Cauchy-Schwarz不等式的推广

本文将 . % 推广到随机向量的 情 形 中 ! 将$ 推 广 到 矩 阵 情 形! 下面将进行 P N ; Z $ 8 ; Z E P L Y不等式 $ >% S 介绍 ’
#!. P N ; Z $ 8 ; Z E P L Y不等式的推广 S
本节介绍对 . 首先讨论 $ % 在随机向量情形中的推广 ’ P N ; Z $ 8 ; Z E P L Y不等式所进行的推广 ! S 定理 !! 设 1 为;2- 维随机向量 ! 且( $ $ 则 2 为F2- 维的随机向量 ! P L 1% @$‘"! ( P L 2% @$b"!
第! ! 卷第 ’ 期 ! " " ’年!月
大!学!数!学
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. P N ; Z $ 8 ; Z E P L Y不等式的推广 S
李!娟# ! 崔文泉
$ 中国科学技术大学 # 合肥 ! % > " " ! ’ 摘 ! 要 " 在非负定矩 阵 的 偏 序 意 义 下 讨 论 了 对 . 将随机变量情形下的 P N ; Z $ 8 ; Z E P L Y不 等 式 的 推 广 # !! ! S 而且两个随机向量的维数不要求相等# 一个是随机变量另一个 . P N ; Z $ 8 ; Z E P L Y不等 式 推 广 到 随 机 向 量 情 形 # S 是随机向量是其中的一个特殊情形 # 另外还 研 究 了 有 限 维 空 间 中 的 向 量 情 形 的 . P N ; Z $ 8 ; Z E P L Y不 等 式 在 矩 S 阵情形下的推广 # 得到一个十分简明的结果 # 并将此结果用于讨论一类随机向量簇的协方差阵的下界 # 不仅得 到下界的具体表达式 # 而且给出能达到该下界的充分必要条件 + ! 关键词 ". 偏序 & 随机向量 & 协方差阵 & 投影算子 P N ; Z $ 8 ; Z E P L Y不等式 & S ! 中图分类号 "/ 文献标识码 ".!! ! 文章编号 "$ % ! -!! ! ’ = ! $ < # < ! " " ’ " ’ $ " < < $ " <
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为$h 满足 1V1 @ 则 $ 正定的实对称矩阵 ! 1 为$h - 矩阵 ! ! -! V UV U1 % 1‘ $ 1% 1% 0
V 结论 $ % % 当1 为 6 有类似结论成 立 ! 只 要将 1V 改为 1 - ! 将* 或+V 改为*- 或 ! ’ : L J B F :阵时 ! !$ 此时 *! + 即可 ! + 为$ 维复向量 ’
U$ $ $ $ ( P L 1% ) ‘ 1! 2% ( P L 2% . ) ‘ 2! 1% 0 ‘. $ % 即为 $ % ( 当;@-! 或;"-! 得到如下推论 " 当;@F@- 时 ! = F"-! F@- 时 ! 且( $ 则 推论 !! 设 1 为二阶矩存在的随机变量 ! 2 为F 维的随机向量 ! P L 2% @$b"! U$ % $ ! % $ % $ ! % ‘ P L 1 2. ) ‘12 ( P L2 . ) ‘2 1 0
$ % "
定理 ! 给出了当 1 和2 为一般的矩阵时的结论 0 定理 #! 设 1 和2 均为$h 则 - 的矩阵 # 1V 2 非奇异 # $ 为$ 阶正定矩阵 # U- V U- V UU$ $ " ‘$ 1V 2% 1$ 1# 2% 2V *! $ 2% 0 使得 等式成立的充要条件为 ’ 存在 - 阶方阵/# $ % -
V V $ % 设’@ $ ! 其 中 1! B 1V ! 2V % 2 分 别 为 维 数 是 ;! 1 1V ! 1 2V % ! D$ $% F 的 随 机 向 量! )! )@ $ V V V M$ -! !%! ) )
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则
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$ $ ( P L 1% . ) ‘ 1! 2% ( $ $ ! + ! M $ $ . ) ‘ 2! 1% ( P L 2% $ $ ! ! ! ) ,
V ! V V * % * % *# # #/ + +% +! 且等号成立的充要条件为 % * 与% + 线性相关 0 # 设 % 为$h 且 %b"! 则 $ 实对称矩阵 ! V ! V V U* * % *# # #/ + + % +! 且等号成立的充要条件为 * 与%U+ 线性相关 0 V # 特别 ! 当 *@ 上式即为 * *@- 时 ! +!
