高中数学 第三章 概率 3.1 事件与频率 3.1.4 概率的加法公式教学案 新人教B版必修3-新人

3． 1.4 概率的加法公式
预习课本P98～99，思考并完成以下问题
(1)什么是互斥事件？什么叫对立事件？
(2)什么是事件的并(或和)?
(3)互斥事件的概率加法公式是什么？
[新知初探]
1．事件的关系
事件
定义 图形表示 互斥事件 在同一试验中，不可能同时发生的两个事件A 与B 叫
做互斥事件
事件
的并
一般地，由事件A 和B 至少有一个发生(即A 发生，或
B 发生或 A ，B 都发生)所构成的事件
C ，称为事件A
与B 的并(或和)，记作C ＝A ∪B
互为
对立
事件 在同一试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件，事件A 的对立事件记作 A －
(1)假设A ，B 是互斥事件，那么P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．
(2)假设A －是A 的对立事件，那么P (A －)＝1－P (A )．
(3)假设A 1，A 2，…，A n 两两互斥，那么P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．
[小试身手]
1．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，假设生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，那么对成品抽查一件抽得正品的概率是( )
A．0.99 B．0.98
C．0.97 D．0.96
答案：D
2．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.那么此射手在一次射击中不够8环的概率为( )
A．0.40 B．0.30
C．0.60 D．0.90
解析：选A 依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.
3．假设事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，那么P(B)的取值X围是( )
A．[0,0.9] B．[0.1,0.9]
C．(0,0.9] D．[0,1]
答案：A
4．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，那么甲不输的概率是________．
答案：0.8
互斥事件与对立事件的判断
[典例] 判断以下每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)“恰有1名男生〞与“恰有2名男生〞；
(2)“至少有1名男生〞与“全是男生〞；
(3)“至少有1名男生〞与“全是女生〞；
(4)“至少有1名男生〞与“至少有1名女生〞．
[解] 从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．
(1)“恰有1名男生〞指1男1女，与“恰有2名男生〞不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)“至少1名男生〞包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生〞可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)“至少1名男生〞与“全是女生〞不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)“至少有1名女生〞包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生〞与“至少一名女生〞同时发生，所以它们不是互斥事件．
互斥事件和对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件所包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．注意辨析“至少〞“至多〞等关键词语的含义，明晰它们对事件结果的影响．
(2)利用集合观点
设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A，B.
①假设事件A与B互斥，那么集合A∩B＝∅；
②假设事件A与B对立，那么集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω.
[活学活用]
从40X扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10X)中任抽取1X，判断以下给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
(1)“抽出红桃〞与“抽出黑桃〞；
(2)“抽出红色牌〞与“抽出黑色牌〞；
(3)“抽出牌的点数为5的倍数〞与“抽出牌的点数大于9〞．
解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40X扑克牌中任意抽取1X，“抽出红桃〞和“抽出黑桃〞是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块〞或者“梅花〞，因此二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：
从40X扑克牌中任意抽取1X，“抽出红色牌〞与“抽出黑色牌〞两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：
从40X扑克牌中任意抽取1X，“抽出牌的点数为5的倍数〞与“抽出牌的点数大于9〞这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
互斥事件与对立事件的概率公式的应用
[典例] 某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3，0.1.计算这个运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
[解] 设“射中10环〞、“射中9环〞、“射中8环〞、“射中7环〞、“射中7环以下〞的事件分别为A ，B ，C ，D ，E ，那么
(1)P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.1＋0.2＝0.3.
所以射中10环或9环的概率为0.3.
(2)因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公式，得至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.
求复杂事件概率的须知
(1)正难那么反是良策．
(2)用互斥事件的概率和进行求解时一定要将事件分拆为假设干互斥的事件，不能重复和遗漏．
(3)采用对立事件求概率时，一定要找准对立事件，否那么容易出现错误．
[活学活用]
一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
解：法一：(1)从12个球中任取1球，红球有5种取法，黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．
∴任取1球得红球或黑球的概率为P 1＝912＝34
. (2)从12个球中任取1球，红球有5种取法，黑球有4种取法，得白球有2种取法，从
而得红球或黑球或白球的概率为5＋4＋212＝1112
. 法二：(利用互斥事件求概率)
记事件A 1＝{}任取1球为红球，A 2＝{}任取1球为黑球，
A 3＝{}任取1球为白球，A 4＝{}任取1球为绿球，那么P (A 1)＝512，P (A 2)＝412
，
P (A 3)＝212，P (A 4)＝112.
根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为 P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋412＝34
.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)
＝512＋412＋212＝1112
. 法三：(利用对立事件求概率)
(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A 1∪A 2的对立事件为A 3∪A 4，所以取得1球为红球或黑球的概率为
P (A 1∪A 2)＝1－P (A 3∪A 4)＝1－P (A 3)－P (A 4)
＝1－212－112＝912＝34
. (2)A 1∪A 2∪A 3的对立事件为A 4.
