安泽县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

安泽县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知d为常数，p：对于任意n∈N*，a n+2﹣a n+1=d；q：数列{a n}是公差为d的等差数列，则￢p是￢q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx”，命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0””若“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）
A．（1，4] B．（0，1] C．[﹣1，1] D．（4，+∞）
3．曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为（）
A．y=x﹣2 B．y=﹣3x+2 C．y=2x﹣3 D．y=﹣2x+1
4．函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），若存在φ∈（，），使f（sinφ）=f（cosφ），则实数m的取值范围是（）
A．（）B．（，] C．（）D．（]
5．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（）
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α=，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠D．若tan α≠1，则α=
6．若a=ln2，b=5，c=xdx，则a，b，c的大小关系（）
A．a＜b＜cB B．b＜a＜cC C．b＜c＜a D．c＜b＜a
7．设{}n a是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）
A．1 B．2 C．4 D．6 8．已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面有（）
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对
9． 如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．下列正方体或四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是 （ ）
11．已知函数x x x f 2sin )(-=，且)2(),3
1
(log ),23(ln 3.02f c f b f a ===，则（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．a b c >> D ．b a c >> 【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力．
12．若x ，y 满足
且z=y ﹣x 的最小值为﹣2，则k 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．2 D ．﹣2
二、填空题
13．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，6=-b a ，向量c a -，c b -的夹角为23π，23c a -=，则a 与c 的夹角为__________，a c ⋅的最大值为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.
14．已知1a b >>，若10log log 3
a b b a +=，b a a b =，则a b += ▲ ． 15．函数)(x f （R x ∈）满足2)1(=f 且)(x f 在R 上的导数)('x f 满足03)('>-x f ，则不等式
1log 3)(log 33-<x x f 的解集为 .
【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高
要求，难度大.
16．数列{a n }是等差数列，a 4=7，S 7= ．
17．若函数()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，则实数的取值范围是__________.
18．已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则
的值为 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为菱形，Q P E 、、分别是棱AB SC AD 、、的中点，且⊥SE 平面ABCD .
（1）求证：//PQ 平面SAD ；
（2）求证：平面⊥SAC 平面SEQ .
20．衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中
随机抽取100名后按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第 5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组 各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组 至少有一名志愿者被抽中的概率.
21．（本小题满分12分） 已知直三棱柱111C B A ABC -中，上底面是斜边为AC 的直角三角形，F E 、分别是11AC B A 、的中点.
（1）求证：//EF 平面ABC ；
（2）求证：平面⊥AEF 平面B B AA 11.
22．（本小题满分12分） 已知函数21()x f x x +=，数列{}n a 满足：12a =，11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
（N n *∈）.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.
2320142015CBA 5场比赛中的投篮次数及投中次数如下表所示：
3分球的平均命中率；
（2）视这5场比赛中2分球和3分球的平均命中率为相应的概率．假设运动员在第6场比赛前一分钟分别获得1次2分球和1次3分球的投篮机会，该运动员在最后一分钟内得分ξ分布列和数学期望．
24．已知f （x ）=x 2+ax+a （a ≤2，x ∈R ），g （x ）=e x ，φ（x ）=
．
（Ⅰ）当a=1时，求φ（x ）的单调区间；
（Ⅱ）求φ（x ）在x ∈[1，+∞）是递减的，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a ，使φ（x ）的极大值为3？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．
安泽县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：p：对于任意n∈N*，a n+2﹣a n+1=d；q：数列{a n}是公差为d的等差数列，
则￢p：∃n∈N*，a n+2﹣a n+1≠d；￢q：数列{a n}不是公差为d的等差数列，
由￢p⇒￢q，即a n+2﹣a n+1不是常数，则数列{a n}就不是等差数列，
若数列{a n}不是公差为d的等差数列，则不存在n∈N*，使得a n+2﹣a n+1≠d，
即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件，