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V UV U$ % * % *2 $ * % *% 0 < & !’ # 下面的结果把上述不等式推广到 * 为矩阵的情形 ! 是由 3 设% P L V Z P * *和 / * G B C$ & & "% 得 到的 ’
$ % # $ % 把上述结果 推 广 到 % 是 半 正 定 的 实 对 称 矩 阵 情 形 0 他们的结果 #O P G V P * P L N C F P C : C & & S和 b V V V 是" 设 % 为$h 使得 1 %$ 则 $ 半正定实对称矩阵 ! 1 为$h - 矩阵 ! % %%1 为幂等阵 ! V ? V ? $ % $ % 1 % 1‘ 1 % 1 0 ’
或
V U- V V U- V V UU$ $ * *! * +% * % +% " 2 $ + % +% 0 我们考虑 $ % 当 * 和+ 改为矩阵时的推广 0 易得 # 当 1# 有 " 2 和$ 均为可逆的$ 阶方阵时 # V U- V V U- V V UU% ! $ % " $ % $ 12 1$ 1 12 @2$ 2 0
1@$U2 /0
由定理 !# 立即可得如下定理 ’ 定理 $! 当’ 是给定的$h 且( $ - 阶实矩阵 # - 阶实矩阵 # 1 为$ 维随机 向量 # P L 1% + 是任给的$h
V UU则$ @$b"# ’ $ ’% 为随机向量簇 V U- V $ &@ ( !$h-) + ’% + 1 i +.D V U- V 协方差阵的下界 # $ 存 在 - 阶 方 阵 /# 使得 + ’% + 1 的协方差 阵 在 & 中 达 到 下 界 的 充 分 必 要 条 件 为 ’ U/0 +@$ ’ V U- V 特别地 # 当 +@$U$ ’ 时# + ’% + 1 的协方差阵在 & 中达到下界 ’
$ % =
$ % % 这里用 ‘ $ 表示随机变量 1 的方差 ! $ 表 示 随 机 向 量 1 的 协 方 差 阵( 当 1 既可取随机变 P L 1% ( P L 1% 量也可取随机向量时 ! 用( $ 表示 1 的方差或协方差阵 0 P L 1% 推论 #! 设 1 为; 维的随机向量 ! 且( $ 则 P L 1% @$b"! 2 为二阶矩存在的随机变量 ! $ $ $ $ ‘ P L 2% ( P L 1% ) ‘ 1! 2% . ) ‘ 2! 1% 0 ‘. 事实上 ! 定理 - 是一个基本的结论 " $ % &
收稿日期 "! " " # $ " & $ " # !!
第 ’ 期 !!!!!!!!!!!! 李娟 ! 等" . P N ; Z $ 8 ; Z E P L Y不等式的推广 S 若 %U. 是正定矩阵 ! 则记作 %b.! 或 .Z%! 或 %U.b"0 显然 ! 若 %‘.! 且 .a%! 则 %@.0 如" . P N ; Z $ 8 ; Z E P L Y不等式有着不同的推广形式 ! S # 设 % 为$h 且 %‘"! 则 $ 实对称矩阵 !
