测量误差的合成和分配

对测量结果可采用正确度，精密度 和准确度三种评价方法。 1．正确度 表示测量结果中系统误差大小程度。 系统误差愈大，正确度愈低；系统误差 愈小，正确度愈高。
2．精密度 表示测量结果中随机误差的大小 程度，也简称为精度。随机误差的大 小可用测量值的标准偏差 x 来衡量, x 越小，测量值越集中，测量的精 密度越高；反之，标准确偏差 x 越 大，测量值越分散，测量精密度越低 。
测量时应兼顾误差大小、测 量的难易程度及其他因素选择 最佳测量方案。
式中 y ——被测量 y 的相对误差； x1——直接测量 x 的绝对误差； 1 x 2——直接测量 x 的绝对误差。 2
同理，当被测量 y 由m个分项合成时, 误差传递公式为
y

i 1
m
f xi xi
(2-21)
(2-22)
y

i 1
m
ln f xi xi
i 式中 x—— 第i个测量分项的测量值； x—— i 直接测量量 x i 的绝对误差。
3．抓住主要误差项进行分配 当分项误差中某项误差特别大时， 就可以不考虑次要分项的误差，或酌情 分给次要分项少量误差比例，确保主要 项的误差小于总合的误差。 若主要误差项有若干项，这时可把 误差在这几个主要误差项中分配，考虑 采用等准确度或等作用分配原则。
2.5
2.5.1
测量结果的描述与处理
测量结果的评价
–12.4344→12.43 –0.69499→0.69 63.73501→63.74 25.3250→25.32
–17.6955→17.70
123.1150→123.12
• 需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。 上例中0.69499，正确结果为0.69 ，错误做法是： 0.69499→0.6950→0.695→0.70。
2．等作用分配
当分项误差性质不同时，采用等作用 分配方法。在这种分配方式中，分配给各 分项的误差在数值上不一定相等，但它们 对测量误差总和的作用是相同的。 对于系统误差，在式（2-23）中， f f f 令 x x 。则分配给各分 项的误差为
1 2 m 1 2 m
x ——测量值的算术平均值；
A x x
2.5.4 等精度测量结果的数据处理
1．将测量数据按先后次序列表。 2．用公式
1 n x xi 求算术平均值。 n i
3．用公式 i xi x 求每一次测量值的 剩余误差。 4．用公式 值S。
1 n 2 S vi n 1 i 1

j

y

j 1
m
f x j
j
1 ， 2， 3 m
ˆ x j
ˆ y
f j 1 x j
m

2
(2-27)
(2-28)
• 例：有一个电源变压器，已知初级线圈 与两个次级线圈的匝数比 N12:N34:N45=1:2:2，用最大量程为500V的 交流电压表测量次级线圈的总电压，要 求相对误差小于±2%，问应该选用哪个 级别的电压表？
f f y x1 x2 x1 x2
(2-19)
式中 y——被测量 y 的绝对误差； x1 ——直接测量量 x1 的绝对误差； x 2 ——直接测量量 x2 的绝对误差。
相对误差传递公式为
ln f ln f y x1 x2 x1 x2
(2-20)
式中 si——曲线以下的面积和； s ——曲线以上的面积和。
s si
i
平滑法作图示意
y y
si
si
si
0
si

x 0
si

x
2．分组平均法
如图2.4(b)，将所有实验数据 ( xi , yi ) 标在坐标上，先标出相邻的两个数据点 连线的中点，再将所有中点连成一条光 滑的曲线；或用3个数据点连线的重心 点连成一条光滑曲线。由于取中点（或 重心点）的过程就是取平均值的过程， 所以减小了随机误差的影响。
• 例：用一块0.5级的电压表测量电压，当 量程为10V时，指针落在大于8.5V的附近 区域，这时测量数据应取几位？ • 例：用一块0.5级电压表的100V量程进行 测量，指示值为85.35V，试确定有效数 字位数。
2．有效数字表示法
（1）有效数字 所谓有效数字，是指在测量数值 中，从最左边一位非零数字算起到含 有存疑数字为止的各位数字。一般数 据的最后一位是欠准确度的估计字， 称为存疑数字。
2
即上述和式中每一项都达到最小时，总 误差就会最小。
• 例：测量电阻R消耗的功率时，可间接测 量电阻值R，电阻上的压降U，流过电阻 的电流I，设电阻、电压、电流测量的相 对误差分别为γR=±2%，γU=±2%， γI=±3%，试确定测量的最佳方案。
本章小结
由于仪器误差、人身误差、方法 误差和环境误差的原因，所有的测量 结果与真值都会有误差。 误差有绝对误差和相对误差两种 表示方法。 绝对误差仅能说明测量结果偏离 实际值的情况；相对误差可以说明测 量的准确度，可分为实际相对误差、 示值相对误差、满度相对误差。
f j 1 x j
m
j
(2-23)
式中 y——系统误差的总和； j——直接测量各分项的系统误差。
3．随机误差的合成 若各分项的系统误差为零，则同理可 求总合的随机误差
f ˆy ˆj j 1 x j
m
(2-24)
ˆ y ——随机误差的总和； 式中 ˆ j ——直接测量各分项的随机误差。

