第二章矩阵习题课
《线性代数》第二章矩阵(习题课)
13
8. 用初等变换法求矩阵的逆矩阵
定理： 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵. 推论1： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积
第二章 矩阵习题课
一. 主要内容 二. 典型例题 三. 测验题
1
一. 主要内容
1. 矩阵的定义
由m n个数 aij (i 1,2,,m; j 1,2,,n)
排成的m行n列的数表， a11 a12 a1n
简称m n矩阵.
记作
A
a 21
a 22
a 2n
例1：设矩阵
A
1 0
1
1
,
求与A可交换的所有矩阵。
分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求
解：设所求矩阵为 X 由 AX XA,
a
c
b
d
,
得
ac
c
b
d
d
a c
a b
c
d
c 0,a d
X
a 0
矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）
加法满足
1 交换律：A B B A.
2 结合律：A B C A B C . 3 A 0 A,其中A与O是同型矩阵. 4 A A O.
3
线性代数讲解习题课
place定理 place定理 是一个n阶行列式 中取某K行 或列 或列), 是一个 阶行列式， 中取某 定义 设D是一个 阶行列式，在D中取某 行(或列 则含于此k阶行 或列)中的所以 阶行(或列 中的所以k阶子式与其代数余子 则含于此 阶行 或列 中的所以 阶子式与其代数余子 式的乘积之和恰好等于D.即 式的乘积之和恰好等于 即
设排列 该排列中在 ai右边比 (i=1,2,---,n). 于是
ai小的数有 ai −1− ki个
τ (anan−1 ⋯a2a1 ) = (a1 −1− k1 ) + (a2 −1− k2 ) +⋯+ (an −1− kn )
= (a1 + a2 +⋯+ an ) − n − (k1 + k2 +⋯+ kn )
1 对 、 角行 式 列 λ1 D= λ2 ⋱ λn
λ1 D= λn λ2 ⋰ = (−1)
n(n−1) 2
= λ1λ2 ⋯λn ;
λ1λ2 ⋯λn.
2、上、下 三角行列 式。 a11 a12 ⋯ a1n 0 a22 ⋯ a2n ⋮ 0 ⋮ 0 ⋱ ⋮ ⋯ ann a11 0 ⋯ a21 a22 ⋯ 0 0
D = N 1 A1 + N 2 A2 + ⋯ + N t At
其中 N1 , N 2 ,⋯ N t是D的被选定的k行(或列)所含的K阶 的被选定的k 或列)所含的K 子式, 子式, A1 , A2 ,⋯ At 分别是它们的代数余子式. t = C k 分别是它们的代数余子式.
n
二.几个重要的公式
3.设 3.设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则 阶方阵， 阶方阵，
a11 ⋯ a1m ⋮ ⋮ am1 ⋯ amm D= c11 ⋯ c1m ⋮ ⋮ cn1 ⋯ cnm 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮
矩阵及其运算课后习题答案(最新整理)
用数学归纳法证明:
当 k 2 时,显然成立. 假设 k 时成立，则 k 1时，
k
Ak 1
Ak
A
0
0
kk 1
k 0
k
(k 1) k 2 kk 1 k
2
0 0
1 0
0 1
k1 0 0
k 由数学归纳法原理知: Ak 0 0
kk 1
k 0
k(k 1) k2
2 kk 1
k
(k 1)k1
k 1 0
(k 1)k k1
2 (k 1)k1
k 1
9．设 A, B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BT AB 也是对称矩阵.
证明 已知： AT A
则
( ) ( ) BT AB T BT BT A T BT AT B BT AB
从而 BT AB 也是对称矩阵.
2 y3,
x3 4 y1 y2 5 y3,
y1 y2
3z1 z2 2z1 z3 ,
,
y3 z2 3z3,
求从 z1, z2 , z3 到 x1, x2 , x3 的线性变换．
解 由已知
x1 x2 x3
2 2 4
0 3 1
152
y1 y2 y2
2 2 4
0 3 1
y2 y2
故
y1 y2 y2
2 3 3
2 1 2
11 x1
53
x2 x3
7 6 3
4 3 2
9 7 4
y1 y2 y3
y1 y2
7x1 4x2 9x3 6x1 3x2 7x3
y3 3x1 2x2 4x3
2．已知两个线性变换
x1 x2
矩阵理论与应用(张跃辉)(上海交大)第二章参考答案
(0.0.3)
是 U + W 的一组基. 为此需要证明该向量组线性无关, 且 U + W 的任何向量均可由这些向量 线性表示.
