陕西省西安市2021届新高考第四次质量检测数学试题含解析

陕西省西安市2021届新高考第四次质量检测数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110
B ．0.112
C ．0.114
D ．0.116 【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意知,010.8,7.6,
2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】
由题意可得,010.8,7.6,2
I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08
μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114.
故选:C
【点睛】
本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.
2．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为-45，则实数a 的值为（ ）
A ．23
B ．2
C ．14
D ．13
【答案】D
【解析】
【分析】
将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得a 的值.
【详解】
∵()()()()666
131313x a x x x a x -+=+-+
所以展开式中3x 的系数为2233663313554045C aC a -=-=-，
∴解得13
a =
. 故选：D.
【点睛】 本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.
3．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．
由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．
4．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
列出循环的每一步，进而可求得输出的n 值.
【详解】
根据程序框图，执行循环前：0a =，0b =，0n =，
执行第一次循环时：1a =，2b =，所以：229840+≤不成立．
继续进行循环，…，
当4a =，8b =时，226240+=成立，1n =，
由于5a ≥不成立，执行下一次循环，
5a =，10b =，225040+≤成立，2n =，5a ≥成立，输出的n 的值为2.
故选：B ．
【点睛】
本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
5．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）．
A ．21
B ．63
C ．13
D ．84
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求d ，1a ，然后结合等差数列的求和公式即可求解．
【详解】
解：因为130S =，3421a a +=， 所以11
1313602521a d a d +⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d =-，118a =， 则7171876(3)632
S =⨯+⨯⨯⨯-=． 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题．
6．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ）
A ．i -
B ．i
C ．1-
D ．1
【答案】D
【解析】
由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得z，即可得z的虚部. 【详解】
由zi＝1﹣i，∴z＝
()
()
1
1
1
·
i i
i
i
i i i
--
-
==--
-
，所以共轭复数z=-1+i，虚部为1
故选D．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．10
3
B．3
C．8
3
D．
7
3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，可得几何体，利用体积计算即可. 【详解】
由题意，该几何体如图所示：
该几何体的体积
11110
22222
2323 V=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=.
故选：A.
【点睛】
本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．
8．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”的长宽比为2:1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米
B ．480米
C ．520米
D ．600米
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度.
【详解】
设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：
由题意可得
1002x x
+=，解得()10021x =； 且满足2100y x =+ 故解得塔高()
1002200
21480y x =+=≈米，即塔高约为480米. 故选：B
【点睛】 本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.
9．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的斜率为( )
A ．2±
B ．2-
C ．22
D ．22±
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义，结合||3AF =，求出A 的坐标，然后求出AF 的斜率即可．
【详解】
解：抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，
设(,)A x y ，则||13AF x =+=，故2x =，此时y =±(2,A ±．
则直线AF 的斜率k =
=±． 故选：D ．
【点睛】 本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题．
10．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（ ）
A ．命题p 是真命题
B ．命题p 的逆命题是真命题
C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”
D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <”
【答案】B
【解析】
【分析】
解不等式，可判断A 选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B 选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
解不等式21a <，解得11a -<<，则命题p 为假命题，A 选项错误；
命题p 的逆命题是“若21a <，则1a <”，该命题为真命题，B 选项正确；
命题p 的否命题是“若1a ≥，则21a ≥”，C 选项错误；
命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a ≥”，D 选项错误．
故选：B ．
【点睛】
本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题.
11．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-r r ，且a b ⊥r r ，则λ等于（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解．
【详解】
因为(1,2),(2,2)a b λ==-r r ，且a b ⊥r r ，
·22(2)0a b λ=+-=r r ，
则1λ=．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
12．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，
若||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）
A ．5
B ．3
C ．32
D ．2 【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知12||||228AF BF x x +=+++=,继而可求出124x x +=,从而可求出AB 的中点的横坐标,即为中点到y 轴的距离.
【详解】
解：由抛物线方程可知，28p =，即4p =，()2,0F ∴.设()()1122,,,A x y B x y 则122,2AF x BF x =+=+，即12||||228AF BF x x +=+++=，所以124x x +=.
所以线段AB 的中点到y 轴的距离为
1222
x x +=. 故选:D.
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得A B 、两点横坐标的和.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．()()6121x x -+的展开式中2x 的系数为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】
分别用1和()2x -进行分类讨论即可
【详解】
当第一个因式取1时，第二个因式应取含2x 的项，则对应系数为：2266115C C ⨯==；
当第一个因式取2x -时，第二个因式应取含x 的项，则对应系数为：()1
6212C -⨯=-； 故()()6121x x -+的展开式中2x 的系数为()21
6623C C +-=. 故答案为：3
【点睛】
本题考查二项式定理中具体项对应系数的求解，属于基础题
14．如图，ABC V 的外接圆半径为23，D 为BC 边上一点，
且24BD DC ==，90BAD ∠=︒，则ABC V 的面积为______.