即后者可以推不出前者，
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．
2．【答案】A
【解析】解：若命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx，为真命题，
则a＞lne=1，
若命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0”为真命题，
则△=16﹣4a≥0，解得a≤4，
若命题“p∧q”为真命题，
则p，q都是真命题，
则，
解得：1＜a≤4．
故实数a的取值范围为（1，4]．
故选：A．
【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．
3．【答案】D
【解析】解：y′=（）′=，
∴k=y′|x=1=﹣2．
l：y+1=﹣2（x﹣1），则y=﹣2x+1．
故选：D
4．【答案】A
【解析】解：∵函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），
∴函数f（x）关于x=m对称，
若φ∈（，），
则sinφ＞cosφ，
则由f（sinφ）=f（cosφ），
则=m，
即m==（sinφ×+cosαφ）=sin（φ+）
当φ∈（，），则φ+∈（，），
则＜sin（φ+）＜，
则＜m＜，
故选：A
【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．
5．【答案】C
【解析】解：命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是
“若tan α≠1，则α≠”．
故选：C．
6．【答案】C
【解析】解：∵a=ln2＜lne即，
b=5=，
c=xdx=，
∴a，b，c的大小关系为：b＜c＜a．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．
7． 【答案】B
【解析】
试题分析：设{}n a 的前三项为123,,a a a ，则由等差数列的性质，可得1322a a a +=，所以12323a a a a ++=，
解得24a =，由题意得1313
812a a a a +=⎧⎨=⎩，解得1326a a =⎧⎨=⎩或1362a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 是递增的等差数列，所以 132,6a a ==，故选B ．
考点：等差数列的性质．
8． 【答案】D
【解析】解：∵PD ⊥矩形ABCD 所在的平面且PD ⊆面PDA ，PD ⊆面PDC ，
∴面PDA ⊥面ABCD ，面PDC ⊥面ABCD ，
又∵四边形ABCD 为矩形
∴BC ⊥CD ，CD ⊥AD
∵PD ⊥矩形ABCD 所在的平面
∴PD ⊥BC ，PD ⊥CD
∵PD ∩AD=D ，PD ∩CD=D
∴CD ⊥面PAD ，BC ⊥面PDC ，AB ⊥面PAD ，
∵CD ⊆面PDC ，BC ⊆面PBC ，AB ⊆面PAB ，
∴面PDC ⊥面PAD ，面PBC ⊥面PCD ，面PAB ⊥面PAD
综上相互垂直的平面有5对
故答案选D
9． 【答案】 D
【解析】解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，
则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'
为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，
如图当E 与C 重合时，
AK=
=，
取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．
故∠
K0A=，∴∠
K0D'=
，
其所对的弧长为
=， 故选：D ．
10．【答案】D
【解析】
考点：平面的基本公理与推论．
11．【答案】D
12．【答案】B
【解析】解：由z=y﹣x得y=x+z，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=x+z由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最小，
此时最小值为﹣2，即y﹣x=﹣2，则x﹣y﹣2=0，
当y=0时，x=2，即A（2，0），
同时A也在直线kx﹣y+2=0上，代入解得k=﹣1，
故选：B
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．本题主要考查的难点在于对应的区域为线段．
二、填空题
π，18+
13．【答案】
6
【解析】
14．【答案】 【解析】
试题分析：因为1a b >>，所以log 1b a >，又101101log log log log 33log 33
a b b b b b a a a a +=
⇒+=⇒=或（舍），因此
3
a b =，因为b a a b =，所以3
333,1b b b b b b b b a =⇒=>⇒=a b +=考点：指对数式运算 15．【答案】)3,0(
【解析】构造函数x x f x F 3)()(-=，则03)(')('>-=x f x F ，说明)(x F 在R 上是增函数，且
13)1()1(-=-=f F .又不等式1log 3)(log 33-<x x f 可化为1l o g 3)(l o g 33-<-x x f ，即
)1()(l o g 3F x F <，∴1log 3<x ，解得30<<x .∴不等式1log 3)(log 33-<x x f 的解集为)3,0(.
16．【答案】49
【解析】解：
=
=7a 4
=49． 故答案：49．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．
17．【答案】2a ≥ 【解析】
试题分析：因为()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，所以(1,2)x ∈时，()'10a
f x x
=
-≥恒成立，即a x ≥恒成立，可得2a ≥，故答案为2a ≥.1
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题.
18．【答案】 ． 【解析】解：已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，∴a 1+a 2 =1+9=10．
数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，∴ =1×9，再由题意可得b 2=1×q 2＞0 （q 为等比数列的公比），
∴b 2=3，则=
，
故答案为
．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ 与平面内的直线平行，则线面平行，所以取SD 中点F ，连结PF AF ,，可证明AF PQ //，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先证明线面垂直，根据所给的条件证明⊥AC 平面SEQ ，即平面⊥SAC 平面SEQ . 试题解析：证明：（1）取SD 中点F ，连结PF AF ,. ∵F P 、分别是棱SD SC 、的中点，∴CD FP //，且CD FP 2
1
=. ∵在菱形ABCD 中，Q 是AB 的中点，
∴CD AQ //，且CD AQ 2
1
=
，即AQ FP //且AQ FP =. ∴AQPF 为平行四边形，则AF PQ //.