设
k1α1 + k2α2 + · · · + krαr + br+1βr+1 + · · · + bsβs + cr+1γr+1 + · · · + ctγt = 0. (0.0.4)
0 = V0 ⊂ F α1 ⊂ (F α1 ⊕ F α2) · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αm) ⊂ · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αn) = V
显然是一个空间的真包含的链，其长度 m = n. 因此需证的等式成立。该等式说明线性空间的 维数是子空间按包含关系所形成的链的最大长度。
3. (1) 设 V 是线性空间, U 与 W 是 V 的两个子空间. 证明：
dim (U + W ) = (dim U + dim W ) − dim (U ∩ W ).
(2) 设 V 是有限维线性空间. 证明并解释下面的维数公式: dim V = max{m | 0 = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vm−1 ⊂ Vm = V, Vi 是 Vi+1 的真子空间}
5. 设
112
A = 0 1 1 ,
134
求 A 的四个相关子空间. 解：
R(A) = [(1, 0, 1)T , (1, 1, 3)T ], R(AT ) = [(1, 0, 1)T , (0, 1, 1)T ], N (A) = [(−1, −1, 1)T ], N (AT ) = [(−1, −2, 1)T ]
线性代数第2章习题课
一般地， 注：一般地，对于 n 阶方阵 A 有 A = A
.
1 0 0 例6. 设 A = 2 2 0 ，则 (A* )-1 = 3 4 5
A/10
.
第一章
16
知识点6： 知识点 ：矩阵的秩
k 1 1 1 k 1 1 1 k
例7. 设 A =
p.100 习题 习题27
第一章
7
分块矩阵的乘法
p.100 习题31 用分块矩阵乘法求下列矩阵的乘积： 习题31 用分块矩阵乘法求下列矩阵的乘积：
1 −2 0 0 1 −1 1 1 1 0 = A1 (1) A 0 3 2 0 −1 3
A2 B1 B2 A1 B1 = A B A4 O B4 3 1
A1B2 + A2 B4 A3 B2 + A4 B4
p.100 习题32 习题32
第一章
8
知识点2： 知识点 ：转置与对称矩阵
例1. 设 A, B 均为 n 阶对称阵，则下列矩阵中不对称的是 B . 阶对称阵，
(A ) = A
* * n− 2
( A T )T = A
( A −1 ) −1 = A
三种运算符任意两个 任意两个可交换顺序 注：AT , A−1, A* 三种运算符任意两个可交换顺序
第一章
A P102 49
2
二、方阵的逆矩阵
1.方阵可逆的判定 1.方阵可逆的判定: 方阵可逆的判定: n 阶方阵 A 可逆 |A|≠0. A 是非奇异矩阵 . AB=I ( 或 BA =I ). A 与 In 相似， 相似， 即存在可逆阵P 即存在可逆阵 、Q，使得 ，使得PAQ= In. A 可以表示为若干初等矩阵的乘积 . r(A) = n . A 是满秩矩阵 .
