人教版九年级数学上华章教育小专题(三)(含答案)

小专题 ( 三)求二次函数分析式
种类 1已知二次函数分析式，确立各项的系数
假如二次函数分析式中只有 1 个字母，只要要找到函数图象上 1 个点的坐标代入即可；假如二次函数分析式中有 2 个字母，则需要找到函数图象上 2 个点的坐标；假如二次函数解析式中有 3 个字母，往常需要找到函数图象上 3 个点的坐标．
1．(泉州中考)已知抛物线y＝ a(x－ 3)2＋ 2 经过点 (1，－ 2)．
(1)求 a 的值；
(2)若点 A(m ， y1)， B(n ， y2)(m<n<3) 都在该抛物线上，试比较y1与 y2的大小．
种类 2利用“三点式”求二次函数分析式
假如已知函数图象上三点的坐标，往常设二次函数分析式为y＝ ax2＋ bx＋ c.
2．以下图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2 cm，点 A ，C 分别在 y
轴的负半轴和 x 轴的正半轴上，抛物线经过点A， B 和 D(4，－2)．求抛物线的表达式．
3
3．(广东模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A， B， C 的坐标分别为(0，2) ，(3， 2)， (2，
3)．
(1)请在图中画出△ ABC向下平移3个单位的像△ A′ B′；C′
(2)若一个二次函数的图象经过(1) 中△ A′ B′的C三′个极点，求此二次函数的关系式．
种类 3利用“极点式”求二次函数分析式
假如已知二次函数极点和图象上另一点，则设二次函数分析式为y＝ a(x－ h)2＋ k.假如已知对称轴、最大值(最小值 )或许二次函数的增减性也考虑利用“极点式”．
4．(普陀区一模)如图，已知二次函数的图象与x 轴交于点A(1 ， 0)和点 B，与 y 轴交于点C(0 ， 6)，对称轴为直线x＝ 2，求二次函数分析式并写出图象最低点坐标．
5．(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y＝ax2＋ bx＋ c 的分析式．
① y 随 x 的变化的部分数值规律以下表：
x－ 10123
y03430
②有序数对 (－ 1， 0) 、 (1， 4)、 (3， 0)知足 y＝ ax2＋ bx ＋c；
③函数 y＝ ax2＋ bx＋ c 的图象的一部分(如图 )．
(2)直接写出二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c 的三个性质．
种类 4利用“交点式”求二次函数分析式
假如已知二次函数图象与x 轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0) ，那么设二次函数分析式为y＝ a(x－ x1)(x－ x2)．
6．已知一个二次函数的图象经过点A( － 1， 0)、B(3 ， 0)、 C(0，－ 3)三点；
(1)求此函数分析式；
(2)关于实数m，点 M(m ，－ 5)能否在这个二次函数的图象上？说明原因．
7．已知二次函数对称轴为x＝ 2，且在x 轴上截得的线段长为6，与 y 轴交点为 (0，－ 2)，求此二次函数的分析式．
种类 5利用“平移规律”求二次函数分析式
已知挪动后的抛物线的分析式，求挪动前抛物线的分析式．可先求挪动后抛物线的极点
坐标，再反向挪动复原原抛物线的极点坐标，利用 a 不变求出原抛物的分析式．
8．以下图，已知抛物线C0的分析式为y＝ x2－ 2x.
提示：抛物线y＝ ax2＋ bx＋c(a ≠0)的极点坐标
4ac－ b2b
b
，
(－4a)，对称轴 x＝－2a.
2a
(1)求抛物线C0的极点坐标；
(2)将抛物线C0每次向右平移 2 个单位，平移n 次，挨次获得抛物线C1， C2， C3，，
C n(n 为正整数 ) ．
①求抛物线C1与 x 轴的交点 A 1， A 2的坐标；
②试确立抛物线C n的分析式． (直接写出答案，不需要解题过程)
参照答案
1.(1)∵抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)，∴a(1－3)2＋2＝－
2.解得a＝－1.
(2) 由 (1) 得 a＝－ 1<0 ，抛物线的张口向下，在对称轴x ＝ 3 的左边， y 随 x 的增大而增大．∵ m<n<3，∴ y1<y 2.
