2020高考理科数学押题密卷解析版 (17)

方程为
．
（1）把曲线 和 的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线 上恰有三个点到曲线 的距离为 ，求曲线 的直角坐标方程． 23．如图，已知 AB 为⊙ O 的直径，直线 DE 与⊙ O 相切于点 E ， AD 垂直 DE 于点 D .若 DE 4 ，求切点 E 到直径 AB 的距离 EF ．
【参考答案】 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。） 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 利用直线 x ay 7 0 与直线 (a 1)x 2 y 14 0 互相平行的充要条件，即可求解出 a 的值. 【详解】 由题意得，直线 x ay 7 0 与直线 (a 1)x 2 y 14 0 互相平行，
20．已知实数 a 0 ，函数 f (x) 1 x2 a 1 x2 .
1 x2
1 x2
（1）当 a 1时，求 f (x) 的最小值;
（2）当 a 1时,判断 f (x) 的单调性,并说明理由；
（3）求实数
a
的范围，使得对于区间
2
5 5
,
2
5 5
上的任意三个实数
r、s、t
，都存在以
f (r)、f (s)、f (t) 为边长的三角形.
问积几何？”设每层外周枚数为 ，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为（）
1
A．121B．81C．74D．49
3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“ mn nm”类比得到“ a b b a ”；
②“ m nt mt nt ”类比得到“ a b c a c b c ”；
③“ m nt mn t ”类比得到“ a b c a b c ”．
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
4．如图为我国数学家赵爽 约 3 世纪初 在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现
在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同， 则 区域涂色不相同的概率为
运用复数的除法运算法则,先计算出 z 的表达式,然后再计算出 z .
【详解】
由题意复数 z 1 i 得 1 i = (1 i)2 1 2i i2 i ,所以 z =1.
1 i 1 i (1 i)(1 i)
2
故选 A
【点睛】
本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,
故选：
B.
【点睛】
本题主要考查利用直线的平行关系求直线参数，考查分类讨论的数学思想，解题时注意检验
两直线重合的情况.
2．B
解析：B
【解析】满足 ，第一次循环：
；满足 ，第二次循环：
；满足 ，第三次循环：
；满足 ，第四次循环：
；满足 ，第五次循环：
。故选 B。
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的运算法则可判断①②；根据等式左边与 c 共线、等式右边与 a 共线判
6
4．D 解析：D 【解析】 【分析】 利用分步计数原理求出不同的涂色方案有 420 种，其中， 区域涂色不相同的情况有 120 种，由此根据古典概型概率公式能求出 区域涂色不相同的概率． 【详解】
提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，
根据题意，如图，设 5 个区域依次为
A． bc b c 8
B． ab a b 16 2
C． 6 abc 12
D．12 abc 24
10．函数 f (x) 的定义域为 R ， f (0) 2 ，对 x R ，有 f (x) f (x) 1 ，则不等式
ex f (x) ex 1的解集为（）
A．x | x 0
B．{x | x 0}
18．已知正项数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 an 1是 4 与 Sn 的等比中项.
（1）求an 的通项公式；
（2）求数列
1
an
n1 n an1
的前
2n
项和
T2n
.
19．
设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a=2bsin
A.
（Ⅰ）求 B 的大小；
（Ⅱ）求 cos A sin C 的取值范围.
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。）
1．直线 x ay 7 0 与直线 (a 1)x 2 y 14 0 互相平行，则 a 的值是（）
A．1
B． 2
C．1或 2
D． 1或 2
2．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，
，若
，则整数 （）
A．99
B．100
C．101
D．102
2
9．已知 ABC 的内角 A 、 B 、 C 满足 sin 2A sin A B C sin C A B 1 ，面积 S 满足
2 1 S 2 ，记 a 、 b 、 c 分别为 A 、 B 、 C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（）
12．设 是直角坐标平面上的任意点集，定义
．若
，则称
点集 “关于运算*对称”．给定点集
，
，
，其中“关于运算*对称”的点集个数为
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13．当实数 a,b 变化时，两直线 l1 : (2a b)x (a b) y (a b) 0 与 l2 : m2x 2 y n 0 都通过 一个定点，则点 (m, n) 所在曲线的方程为_________；
A．
B．
C．
D．
5．复数 z 1 i ，则|z|=() 1 i
A．1
B．2
C． 2
D．2 2
6．点 P 为棱长是 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的内切球 O 球面上的动点，点 M 为 B1C1 的中
点，若满足 DP BM ，则动点 P 的轨迹的长度为()
A． 5 5
B． 2 5 5
（一）必考题：共 60 分。
17．如图，设
F
是椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）的左焦点，直线： x
a2 c
与
x
轴交于
P
3
点， AB 为椭圆的长轴，已知 AB 8 ，且 PA 2 AF ，过点 P 作斜率为 1 直线 l 与椭圆 C 相 4
交于不同的两点 M、N.
（Ⅰ）求 MN ；
（Ⅱ）证明： MFA NFB .