分块矩阵、第二章矩阵习题课.doc
教案（首页）备课笔记附后urj二、分块矩阵的运算（与矩阵类似）特别地分块对角矩阵（与对角矩阵类似）0 03 00、 0-2 -b 求 |4 A 10,A -1 ,A4r 提示：|a| = |a』a 』=)0、 AA T=0、0、 /〔0 A)<0 A, 〔0 A,\AA 7' o*例 求证 A = 0^> A 1A = 0证明：必要性=> 显然充分性 <=设A = (。
] a 2… %)T"%)% 0 a; a 2 …％ % a[a x • • a\ % • • ♦ …就％ ♦ • • ♦特别地 a 1i a i = 0 (顶= 1,2,…〃) J J / c \"1 j即 用灼=(c 如,％，…勾)"?二嫌+出+…站=0.\a nl )得。
u = a 2j = = a nj = 0 (J = 1,2,…〃)所以 A = 0JJJ§矩阵的分块法（简介）一、矩阵的分块矩阵按行按列分块 A =（O| a 2… a n ） =A -1l0=3,0•.•人以二=0 故矿 0Cj= 0第三章矩阵习题课例2 设1 = (1,2,3),” = (1,?，!)电二6/”，求妃一本章小结1、矩阵概念特殊矩阵0,",A，行矩阵、列矩阵2、矩阵运算3、线性方程组的矩阵形式AX =b4、逆矩阵可逆的充要条件证明矩阵可逆的方法(1) AB = E (2) |ApO (3)可逆阵之积可逆5、解矩阵方程AX = B,XB = C二典型例题讲解「2 1]例1 设人= ，矩阵8满足BA = B + 2E求B-1 2提示B(A — E) = 2EB A-E =22 E B =2L 1 1)1 ——2 37提示A = a T j3= 2 \ —,时=33 - 1I 2 )= a T/3 [••• 0 =a T(/3 a’)。
…(时)』=3卜' W/3 = 3卜' A例3 设〃阶方阵+ B都可逆，求证人一】+3一'可逆，并求其逆矩阵提示A-】+ B'l = A" E + EB-i = + A^AB'1 = + (A"1 + Bi )-1 = (A-1 (A + B)B-】尸=B(A + A(2)\0 1)。
线性代数第二章习题课
3. 设A , B为 n 阶方阵，若E – AB 可逆，则E -BA 可 逆。 证：∵ (E – AB )A = A – ABA = A( E – BA ) ∴ (E – AB )A = A( E – BA ) 1 又 E – AB 可逆，上式左乘 (E AB) ∴ A = (E - AB)1 A( E – BA) 而 E = E – BA + BA = E – BA + B (E - AB) A( E – BA) 1 = [E +B (E - AB) A](E – BA ) ∴ E – BA 可逆，且
17. (P80-10) 解法1：直接求
A B B (BA E)
-1
1
1
1
B (B A)A
-1 1 1 -1
1
1
1 1
(A B ) [B (B A)A ]
A(A B) B
验证： (A1 B1 )A(A B) 1 B (E B1A)A-1A (A B) 1 B B1 (B A)E(A B) 1 B E
-1
A B = 6E + B
而A - E =
-1
-1
( A - E ) B = 6E
-1
3
4 7
-
1 0 0 0 1 0 0 0 1
2
=
3 6
∵ |A-1 - B| = 36≠0, ∴ ( A -1 - B)可逆，
故 B=6(A
-1
－1
2
－1
-E) = 6
3
6
=6
3
1 1 2 3 1 6
=
2 1
* *
1 *
1 1 A | A |n2 A | A | |A| |A|
矩阵及其运算习题
1 2 1
A 3 4 5 14
201
4 2 6
A1
1 A
A*
1 14
13 8
3 4
2 2
例7：设
2
A
1 0
0 1 0
0 0 1
0
0
4
0 0 1 2
求 A1
把A分块为
A
A1 0
1n 2 3 1n 6
例5：设
(1, 2,3),
(1,
1 2
,
1 3
),
A
T,
其中
T
为 的转置，求 An
解：
1
A
T
2
1
1 2
3
1
1 2
1 3
1
3
2
1
2 3
3
3 2
1
1
1 2
1 3
2 1
A21 0
2, 1
1 1
A22 0
3, 1
1 2
A23 2
4, 0
2 1
1 1
A31 4
6, 5
A32 3
2, 5
1 2
A33 3
2, 4
4 2 6
A*
13
3
2
8 4 2
第二章 矩阵及其运算习题课 术洪亮
矩阵是线性代数中非常重要理论 之一，它贯穿线性代数内容的始终， 在本章中首先介绍了矩阵的一些基础 知识，其主要内容可概括为：
线性代数课后习题答案第二章矩阵及其运算
第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y . 2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 及A T B .解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T.4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解)21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ;解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA . (2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0.(2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k. 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .8.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求A k .解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫.用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k kk k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明 因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以 AB =(AB )T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫⎝⎛5221;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθc o s s i n s i n c o s A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=θθθθc o s s i ns i n c o s *22122111A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθc o s s i ns i n c o s .(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 10011211 .12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232.(2)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X ;解1111012112234311-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解11110210132141--⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111.(4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012.13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x . 14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E , 或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1, )3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有|A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0, 从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明: (1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得 A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0. (2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到|A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1. 19.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B ,求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ,且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A ,所以(A -E )可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E ,B =-8(A *-2E )-1A -1=-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21,1 ,21(d i a g 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A ,且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-103006060060006603001010010000161.23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫⎝⎛+=222111B A O B B A A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521,即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A ,而 01111||||||||==D C B A , 故 |||||||| D C B A DC B A ≠.28. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4.解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A .29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1-⎪⎭⎫⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====snE BC OBC OAC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛---O A B O O B A O 111.(2)1-⎪⎭⎫⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A .30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.。
线性代数课后习题1-4作业答案(高等教育出版社)
= 1 2 −2 ====== 0 0 − 2 =0.