【答案】3
3【解析】
【分析】 先由正弦定理得到120BAC ∠=o ，再在三角形ABD 、ADC 中分别由正弦定理进一步得到B=C ，最后利用面积公式计算即可. 【详解】
依题意可得6BC =，由正弦定理得2sin BC R BAC =∠，即3sin 243
BAC ∠==，由图可 知BAC ∠是钝角，所以120BAC ∠=o ，30DAC ∠=o ，在三角形ABD 中，sin AD BD B =， 4sin B =，在三角形ADC 中，由正弦定理得sin sin AD CD C DAC
=∠即4sin AD C =， 所以，sin sin B C =，故30B C ==o ，23AB =2AD =，故ABC V 的面积为
1sin 332
AB BC B ⋅⋅=故答案为：3
3【点睛】
本题考查正弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，要灵活运用正弦定理公式及三角形面积公式，本
题属于中档题.
15．若函数()sin 22f x x x =-的图像向左平移8
π个单位得到函数()g x 的图像.则()g x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的最小值为________.
【答案】【解析】
【分析】
注意平移是针对自变量x ，所以()()8g x f x π=+=2sin(2)12x π-，再利用整体换元法求值域（最值）即可.
【详解】
由已知，()sin 22sin(2)3f x x x x π=-=-，()()8g x f x π
=+= 2sin[2()]2sin(2)8312x x πππ+-=-，又3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故22[,]1233x πππ-∈-，
2sin(2)[12x π
-∈，所以()g x 的最小值为
故答案为：.
【点睛】
本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.
16．已知向量(1,1)a =r ，||b =r (2)2a b a +⋅=r r r ，则||a b -=r r
__________.
【答案】3
【解析】
【分析】
由题意得2a b ⋅=-r r ，a r ||=，再代入||a b -==r r . 【详解】
由题意可得a r ||=2(2)24a b a a b a a b ⋅=+=++⋅⋅r r r r r r r r ，
∴42a b =⋅+r r ，解得2a b ⋅=-r r ，
∴||3a b =-===r r .
故答案为：3.
【点睛】
本题考查向量模的计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意向量数量积公式的运用.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知点P 在抛物线()2
20C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O 为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值．
【答案】 (1) 24x y = (2)4
【解析】
【分析】
（1）将点P 横坐标代入抛物线中求得点P 的坐标，利用点P 到准线的距离d 和勾股定理列方程求出p 的值即可；（2）设A 、B 点坐标以及直线AB 的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，计算AF BF -的值即可．
【详解】
（1）将点P 横坐标2P x =代入22x py =中，求得2P y p
=， ∴P （2，2p
），2244OP p =+， 点P 到准线的距离为22p d p =
+， ∴22
2||||2MN OP d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴22
222212p p p ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
解得24p =，∴2p =， ∴抛物线C 的方程为：24x y =；
（2）抛物线2
4x y =的焦点为F （0，1），准线方程为1y =-，()01H -，； 设()()1122A x y B x y ，，，，
直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=，
∴121244x x k x x +==-，
，…① 由AB HB ⊥，可得1AB HB k k ⋅=-， 又111AB AF y k k x -==
，22
1
HB y k x +=， ∴1212
11
1y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=， 即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫
-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴
()
22221212121110164
x x x x x x +--+=，…② 把①代入②得，22
1216x x -=，
则()
22
121211||||1116444
AF BF y y x x -=+--=-=⨯=． 【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线与圆的方程应用问题，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
18．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3
R π
θρ=
∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面
直角坐标系，曲线C 的参数方程为3cos ,
1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩
（α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.
【答案】(0,0) 【解析】 【分析】
将直线l 的极坐标方程和曲线C 的参数方程分别化为直角坐标方程,联立直角坐标方程求出交点坐标,结合
x 的取值范围进行取舍即可.
【详解】
因为直线l 的极坐标方程为()3
R π
θρ=
∈，
所以直线l
的普通方程为y =，
又因为曲线C 的参数方程为2cos 1cos 2x y α
α
=⎧⎨
=+⎩（α为参数），
所以曲线C 的直角坐标方程为[]()2
12,22
y x x =
∈-，
联立方程2
12y y x
⎧=⎪
⎨=⎪⎩
,解得00x y =⎧⎨=⎩
或6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 因为22x -≤≤
，所以6
x y ⎧=⎪⎨
=⎪⎩舍去，
故P 点的直角坐标为(0,0). 【点睛】
本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化;考查运算求解能力;熟练掌握极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
19．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y α
α=⎧⎨=⎩（α为参数，将曲线C 经过伸缩变换112x x y y
=⎧⎨
=⎩后得到曲线1C .在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为
cos sin 50ρθρθ+-=.