F 空间是 证明 : ) ) % 空间的对偶 ’ :;$ F# ;"-# F?;@在度量空间 8 中 # 记* 为 ! 和" 的内积 # 则有 !# !# 6!6 为 ! 的模 # ".8# "+
* !# # #/6!6 , 6 "+ "6 ’ 上式即为 . 不等式在度量空间中的一般形式 # 等式成立的充要条件是 ! 和" 线性相关 ’ P N ; Z $ 8 ; Z E P L Y S $ V V V 对于 $ 维 实 向 量 空 间D 有* 对 任 意 的 !@ $ -# -# 则 ! # !# ! ! !$ # M! "’ "+ "@ $ " " -# $% # -# $ % .D . P N ; Z $ 8 ; Z E P L Y不等式表现为 S
!! 引 !! 言
有 很 多 重 要 的 应 用’ 如’ 利用 . . P N ; Z $ 8 ; Z E P L Y不等 式 是 一 个 非 常 基 本 的 不 等 式 # P N ; Z $ 8 ; Z E P L Y S S F 空间的相互 o o 不等式不仅易于得到三角不等式 # 而且不 难 得 到 6 不 等 式 不 等 式 是 揭 示 ) * I : L + 6 ) * I : L : F 空间 的三 角不等 式 ( o 关系的一个基本 不等式 # 利用 6 不 等式 可 以 证明 以及 ) * I : L : 3 B C G ) E V G 不 等式 #
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大 ! 学 ! 数 ! 学 !!!!!!!!!!!!!! 第 ! !卷
UUUUU$ $ $ $ $ $ ( + ! -0 ! -0 ! ! ! ! ( + U@ 0 $ @ UUUUUU$ $ ! ! ! $ $ $ $ $ $ ! !$ ! -0 ! ! ! ? ! !$ ! -0 ! ! ! !, ) , )U$ 参见 ! " 第一章定理 !0 其中 > ## UU$ $ $ $ # P L 1% U. ) ‘ 1# 2% ( P L 2% . ) ‘ 2# 1% $ $ $ $ -0 !@ -U ! ! !$ ! - @( U故由 $U- b" 立得 $ 即 "# -0 !b U$ $ $ $ ( P L 1% ) ‘ 1# 2% ( P L 2% . ) ‘ 2# 1% 0 ‘. 下面讨论对 $ % 的一种推广形式 # $ % 可写成 > > V U! V V U& $ $ *+% *% *2+ % +%
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等式成立的 充 要 条 件 为 ’ 存 在 不 全 为 " 的 常 数 %# 使得% 这里* )# !?) !# @ "@"’ "+
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对于定义在概率空间 $ 上的两个随机变量 2 和 ] # 若内积定义 为 * $ # 则由 %# D% 2# ]+ @. ) ‘ 2# ]% (# 所有的二阶矩存在的随机变量构成一个度量空间 # 其. P N ; Z $ 8 ; Z E P L Y不等式的表现为 S $ $ $ # $ % . ) ‘ 2# ]% ( P L 2% ( P L ]% # #/ & & 其中 . $ 为 2 和 ] 的协方差 # $ 为 2 的 方差 # 等式成 立的 充要 条件 为 ’ 存在不全为"的常 ) ‘ 2# ]% ( P L 2% 数 %# 使得 b$ % 由上式 立 即 可 得 两 个 随 机 变 量 的 相 关 系 数 的 绝 对 值 小 于 等 于 -# 相关 )# % 2? ) ]@" @-’ 系数刻画了两个随机变量之间的线性相关程度 ’ 为了便于本文符号的使用 # 我们给出非负定矩阵偏序的记号 ’ 设 % 与. 是两个同阶的非负定矩阵 # 若 %U. 是非负定矩阵 # 则记作 %‘.# 或 .a%# 或 %U.‘"&
%
UU$ $ $ $ $ ( P L 1 2% @$ P L 1% U. ) ‘ 1! 2% ( P L 2% . ) ‘ 2! 1% 0 # $ $ -U ! ! - @( ! !$
由此可得
U$ $ $ $ ( P L 1% ) ‘ 1! 2% ( P L 2% . ) ‘ 2! 1% 0 ‘.
不难得到 $ $ 成立的充要条件为 . P L 1% ) ‘ 1! 2% @"! # V V V U$ % 设 $ ! % ! 则 ! 而当 $ % 时 ! B B . ) ‘1 2 @$b" $ b" ( P L2 b"