10
3
14
c1
+
1 2
c3
17
17
14
2 1 41
(2)
3 1
−1 2
2 3
1 2
;
5 0 62
解
2 3 1
1 −1 2
4 2 3
1 1 2
c4 − c2 =====
2 3 1
1 −1 2
4 2 3
0 2 0
r4 − r2 =====
2 3 1
2 2
52⎟⎠⎞⎜⎝⎛00
12 ⎟⎠⎞ = ⎜⎝⎛ 00
96⎟⎠⎞ ,
而
A2
−
B2
=
⎜⎝⎛
3 4
181⎟⎠⎞ − ⎜⎝⎛13
40⎟⎠⎞ = ⎜⎝⎛ 12
78⎟⎠⎞ ,
故(A+B)(A−B)≠A2−B2.
5. 举反列说明下列命题是错误的:
(1)若 A2=0, 则 A=0;
解 取 A=⎜⎝⎛00 01⎟⎠⎞ , 则 A2=0, 但 A≠0. (2)若 A2=A, 则 A=0 或 A=E;
4. 计算下列各行列式:
4 124
(1)1 10Fra bibliotek2 5
0 2
2 0
;
0 117
解
4 1 10 0
1 2 5 1
2 0 2 1
4 2 0 7
=cc=42=−−=7c=c33=10140
−1 2 3 0
2 0 2 1
−10 2
−14 0
4 =1
10
−1 2 3
−10 2 ×(−1)4+3
第二章矩阵
习题课一 （第二章） 内容介绍一、 第二章基本内容回顾 二、 讲评第二章练习题 三、 讲评第二章部分习题四、 讲评辅导材料第二章中部分典型题一、 第二章矩阵基本内容回顾§2.1 基本内容2.1.1 矩阵的运算1．矩阵的加法设,][,][n m ij n m ij b B a A ⨯⨯==则.][n m ij ij b a B A ⨯+=+2．矩阵的数乘.][n m ij ka kA ⨯=矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算，它们满足以下算律： ∙ ;A B B A +=+∙ );()(C B A C B A ++=++ ∙ );()(lA k A kl = ∙ ;)(lA kA A l k +=+∙ 。
A A k kA n为阶方阵|,|||= 3．矩阵的乘法设,][,][p n kj n m ik b B a A ⨯⨯==则,][,][p n kj n m ik b B a A ⨯⨯== 其中.,,2,1,,,2,1,1p j m i b aC kjnk ik ij ===∑=即矩阵C 的第i 行第j 列的元素等于A 的第i 行的元素与B 的第j 列对应元素乘积这和。
两个矩阵可乘的条件是：左边矩阵A 的列数等于右边矩阵B 的行数。
矩阵乘法与数的乘法有很大差异，它体现在∙ 矩阵乘法不满足交换律，即一般地，.BA AB ≠∙ 矩阵乘法含有非零的零因子，即既使0,0≠≠B A ，可能有.0AB =∙ 矩阵乘法不满足消去律，即由0,≠=A AC AB 不能导出.C B =矩阵乘法满足以下运 算律：∙ );()(BC A C AB =∙ ;)(,)(CA BA A C B AC AB C B A +=++=+ ∙ );()()(kB A B kA AB k == ∙ B A B A AB ,|,|||||=为同阶方阵。
4．矩阵的转置 设nn n n n a a a a a a a a a A2121222111211=则A 的转置为nnn nm m Ta a a a a a a a a A212222112111=矩阵转置满足以下算律： ∙ ;)(A A TT =∙ ;)(TTTB A B A +=+ ∙ ;)(TTTA B AB +=∙ |A ||A |T =，此时A 为阶方阵。
线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题2-1习题
例4 设三阶矩阵A, B满足关系 :
2 2 3
A1 BA
6
A
BA,
且A
0
2
2
0 0 2
求B .