j

y
f m x j
(2-29)
对于随机误差，在式（2-25）中，令
f 2 f 2 f 2 ˆ ˆ ˆ x x 1 2 x x x xm 1 2 m
2.4.2
测量误差的分配
1．等准确度分配 当总误差中各分项性质相同（量纲相 同）、大小相近时，采用等准确度分法，即 分配给各分项的误差彼此相同。 若总误差为 y ，各分项的误差为 ˆ x1 、 ˆ x2 、 ˆ xm ， 、 1， 2， m ；标准差为 令 1 2 m ； ˆ x1 ˆ x2 ˆ xm ˆ ，则 分配给各项的误差为
3．准确度 是测量结果系统误差与随机误差的 综合，表示测量结果与真值的一致程度。 在一定的测量条件下，总是力求测量结 果尽量接近真值，即力求准确度高。
（a）正确度高、精密度低
（b）精密度高、正确度低
©精密度、正确度均高
图2.3
测量结果的图形评价
2.5.2
测量数据的整理
1.误差位对齐法 误差位对齐法采用的方法是测量 误差的小数点后面有几位，则测量数 据的小数点后面也取几位。
一般，若 y f x1 , x2 , xm 的函数关系为和、 差关系时，常先求总合的绝对误差，若函数 关系为积、商或乘方、开方关系时，常先求 总合的相对误差比较方便。
• 例1：用间接测量法测量电阻消耗的功
率，若电阻、电压和电流测量相对误
R U 差分别为 R 、 和 U I I
已知各分项方差，求总合方差的公式为
f 2 ˆ x ˆ x j j 1 x j
2 m 2
(2-25)
标准差的计算公式为
f ˆ x ˆ x j j 1 x j
m 2
(2-26)
2 2 2
，
则分配给各分项的误差为
ˆ x j ˆ y f m x j
(2-30)
• 例：间接测量电阻上消耗的功率， 已测出电流为100mA，电压为3V， 算出功率为300mW，若要求功率测 量的系统误差不大于5%，随机误差 的标准差不大于5mW，问电压和电 流的测量误差应在多大范围内，才 能保证上述功率误差的要求。
，问所求功率
的相对误差为多少？
• 例2：用伏安法测电阻时，若测量电压 和电流的相对误差为 u 、 i ，试问所 求电阻的相对误差为多少？若 u 为 R 为多少？ ±4%， i 为±3%，
2．系统误差的合成 若测量中各种随机误差可以忽略， 则总和的系统误差可由各分项系统误差 合成。
y
分组平均法作图示意
y
0
x
2.6
最佳测量方案选择
最佳测量方案是使总误差为最小的 测量方案，是使系统误差和随机误差都 减少到最小的测量方案。即做到
f y j min j 1 x j
m
f ˆ（y） j 1 x j
2 m
2 ˆ ( x j ) min
2.5.5
实验曲线的绘制
实验曲线的绘制，通常采用平滑法 和分组平均法。 1．平滑法作图 如图2.4（a）所示，先将实验数据 ( xi , yi ) 标在直角坐标上，再将 ( xi , y i ) 各点 用折线依次相连，然后从起点到终点作一 条平滑曲线，使其满足以下等量关系

i
si

si
(2-33)
（2）数字的舍入规则
（1） 小于5舍去——舍去部分的数值小 于所保留末位的0.5个单位时，末位不变 。 （2） 大于5进1——舍去部分的数值大于 所保留末位的0.5个单位时，末位增1。
（3） 等于5时，取偶数——舍去部分的
数值恰好等于所保留末位的0.5个单位时
，则当末位是偶数，末位不变；末位是奇
• 例：将下列数据舍入到小数第二位。
根据测量误差的性质，可分为系统 误差、随机误差和粗大误差。 在实际测量时应根据误差性质进行 判断和处理。 粗大误差明显偏离测量结果，是不 允许的，可采用莱特准则予以剔出。 系统误差反映了测量的正确度，一 般采用加修正值或典型的电路技术来消 除或减小。
随机误差反映了测量的精密度， 体现了各种随机变量对测量结果的影 响，是不可避免的，常采用多次等精 度测量来减小随机误差的影响。
计算标准差的估计
5.按莱特准则判断粗大误差，即根据
i = xi x 3S
剔除坏值。
6.重新计算 x 和 S ，再判别有无粗大 误差。 7.用公式
差估计值。
S Sx n
求算术平均值的标准
8.用公式 x 3Sx 求算术平均值的不确 定度。 9.写出测量结果的表达式 A
x x 。
• 在“等于5”的舍入处理上，采用取偶数规则， 是为了在比较多的数据舍入处理中，使产生正 负误差的概率近似相等。
2.5.3
测量结果的表示方法
常用被测量的量值和它的不确定度共 同表示测量结果，表达式为
A x x
式中
3S x
(2-31)的形式 表示。 (2-32)
2.4 测量误差的合成和分配
误差合成理论研究在间接测量中， 如何根据若干个直接测量量的误差求总 测量误差的问题；误差分配理论则研究 在给定系统总误差的条件下，如何将总 误差分配给各测量分项，即如何对各分 项误差提出要求，以达到系统测量精度 要求。
2.4.1
测量误差的合成
1．误差传递公式 y x2 ， 设一个被测量 由两个分项 x1 、 其函数表达式为 y f x1 , x 2 (2-18) 则绝对误差传递公式为