∵⊄PQ 平面SAD ，⊂AF 平面SAD ，∴//PQ 平面SAD .
考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.
【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直， 需熟练掌握判定定理以及性质定理. 20．【答案】（1）3,2,1；（2）7
10
. 【解析】111]
试题分析：（1）根据分层抽样方法按比例抽取即可；（2）列举出从名志愿者中抽取名志愿者有10种情况，其中第组的名志愿者12,B B 至少有一名志愿者被抽中的有种，进而根据古典概型概率公式可得结果. 1
（2）记第3组的3名志愿者为123,,A A A ，第4组的2名志愿者为12,B B ，则从5名志愿者中抽取2名志愿者有12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，共10种，其中第4组的2名志愿者12,B B 至少有一名志愿者被抽中的有11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，
22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，共7种，所以第4组至少有一名志愿都被抽中的概率为
7
10
. 考点：1、分层抽样的应用；2、古典概型概率公式. 21．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
试
题解析：证明：（1）连接C A 1，∵直三棱柱111C B A ABC -中，四边形C C AA 11是矩形， 故点F 在C A 1上，且F 为C A 1的中点，
在BC A 1∆中，∵F E 、分别是11AC B A 、的中点，∴BC EF //. 又⊄EF 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴//EF 平面ABC .
考点：1.线面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理. 22．【答案】
【解析】（1）∵211()2x f x x x +=
=+，∴11
()2n n n
a f a a +==+. 即12n n a a +-=，所以数列{}n a 是以首项为2，公差为2的等差数列， ∴1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=. （5分） （2）∵数列{}n a 是等差数列，
∴1()(22)(1)22
n n a a n n n
S n n ++=
==+， ∴1111(1)1
n S n n n n ==-
++. （8分）
∴1231111n n T S S S S =
++++ 11111111()()()()1223341
n n =-+-+-++-+ 111n =-
+1
n n =+.
（12分） 23．【答案】
【解析】解：（
1）该运动员在这5场比赛中2分球的平均命中率为：
=，
3分球的命中率为：
=．
（2
）依题意，该运动员投一次2分球命中的概率和投一次3
分球命中的概率分别为
，， ξ的可能取值为0，2，3
，5
， P （ξ=0）=（1
﹣）（1
﹣
）=， P （ξ=2
）=
=，
P （ξ=3）=（1﹣）×=， P （ξ=5）=
=，
∴该运动员在最后1分钟内得分ξ的分布列为：
∴该运动员最后1分钟内得分的数学期望为E ξ=
=2．
【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想．
24．【答案】
【解析】解：（I ）当a=1时，φ（x ）=（x 2+x+1）e ﹣x ．φ′（x ）=e ﹣x （﹣x 2
+x ） 当φ′（x ）＞0时，0＜x ＜1；当φ′（x ）＜0时，x ＞1或x ＜0
∴φ（x ）单调减区间为（﹣∞，0），（1，+∞），单调增区间为（0，1）；
（II ）φ′（x ）=e ﹣x [﹣x 2
+（2﹣a ）x]
∵φ（x ）在x ∈[1，+∞）是递减的，
∴φ′（x）≤0在x∈[1，+∞）恒成立，
∴﹣x2+（2﹣a）x≤0在x∈[1，+∞）恒成立，
∴2﹣a≤x在x∈[1，+∞）恒成立，
∴2﹣a≤1
∴a≥1
∵a≤2，1≤a≤2；
（III）φ′（x）=（2x+a）e﹣x﹣e﹣x（x2+ax+a）=e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x] 令φ′（x）=0，得x=0或x=2﹣a：
由表可知，φ（x）极大=φ（2﹣a）=（4﹣a）e a﹣2
设μ（a）=（4﹣a）e a﹣2，μ′（a）=（3﹣a）e a﹣2＞0，
∴μ（a）在（﹣∞，2）上是增函数，
∴μ（a）≤μ（2）=2＜3，即（4﹣a）e a﹣2≠3，
∴不存在实数a，使φ（x）极大值为3．。