解 A1BA BA 6A
A1 E BA 6A E A B 6A
B 6 E A 1 A
2021/4/22
24
1 2 3
EБайду номын сангаас
A
0
1
2
0 0 1
1 2 1
(E
A)1
1
A1(
0 );
( AT )1 ( A1 )T .
若 同 阶 方 阵A与B都 可 逆, 那 么AB也 可 逆, 且
( AB)1 B1 A1 .
若A可逆，则|A-1|=1/|A|，|A*|=|A|n-1
2021/4/22
9
（7） 分块矩阵
a). 分块矩阵的运算规则 b).对角分块阵的特性
2021/4/22
矩阵.
2021/4/22
12
伴随矩阵
A11 A21
An1
A
A12
A22
An2
A1n A2n
Ann
具有AA*=A*A=|A|E
2021/4/22
13
例1 设A a b , 试将f ( ) E A写成的
c d 多项式,并验证f ( A) 0.
解
a b f ( ) E A
2 12 9
0 0 0 3. 0 0 0;
0 0 0
2021/4/22
39
3 4 1 4 0 0 0 1 4 1 4 0 0 0
八、1. 0 0 1 2 0 0 ;
0 0 0 1 2
矩阵论课后习题答案
第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。
（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ， 则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。
（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。
矩阵理论第2章习题解答
第二章习题答案1．设a 1，a 2，…，a n 均为正数，nC x ∈，且Tn x x x x ),,,(21 =. 证明函数2/112][)(∑==ni i i x a x f在C n 上定义了一个向量范数.证明：(1) 正定性：对0≠∀x ，有f (x )>0，当x =0时，f (x )=0. (2) 奇次性：)(][][)(2/1122/112x f x a x a x f ni i i ni i i ⋅=⋅==∑∑==λλλλ.(3) 三角不等式：])([][)(122122∑∑==+++=+=+ni i i i i i i i ni iiiy x y x y x a yx a y x f)2()()()2()()(122122∑∑==⋅++≤⋅++≤ni i i i ni i i i y x a y f x f y x a y f x f∑∑∑===⋅++≤⋅++≤ni i i ni i i ni i i i i y a x a y f x f y a x a y f x f 12/1212/1222122)()(2)()()2()()( 222)]()([)()(2)()(y f x f y f x f y f x f +=⋅++=. 所以函数f (x )是一个向量范数.2. 证明：在R 1中任何向量范数x ，一定有x x λ= 0>λ.证明：对任意向量范数x ，根据向量范数的定义和性质，又因为1R x ∈，有x x x x λ=⋅=⋅=11，其中01>=λ.3. 设x 是P n 中的向量范数，nn P A ⨯∈，则Ax 也是P n 中的向量范数的充要条件为A是可逆矩阵.证明：必要性：如果矩阵A 不可逆，则存在0≠x ，使得0=Ax ，即0=Ax ，这与向量范数的正定性矛盾，所以矩阵A 可逆.充分性：矩阵A 可逆，对0≠∀x ，则0≠Ax ，所以0>Ax ，正定性满足；Ax Ax ⋅=λλ，奇次性满足；Ay Ax Ay Ax y x A +≤+=+)(，三角不等式也满足，故Ax 是向量范数.4. 证明 (1) 2/1)]([2A A tr A H m =;(2) 2m A与2x 是相容的；(3) a A 与1x 、2x 均相容； (4) {}22222min ,m m m m ABA BA B≤⋅.证明：(1) 设nn PA ⨯∈，令),,(1n A αα =. 根据定义有∑∑===n i nj ijm a A11222，∑==ni ijja 1222α，n j ,,1 =，所以有∑==nj mj A 1222α，同时有，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n Hn H n n H H n H n H HA A αααααααααααα111111)( ，所以有212)(m n j j H j H A A A tr ==∑=αα. (2) 见课本61页下.(3) 令()Tn x x x x ,,,21 =，nn ij Pa A ⨯∈=)(. 因为j n i nj ijji n i n j jijx ax a Ax ⋅≤=∑∑∑∑====11,111max11,11,}{max max x A x a n x a a ij ji nj j ni ij ji ⋅=⋅⋅≤⋅≤∑∑==. 所以，a A 与1x 相容;因为∑∑∑∑∑∑∑=======⋅=⋅≤+++=n i nj j nj ij n i nj j nj ij ni n in i i x a x a x a x a x a Ax112121121212221122)()(22222}{max }{max x a n x a n ij ijij ij⋅⋅=⋅⋅≤. 所以，a A 与2x 相容.(4) 令),,,,(1n j B βββ =，因为222j jA A ββ≤，n j ,,1 =，同时有222222212222221212222)(),,(m n nm n m BA A A A A AB=++≤++==ββββββ有上述结果有2222222)(m m HHm HH m Hm A B A B A B AB AB =≤==，所以(4)成立.5. 若rm PA ⨯∈，且r HE A A =，则12=A ，r A m =2.证明：根据定义1)()(2===E r A A r AH ；r E tr A A tr A H m ===)()(2.6. 设x ，Ax 的向量范数为2∙，证明：它对应的算子范数是{}n x Ax A σσσ,,,max max 212122 ===.