（1）说明曲线1C 是哪一种曲线，并将曲线1C 的方程化为极坐标方程；
（2）已知点M 是曲线1C 上的任意一点，又直线l 上有两点E 和F ，且||5EF =，又点E 的极角为2
π
，点F 的极角为锐角.求： ①点F 的极角；
②EMF ∆面积的取值范围.
【答案】（1）曲线1C 为圆心在原点，半径为2的圆.1C 的极坐标方程为2ρ=（2）①
8π
②5,544⎡⎤-+⎢
⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）求得曲线C 伸缩变换后所得1C 的参数方程，消参后求得1C 的普通方程，判断出1C 对应的曲线，并将1C 的普通方程转化为极坐标方程. （2）
①将E 的极角代入直线l 的极坐标方程，由此求得点E 的极径，判断出EOF ∆为等腰三角形，求得直线l 的普通方程，由此求得4
FEO π
∠=
，进而求得38
FOE π
∠=
，从而求得点F 的极角. ②解法一：利用曲线1C 的参数方程，求得曲线1C 上的点M 到直线l 的距离d 的表达式，结合三角函数的
知识求得d 的最小值和最大值，由此求得EMF ∆面积的取值范围.
解法二：根据曲线1C 表示的曲线，利用圆的几何性质求得圆1C 上的点到直线l 的距离的最大值和最小值，进而求得EMF ∆面积的取值范围. 【详解】
（1）因为曲线C 的参数方程为2cos ,
sin x y αα
=⎧⎨
=⎩（α为参数），
因为11,2x x y y =⎧⎨=⎩则曲线1C 的参数方程11
2cos ,
2sin x y αα=⎧⎨
=⎩ 所以1C 的普通方程为22
114x y +=.所以曲线1C 为圆心在原点，半径为2的圆.
所以1C 的极坐标方程为2
4ρ=，即2ρ=.
（2）①点E 的极角为
2
π
，代入直线l 的极坐标方程cos sin 50ρθρθ+-=得点E 极径为5ρ=，且||5EF =，所以EOF ∆为等腰三角形， 又直线l 的普通方程为50x y +-=， 又点F 的极角为锐角，所以4
FEO π
∠=，所以38
FOE π∠=
， 所以点F 的极角为
32
88
π
ππ-
=. ②解法1：直线l 的普通方程为50x y +-=. 曲线1C 上的点M 到直线l 的距离
d ==
. 当sin 14πα⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭，即24
k π
απ=+（k ∈Z ）时， d
2=-.
当sin 14πα⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭，即324
k π
απ=-（k ∈Z ）时， d
22=+.
所以EMF ∆
面积的最大值为
1
525224⎛⎫⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
；
所以EMF ∆面积的最小值为
1
525224⎛⎫⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭
；
故EMF ∆面积的取值范围5,544⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦
. 解法2：直线l 的普通方程为50x y +-=.
因为圆1C 的半径为2，且圆心到直线l 的距离
2d =
=，
因为
22
>，所以圆1C 与直线l 相离.
所以圆1C 上的点M 到直线l 的距离最大值为2d r +=
，
最小值为22
d r -=
-.
所以EMF ∆面积的最大值为
1
525224⎛⎫⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
；
所以EMF ∆面积的最小值为1
525224⎛⎫⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭
；
故EMF ∆面积的取值范围5⎤-⎥⎣⎦
.
【点睛】
本小题考查坐标变换，极径与极角；直线，圆的极坐标方程，圆的参数方程，直线的极坐标方程与普通方程，点到直线的距离等.考查数学运算能力，包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运算结果的检验与改进等.也兼考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养. 20．已知函数()24f x x x =+-，设()f x 的最小值为m. （1）求m 的值；
（2）是否存在实数a ，b ，使得22a b +=，12
m a b
+=？并说明理由. 【答案】（1）4（2）不存在；详见解析 【解析】 【分析】
（1）将函数去绝对值化为分段函数的形式，从而可求得函数的最小值，进而可得m. （2）由()122852b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫
++==++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，利用基本不等式即可求出.
【详解】
（1）()43,0244,0434,4x x f x
x x x x x x -≤⎧⎪
=+-=+<<⎨⎪-≥⎩
()04m f ∴==；
（2）()122852b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫++==++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 若a ，b 同号，8529b a a b ⎛⎫
=++≥
⎪⎝⎭
，不成立； 或a ，b 异号，8525b a a b ⎛⎫
=++<
⎪⎝
⎭，不成立； 故不存在实数a ，b ，使得22a b +=，12
m a b
+=. 【点睛】
本题考查了分段函数的最值、基本不等式的应用，属于基础题.