所以P (A 1∪A 2∪A 3)＝1－P (A 4)＝1－112＝1112
.
[层级一 学业水平达标]
1．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A ＝{三件产品全不是次品}，B ＝{三件产品全是次品}，C ＝{三件产品有次品，但不全是次品}，那么以下结论中错误的选项是( )
A ．A 与C 互斥
B ．B 与
C 互斥 C ．任何两个都互斥
D ．任何两个都不互斥
解析：选D 由题意知事件A ，B ，C 两两不可能同时发生，因此两两互斥．
2．抽查10件产品，记事件A 为“至少有2件次品〞，那么A 的对立事件为( )
A ．至多有2件次品
B ．至多有1件次品
C ．至多有2件正品
D ．至少有2件正品
解析：选B 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
3．盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，以下说法中正确的选项是( ) A．全是白球与全是红球是对立事件
B．没有白球与至少有一个白球是对立事件
C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系
D．全是红球与有一个红球是包含关系
解析：选B 从盒中任取2球，出现球的颜某某况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个，所以选B.
4．某家庭在家中有人时，打进的响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么在响前四声内被接的概率是多少？
解：记“响第一声时被接〞为事件A，“响第二声时被接〞为事件B，“响第三声时被接〞为事件C，“响第四声时被接〞为事件D.“响前四声内被接〞为事件E，那么易知A，B，C，D互斥，且E＝A∪B∪C∪D，所以由互斥事件的概率的加法公式得，
P(E)＝P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.
即在响前四声内被接的概率是0.9.
[层级二应试能力达标]
1．如果事件A，B互斥，记A，B分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A．A∪B是必然事件 B.A∪B是必然事件
C.A与B一定互斥
D.A与B一定不互斥
解析：选B 用Venn图解决此类问题较为直观．如下图，A∪B是必然
事件，应选B.
2．根据某某某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：O型52%，A型15%，AB型5%，B型28%.现有一血型为A型的病人需要输血，假设在该地区任选一人，那么此人能为病人输血的概率为( )
A．67% B．85%
C．48% D．15%
解析：选A O型血与A型血的人能为A型血的人输血，故所求的概率为52%＋15%＝67%.
应选A.
3．以下各组事件中，不是互斥事件的是( )
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
解析：选B 对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，那么A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件．4．把电影院的4X电影票随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1X，事件“甲分得4排1号〞与事件“乙分得4排1号〞是( )
A．对立事件B．不可能事件
C．互斥但不对立事件D．以上答案都不对
解析：选C “甲分得4排1号〞与“乙分得4排1号〞是互斥事件但不对立．
5．一个口袋内有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出不是红球的概率为________．解析：设A＝{摸出红球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出黑球}，那么A，B，C两两互斥，A与A为对立事件，
因为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.58，P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝0.62，
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(C)＝0.42，P(B)＝0.38，P(A)＝0.20，所以P(A)＝1－P(A)＝1－0.20＝0.80.
答案：0.80
6．向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一军火库的概率为0.025，炸中第二、三军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，军火库爆炸的概率为________．
解析：设A，B，C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸，那么P(A)＝0.025，P(B)＝0.1，P(C)＝0.1，其中A，B，C互斥，故P(D)＝P(A∪B ∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
答案：0.225
7．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率
为37，乙夺得冠军的概率为14
，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________． 解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军〞包括事件“甲夺得冠军〞和“乙夺得冠军〞，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，
中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928
. 答案：1928
8．据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下表：
排队人数
0 1 2 3 4 5人及5人以上 概 率
0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
(1)求至多2人排队等候的概率；
(2)求至少2人排队等候的概率．
解：记在窗口等候的人数是0,1,2分别为事件A ，B ，C ，那么A ，B ，C 彼此互斥．
(1)至多2人排队等候的概率为 P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)“至少2人排队等候〞的对立事件是“等候人数为0或1〞，而等候人数为0或1的概率为
P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.1＋0.16＝0.26.
故至少2人排队等候的概率为1－0.26＝0.74.
9．某商场有奖销售中，购满100元商品得一X 奖券，多购多得，每1 000X 奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1X 奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：
(1)P (A )，P (B )，P (C )；
(2)抽取1X 奖券中奖概率；
(3)抽取1X 奖券不中特等奖或一等奖的概率．
解：(1)∵每1 000X 奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
∴P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120
.
(2)设“抽取1X奖券中奖〞为事件D，那么
P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝
1
1 000
＋
1
100
＋
1
20
＝
61
1 000
.
(3)设“抽取1X奖券不中特等奖或一等奖〞为事件E，那么
P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－
1
1 000
－
1
100
＝
989
1 000
.。