证明：对任意矩阵A ，存在酉矩阵U ，V ，得到矩阵A 的奇异值分解A =UDV . 其中n σσ,,1 是矩阵A 的奇异值，D =diag(n σσσ,,,21 ). 根据定义，有)()())(()(222D r V D V r UDV UDV r A A r A H H H =====max{n σσσ,,,21 }.7. 若∙是算子范数，则 (1) 1=E ;(2) 11--≥AA ;(3) xAx Ax 011min ≠--=. 证明：根据算子范数定义xAxA x 0max≠=， (1) 1max max00===≠≠xxx Ex E x x ; (2) 111--≤==A A AAE ，11--≥AA ；(3) xx A A x 101max-≠-=，令x A y 1-=，则Ay x =，得AyyAy 01max ≠-=，从而xAxy Ay AyyA x y y 00011min minmax 1≠≠≠--===. 8. 设v A ，μA 是对应于两个向量范数v x ，v Bx x=μ的算子范数，B 可逆，则νμ1-=BAB A .证明：根据定义，有μμμxAx A x 0max≠=，把νμBx x=代入上式，得到ννμBx BAx A x 0max≠=，令y =Bx ，则y B x 1-=，则νννμ110max--≠==BAB y y BAB A y .9. 设a x ，b x 是C n 上的两个向量范数，a 1，a 2是两个正实数，证明 (1) c b a x x x =},max{; (2) d b ax x a xa =+21都是C n 上的向量范数.证明：需要证明(1)和(2)满足范数定义中的三个条件即可.(1) (正定性) 当0≠x 时，0>ax ，0>b x ，则0>c x ；当x =0时，0=a x ，0=b x ，则0=cx. 奇次性显然成立. (三角不等式)},m a x{},m a x{b b a a b a cy x y x y x y x yx ++≤++=+c c b a b a y x y y x x +=+≤},max {},max {. (1)证毕.(2) 正定性和奇次性同(1)，容易得到. 下面证明三角不等式：d d b b a a b a dy x y x a y x a y x a y x a yx +=+++≤+++=+)()(2121. 证毕.10. 证明F F A A A n≤≤21. 证明：因为22122)()()(F H n H A A A tr A A r A==+++≤=λλλ ，即F A A ≤2，其中i λ为半正定矩阵A H A 的特征值. 又由于22212)()(A n A A r n A H n F ⋅=⋅≤+++=λλλ ，即21A A nF ≤. 证毕. 11．设a A 是nn C ⨯上的相容矩阵范数，B ，C 都是n 阶可逆矩阵，且aB1-及aC1-都是小于或等于1，证明对任何nn CA ⨯∈a b BAC A =定义了nn C⨯上的一个相容矩阵范数.证明：首先证明a b BAC A =是一个矩阵范数。
线性代数第二章课后习题
习题二 （A ）1 请按要求写出下列相应矩阵（1）3E ； （2）35O ⨯； （3）()3,1,2.=-3Λdiag2 设矩阵221,301A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭a b c c ，若A B =，请确定a,b,c 的值. 3 设矩阵300012111=,,565042112A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝-⎭，求,,23A B B C A C -++.4 设3023=12531⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A ,求,2,3--+A E E A A E . 5 设矩阵3111110=21,=212031112AB ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求矩阵X ，使得()53X B AB X +=+. 6 计算下列乘积：（1）AB 与BA ，其中A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛600040002，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ； （2）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6543,2,1；（3）1023211231⎛⎫-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭；（4）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321,,x x x a a a a a a a a a x x x ；（5）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛32142143143243210110100101001000. 7 211312101⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭A ，230101211⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，求23-AB B ,T A B 及()T AB .8 设矩阵110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求n A ，其中n 为自然数.9 设列矩阵A =()T12,n a a a ，满足T 1,=n A A E 为n 阶单位矩阵，T 2n =-B E AA ，证明（1）矩阵B 是对称矩阵；（2）T=n BB E .