0, 3)，可得直线AB的解析式为
3
3
4
y x
=+．
所以直线AB//CD．
在Rt△OCD中，OD∶OC＝3∶4，OD＝0.6t，所以OC＝0.8t，CD＝t．
所以AP ＝CD ＝t ．所以四边形ACDP 总是平行四边形． （2）如图3，如果四边形ACDP 为菱形，那么AC ＝AP ． 所以4－0.8t ＝t ．解得t ＝209
． 此时OD ＝0.6t ＝
43．所以BD ＝433-＝53
． 作DE ⊥AB 于E ．
在Rt △BDE 中，sin B ＝
45，BD ＝53，所以DE ＝BD ·sin B ＝43
． 因此OD ＝DE ，即圆心D 到直线AB 的距离等于圆D 的半径． 所以此时圆D 与直线AB 相切于点E （如图4）．
图2 图3
考点伸展
在本题情境下，点P 运动到什么位置时，平行四边形ACDP 的面积最大？ S 平行四边形ACDP ＝AC ·DO ＝4
3(4)55t t -⨯＝21212+255t t -＝2125
()3252
t --+． 当5
2
t =
时，平行四边形ACDP 的面积最大，最大值为3． 此时点P 是AB 的中点（如图5）．
图4 图5
例 43 20XX 年湖南省株洲市中考第23题
如图1，PQ 为圆O 的直径，点B 在线段PQ 的延长线上，OQ ＝QB ＝1，动点A 在圆O 的上半圆上运动（包含P 、Q 两点），以线段AB 为边向上作等边三角形ABC ．
（1）当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，求△ABC 的面积（如图1）；
（2）设∠AOB ＝α，当线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）时，求α的范围（如图2，直接写出答案）；
（3）当线段AB 与圆O 有两个公共点A 、M 时，如果AO ⊥PM 于点N ，求CM 的长（如图3）．
图1 图2 图3
动感体验
请打开几何画板文件名“14株洲23”，拖动点A 在圆上运动，可以体验到，当点A 在直线AB 与圆的切点的右侧（包括切点）时，线段AB 与圆有一个交点．还可以体验到，当AO ⊥PM 时，NO 、MQ 是中位线，此时等腰三角形AOM 的高MN 是确定的．
思路点拨
1．过点B 画圆O 的切线，可以帮助理解第（1）、（2）题的题意．
2．第（3）题发现AO //MQ 很重要，进一步发现NO 、MQ 是中位线就可以计算了．
图文解析
（1）如图4，连结OA ．
当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，OA ⊥AB ，A 为切点．
此时在Rt △AOB 中，OA ＝1，OB ＝2，所以AB ABO ＝30°．
此时等边三角形ABC 3
602
︒=，所以S △ABC
（2）0°≤α≤60°．
（3）如图5，连结MQ ，那么∠PMQ ＝90°． 当AO ⊥PM 时，AO //MQ ．
由于Q 是OB 的中点，所以1
2MQ AO =
，M 是AB 的中点．所以CM ⊥AB ． 由于O 是PQ 的中点，所以12NO MQ =．所以111
244
NO MQ AO ===．
如图6，连结MO ．在Rt △OMN 中，14NO =，MO ＝1，所以MN 2＝15
16
．
在Rt △AMN 中，AM 2＝AN 2＋MN 2＝2315243
()416162+
==．所以AM
于是在Rt △CAM 中，CM ．
图4 图5 图6
考点伸展
第（2）题的题意可以这样理解：如图7，过点B 画圆O 的切线，切点为G ． 如图8，弧GQ 上的每一个点（包括点G 、Q ）都是符合题意的点A ，即线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）．
如图9，弧GP 上的每一个点A （不包括点Q ）与点B 连成的线段AB ，与圆O 都有两个交点A 、M ．
图7 图8 图9。