2.设抛物线的表达式为y＝ ax2＋ bx＋ c.由题意得 A(0 ，－ 2)， B(2 ，－ 2)，由于抛物线y＝ ax2
4a＋ 2b＋ c＝－ 2，
1，a＝6
＋ bx ＋ c 过 A ，B ， D 三点，将三点坐标代入，得16a＋ 4b＋ c＝－2，解得
1所以3
，
c＝－ 2，b＝－3 c＝－ 2.
抛物线的表达式为 y＝1x2－1
x－ 2.
63
3.(1)图略．
(2) 由题意得A′， B ′， C′的坐标分别是(0，－ 1) ，(3，－ 1)， (2，0) ，设过点 A′、 B′、C′的
二次函数的关系式为y＝ ax2＋ bx＋ c，则有
1 23
关系式为y＝－2x ＋2x－ 1.c＝－ 1，a＝－
1，
2
9a＋ 3b＋c＝－ 1，解得3∴二次函数的4a＋ 2b＋ c＝ 0，b＝
2，
c＝－ 1.
4.设二次函数分析式为
a＋ k＝0，a＝ 2，y＝a(x －2) 2＋ k，把 A(1 ，0)，C(0 ，6)代入，得解得
4a＋ k＝ 6，k＝－ 2.
则二次函数分析式为y＝ 2(x－ 2)2－ 2＝2x 2－ 8x＋ 6，二次函数图象有最低点，即极点坐标为(2，－ 2)．
5.(1)答案不独一，以选择条件③为例，由图象可知：二次函数图象的极点坐标为(1， 4)，则可设二次函数分析式为y＝ a(x－ 1)2＋ 4.∵图象经过点 (－1， 0)，∴当 x＝－ 1 时， y＝ 0，代入分析式，得 a(－ 1－ 1)2＋ 4＝ 0，解得 a＝－ 1.∴二次函数的分析式为y＝－ (x－ 1)2＋ 4＝－x2＋ 2x ＋ 3.
(2)二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c 的图象的对称轴为 x＝ 1；与 x 轴的交点为 (－ 1， 0)， (3， 0)；与y 轴的交点为 (0， 3)；极点坐标为 (1， 4)；当 x<1时， y 随 x 的增大而增大；当 x>1 时， y 随x 的增大而减小；当x＝ 1时，二次函数有最大值y＝ 4.
6.(1)由于二次函数图象经过A( － 1， 0)、 B(3 ， 0)，所以设y＝ a(x＋ 1)(x － 3)．把 C(0，－ 3)代入，得－ 3＝－ 3a.解得 a＝ 1.所以此函数的分析式为y＝(x ＋1)(x － 3)＝x2－2x－ 3.
(2) 不在．由于该函数的张口向上，最小值为－4，所以点 M(m ，－ 5) 不在这个二次函数的图
象上．
7.∵抛物线的对称轴为x＝2，且在x轴上截得的线段长为6，∴抛物线与 x 轴两交点为 (－ 1，0)， (5， 0)．∴设二次函数分析式为y＝ a(x＋ 1)(x － 5)．将点 (0，－ 2)代入上式，得－ 2＝ a(0
＋ 1)(0－ 5)，∴ a＝2
.所以二次函数分析式为
2228
x－ 2. 5
y＝ (x ＋1)(x － 5)．即 y＝ x －
555
8.(1)∵y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴抛物线C0的极点坐标为(1，－ 1) ．
(2)①当 y＝ 0 时，则有 x2－ 2x＝ 0，解得 x1＝ 0， x2＝ 2.∴抛物线 C0与 x 轴的交点坐标为 (0，0)， (2， 0)．∵将抛物线 C0向右平移 2 个单位，获得抛物线 C1，∴此时抛物线 C0与 x 轴的交点 (0， 0)、 (2， 0)也随之向右平移 2 个单位，∴抛物线 C1与 x 轴的交点 A 1、A 2的坐标分别为： A 1(2， 0)、 A 2(4， 0)．
②抛物线C n的分析式为： y＝ x2－ (4n＋2)x ＋ 4n2＋ 4n.。