C． 4 5 5
D． 8 5 5
7．已知定义在 R 上的函数 f x 在 , 4 上是减函数，若 g x f x 4 是奇函数，且
g 4 0 ,则不等式 f x 0 的解集是（）
A． , 8 4,0
B．8, 4 0,
C．8, 40,
D．8, 0
8．设 表示不超过 的最大整数，已知数列 中， ，且
种选择，
不同的涂色方案有
种，
区域涂色不相同的概率为
,故选 D．
【点睛】 本题考查古典概型概率公式的应用，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是 中档题．在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数 ，其次求
7
出概率事件中含有多少个基本事件 ，然后根据公式 求得概率.
5．A 解析：A 【解析】 【分析】
断③.
【详解】
根据数量积的运算性质可知①②是正确的；
因为 a b 与 b c 运算结果都是一个实数，
所以等式 a b c a b c 中，等号左边表示与向量 c 共线的向量；
等号右边表示与向量 a 共线的向量，二者不一定相等，故③错误，故选 C． 【点睛】 本题主要考查类比推理的应用以及平面向量数量积的运算法则，属于基础题.类比推理是指依 据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类对象上去，一般 步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的 性质，得出一个明确的命题.
,分 4 步进行分析：
，对于区域 ，有 5 种颜色可选；
，对于区域 与 区域相邻，有 4 种颜色可选；
，对于区域 ，与 区域相邻，有 3 种颜色可选；
，对于区域 ，若 与 颜色相同， 区域有 3 种颜色可选，
若 与 颜色不相同， 区域有 2 种颜色可选， 区域有 2 种颜色可选，
则区域 有
种选择，
则不同的涂色方案有
所以由VC DON
VODCN
,可得
1 3
1 2
ON
1 2
DD1
1 2
AC
1 1 CD CN h 32
代入可得 1 1 2 1 2 1 1 2 5 h ,解得 h 5
32
32
5
正方体的内切球半径为 R 1
由圆的几何性质可得所截小圆的半径为 r
在平面 BB1C1C 中, CN BM 由题意可知 DP BM ,
8
CN 为 DP 在平面 BB1C1C 内的射影,所以直线 DP 在过点 D 且与 BM 垂直的平面内 又因为 P 在正方体内切球的球面上 所以点 P 的轨迹为正方体的内切球与过 D 且与 BM 垂直的平面相交得到的小圆,即 P 的轨迹为 过 D,C, N 的平面即为平面 CDKN 与内切球的交线 因为 D, O, N 位于平面 DD1B1B 内, 设 O 到平面 CDKN 的距离为 h
21．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 的中点，将△AED,△DCF 分
别沿 DE, DF 折起，使 A,C 两点重合于 P ，连接 EF , PB .
（1）求证： PB EF ；
（2）点
M
是
PD
上一点，若
PB
/
/
平面
EFM
，则
|说明理由. |
16．已知菱形 ABCD 的边长为 2, BAD 120 ,点 E 、 F 分别在边 BC,CD 所在直线
上,
BE
BC
，
DF
DC
,若
2
5 2
,则
AE
AF
的最小值___________．
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考
题，每个考题考上都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）
a a 1 1 2 0
5
a2 a 2 0
解得， a 2 或 a 1.
当 a 2 时，直线 x 2 y 7 0 与直线 x 2 y 14 0 互相平行，满足题意；
当 a 1时，直线 x y 7 0 与直线 2x 2 y 14 0 重合，不满足题意；
故 a 2 .
14．菱形 ABCD 边长为 6 ， BAD 60 ，将 BCD 沿对角线 BD 翻折使得二面角 C BD A 的 大小为120 ，已知 A 、 B 、 C 、 D 四点在同一球面上，则球的表面积等于__________．
15．在等比数列an 中，若 a3 a6 2 ， a4 a5 3 ，则 an __________.
4
（3）若 MD 3PM ，求二面角 M EF D 的余弦值.
（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一道题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。
22．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
，（其中 为参数，
），在极坐标系（以坐标原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴）中，曲线 的极坐标
C．{x | x 1或 x 1}
D．{x | x 1或 0 x 1}
11．已知球 O 的半径为 1， A, B 是球面上的两点，且 AB 3 ，若点 P 是球面上任意一点，则
PA PB 的取值范围是（ ）
A．[ 3 , 1] 22
B．[ 1 , 3] 22
C．[0, 1] 2
D．[0, 3] 2
较为基础.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据正方体的性质及 DP BM ,可判断点 P 的轨迹为平面 CDKN 与内切球的交线,即所得小圆
的圆周即为动点的轨迹.结合球的几何性质,即可求得小圆的周长,即为动点 P 的轨迹长度.
【详解】
根据题意,点 P 为棱长是 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的内切球 O 球面上的动点,点 M 为 B1C1 的 中点,设 BB1 中点为 N , AB1 中点为 K ,如下图所示:
种，
其中， 区域涂色不相同的情况有：
，对于区域 ，有 5 种颜色可选；
，对于区域 与 区域相邻，有 4 种颜色可选；
，对于区域 与 区域相邻，有 2 种颜色可选；
，对于区域 ，若 与 颜色相同， 区域有 2 种颜色可选，
若 与 颜色不相同， 区域有 2 种颜色可选， 区域有 1 种颜色可选，
则区域 有