上海民办交大南洋中学高三数学理月考试题含解析

上海民办交大南洋中学高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数f(x)＝是( )
A.偶函数，在(0，＋∞)是增函数
B.奇函数，在(0，＋∞)是增函数
C.偶函数，在(0，＋∞)是减函数
D.奇函数，在(0，＋∞)是减函数
参考答案：
B
2. 若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为( )
(A)－6 (B) －2 (C)4 (D)6
参考答案：
A
3. 四棱锥的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如下(AB平行于主视图投影平面)则四棱锥的体积= ( ) ．
A．24 B．18 C． D．8
参考答案：
D
4. 已知集合，，则（）
A．(0,1) B．(1,2) C．(0,2) D．(1,+∞)
参考答案：B
由题意得，集合B={x|x2－2x＜0}={x|0＜x＜2}，
所以，故选B.
5. 设全集U=R，集合A={x||x|≤1}，B={x|log2x≤1}，则?U A∩B等于（）
A．（0，1] B．C．（1，2] D．（﹣∞，﹣1）∪
参考答案：
C
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A补集与B的交集即可．
解答：解：由A中不等式解得：﹣1≤x≤1，即A=，
由B中不等式变形得：log2x≤1=log22，
解得：0＜x≤2，即B=（0，2]，
∴?U A=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
则（?U A）∩B=（1，2]，
故选：C．
点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
6. 设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为
A． B． C． D．不能确
定
参考答案：
B
略
7. 复数在复平面上对应的点位于()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
A
略
8. （2016?衡阳校级模拟）在等差数列{a n}中，a5=33，公差d=3，则201是该数列的第（）项．A．60 B．61 C．62 D．63
参考答案：
B
【考点】等差数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由题意易得通项公式，令其等于201解n值可得．
【解答】解：由题意可得等差数列{a n}的通项公式
a n=a5+（n﹣5）d=33+3（n﹣5）=3n+18，
令a n=3n+18=201可得n=61
故选：B
【点评】本题考查等差数列的通项公式和性质，属基础题．
9. 已知“成等比数列”，“”，那么成立是成立的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又非必要条件
参考答案：
D
成等比数列,则有，所以，所以成立是成立不充分条件.当
时，有成立，但此时不成等比数列，所以成立是成立既不充分又非必要条件，选D.
10. 圆截直线所得弦长为8，则c的值为
A 10
B -68
C 12
D 10或-68
参考答案：
D 略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量，，若，则实数x的值等于______.
参考答案：
【分析】
根据向量共线的坐标形式可求的值.
【详解】因为，故，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查向量共线的坐标形式，一般地，如果，那么：
（1）若，则；（2）若，则.
12. 若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是
____________.
参考答案：
13. 图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）
A．65 B．64 C．63 D．62
参考答案：
B
14. 设x，y满足约束条件，且，则
的最大值为 . 参考答案：
13
15. 若非零向量，满足，则，的夹角的大小为__________．
参考答案：
【知识点】向量的夹角 F3
解析：，即，所以，
，的夹角为，故答案为.
【思路点拨】由可得，所以夹角为.
16. 已知圆锥的体积为cm3，底面积为cm2，则该圆锥的母线长为 cm.
参考答案：
5
已知函数f ( x ) =。

（Ⅰ）求函数f ( x )在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f ( x )的极大值和极小值。

参考答案：
解析：（Ⅰ）由已知得f′( x ) =………………………………… 3分又f′( – 1 ) =所求切线方程是 9x– 4y + 27 = 0 ……………… 5分
（Ⅱ）因为f′( x ) = f′( x ) = 0x1 = 0 , x2 = 2 ………6分又函数f ( x )的定义域是x≠1的所有实数，则x变化时，f′( x )的变化情况如下表：
………… 9分
所以当x = 0时，函数f ( x )取得极大值为6；当x = 2时，函数f ( x )取得极小值为18。

………… 13分
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数（，）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原点的（纵坐
标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. 参考答案：
（1）由题意可得：，因为相邻量对称轴间的距离为，所以，，
因为函数为奇函数，所以，，，
因为，所以，函数，∵，∴
要使单调减，需满足，，所以函数的减区间为
（2）由题意可得：
∵，∴，∴，∴
即函数的值域为
19. （本小题满分14分）
已知A、B、C是直线l上不同的三点，O是l外一点，向量满足：
记y＝f(x)．
（Ⅰ）求函数y＝f(x)的解析式：
（Ⅱ）若对任意不等式｜a－ln x｜－ln[f '(x)－3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围：
（Ⅲ）若关于x的方程f(x)＝2x＋b在（0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．
(2)∴原不等式为
得或①……4分
设
依题意知a＜g(x)或a＞h(x)在x∈上恒成立，
∴g(x)与h(x)在上都是增函数，要使不等式①成立，
当且仅当或∴，或．……8分
(3)方程f(x)＝2x＋b即为
变形为
令j，
j……10分
列表写出x，j'(x)，j(x)在[0，1]上的变化情况：
x0
(0，)(，1)
1 j'(x)小于00大于0
j(x)ln2单调递减取极小值
单调递增
……12分
显然j(x)在（0，1］上的极小值也即为它的最小值．
现在比较ln2与的大小；
∴要使原方程在（0，1]上恰有两个不同的实根，必须使
即实数b的取值范围为……14分
20. (本小题满分7分)已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量．（Ⅰ）求矩阵；
（Ⅱ）设曲线在矩阵的作用下得到的方程为，求曲线的方程解：（Ⅰ）=，∴
解得∴.………4分
（Ⅱ）设点为曲线上的任一点，它在矩阵的作用下得到的点为，
则，所以代入得，
所以所求的曲线方程为.………7分
21. （本小题满分12分）
已知，与的夹角为。

（1）求与方向上的投影；
（2）与的夹角为锐角，求的取值范围。

参考答案：
22.
已知在区间[0，1]上是单调增函数，在区间、上是单调减函数，又。

(1)求的解析式；
(2)若在区间上恒有成立，求实数的取值范围
参考答案：
解析：(1)由已知
即解得
(2)令即
或
在区间上恒有成立，得。