21．如图，已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，E F G ，，分别为AC PA PB ，，的中点，且
2AC BE =.
（1）求证：PB BC ⊥；
（2）设平面EFG 与BC 交于点H ，求证：H 为BC 的中点. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）要做证明PB BC ⊥，只需证明BC ⊥平面PAB 即可；
（2）易得PC ∥平面EFG ，PC ⊂平面PBC ，利用线面平行的性质定理即可得到GH ∥PC ，从而获得证明 【详解】
证明：（1）因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PA BC ⊥.
因为2AC BE =，所以BA BC ⊥.
又因为BA PA A ⋂=，BA ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB .
又因为PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥.
（2）因为平面EFG 与BC 交于点H ，所以GH ⊂平面PBC . 因为E F ，分别为AC PA ，的中点， 所以EF ∥PC .
又因为PC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ， 所以PC ∥平面EFG .
又因为PC ⊂平面PBC ，平面PBC I 平面EFG GH =， 所以GH ∥PC ， 又因为G 是PB 的中点， 所以H 为BC 的中点. 【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是 一道容易题. 22．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足πsin sin 3c A a C ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
. （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若ABC V 的面积为1a b -=，求c 和()cos 2A C -的值.
【答案】（Ⅰ）3π
；（Ⅱ）c =，()6
os 22c 1A C -=
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）运用正弦定理和二角和的正弦公式，化简πsin sin 3c A a C ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，即可求出角C 的大小； （Ⅱ）通过面积公式和 1a b -=，可以求出,a b ，这样用余弦定理可以求出c ，用余弦定理求出cos A ，根据同角的三角函数关系，可以求出sin A ，这样可以求出sin 2,cos 2A A ,最后利用二角差的余弦公式求出()cos 2A C -的值. 【详解】
（Ⅰ）由正弦定理可知：sin sin a c A C =,已知πsin sin 3c A a C ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，所以
sin sin sin (sin cos
cos sin )33
C A A C C π
π
⋅=⋅⋅+⋅，(0,)sin 0A A π∈∴≠Q ,
所以有sin tan 3
C C C C π
=⇒=⇒=
.
（Ⅱ）41
sin 12,132a S ab C ab a b b =⎧=⋅==-=⇒⎨=⎩
，由余弦定理可知：
2
2
2
2cos 13c a b ab C c =+-⋅=⇒
=222cos sin 21313
b c a A A bc +-==⇒==
, 211
sin 22sin cos 22cos 113
A A A A A =⋅=
=-=-, (
)cos 2cos 2cos sin 2s 1111
132i 6
n 2A C A C A C -
⨯+=+⋅=
-⋅=. 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函数关系，考查了运算能力.
23．已知数列{}n a 满足111221(),1n n n a a n a +*+=++∈=N ，等差数列{}n b 满足1224(2,3,)n n b n b n -+=+=L ， （1）分别求出{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列
114lg 2
{
}
1lg
n n n S b n
++-+的前n 项和为,n T 证明：<1n T ． 【答案】 (1) 21,2n n n a n b n =⋅-= （2）证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】
（1）因为11221()n n n a a n +*+=++∈N ，所以1122(12)n n n a a n +*+++=+∈N ， 所以
1111122n n n n a a ++++=+，即1111
122
n n n n a a ++++-=，又因为11a =， 所以数列1
{}2n n
a +为等差数列，且公差为1，首项为1， 则
1
1(1)12
n n
a n n +=+-⨯=，即21n n a n =⋅-. 设{}n
b 的公差为d ，则111122424n n n n n b b b n b b n d -----=-+-=-+=， 所以124n b n d -=-+（2,3,n =L ），则2(1)4n b n d =+-+（n *∈N ），
所以1[2(1)4](24)2n n d b b n d n d -=-=+-+--+=，因此2(1)422n b n n =+-+=， 综上，21,2n n n a n b n =⋅-=．
（2）设数列{2}n n ⋅的前n 项和为n M ，则234122232422,n n M n =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L
234512122232422,n n M n +=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L
两式相减得2341112121212122(1)22,n n n n M n n ++-=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯-⨯=-⋅-L
1(1)22n n M n +=-⋅+，所以1(1)22n n S n n +=-⋅+-，
设114lg 2
,
1lg n n n c n S b n
++=
-+则24lg 22112()2(1)lg 2(1)(2)12
n n c n n n n n +=
==-+++++， 所以111111112
2()2()11233412222
n T n n n n =⨯-+-++
-=⨯-=-<++++L .。