证毕10 设矩阵31212,01234031A B ⎛⎫- ⎪⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，λ是实数，（1）计算λ-E A 和λ-E B ； （2）计算-E A λ和E B -λ.11 求下列方阵的逆矩阵 (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4231；（2）cos sin sin cos ⎛⎫ ⎪-⎝⎭θθθθ； （3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111011001； （4）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121； （5）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---6000340042102521. 12 解下列矩阵方程：（1）25323714⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X ； （2）211213*********-⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--⎝⎭X ；(3) 0314********X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝-⎭⎝-⎭⎝-⎭； (4) 010********0001201001010120-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭X ．13 设矩阵 1111111111111111⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭A . (1) 求2A ；(2) 证明矩阵A 可逆，并求1-A ；(3) 求*1()-A .14 已知k=A O （k 为正整数），证明()121---=++++k E A E A A A .15 若矩阵A 满足224--=A A E O ，试证 (1) 矩阵A 可逆，并求1-A ;(2) 矩阵+A E 可逆，并求1()-+A E . 16 利用逆矩阵解下列线性方程组：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3531322522321321321x x x x x x x x x ；(2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x ． 17 设矩阵A 和B 满足关系式2=+AB A B ，其中033011312A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵B . 18 设矩阵A 和X 满足关系式2+=-XA E A X ，其中120340567⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求矩阵X . 19（研2006数一，数二） 设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2=+BA B E ，则=B .20 （研2008数一，数二，数三） 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若3=A O ，则（ ）（A ）-E A 不可逆，+E A 不可逆； （B ）-E A 不可逆，+E A 可逆； （C ）-E A 可逆，+E A 可逆； （D ）-E A 可逆，+E A 不可逆.21 （研2009数一，数二，数三） 设,A B 均为2阶矩阵，,**A B 分别为,A B 的伴随矩阵.若2,3==A B ，则分块矩阵⎛⎫⎪⎝⎭O A B O 的伴随矩阵为（ ）（A ）32**⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O ； （B ）23**⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O ；（C ）32**⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O ； （D ）23**⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O .22 （研2010数二，数三） 设,A B 为3阶矩阵，且13,2,2,-==+=A B A B 则1-+=A B .23（研2012数二） 设A 为3阶矩阵，3=A ，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*=BA .24（研2013数一，数二，数三） 设()ij a =A 是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若()0,1,2,3ij ij a A i j +==，则=A .（B ）1（研2002数二） 已知,A B 为3阶对称矩阵，且满足124-=-A B B E ，其中E 为3阶单位矩阵.（1）证明：矩阵2-A E 可逆，并求()12--A E ；（2）若矩阵012012002B ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵A .2 设矩阵X 满足 12*-=+A X A B X ，其中111111111A ⎛⎫- ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，110101B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵X .3（研2003数二） 设3阶矩阵,A B 满足2--=A B A B E ，其中E 为3阶单位矩阵，011002021A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求B .4 设,A B 均为3阶矩阵，E 为3阶单位矩阵.已知2=+AB A B ，202040202⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，求()1--A E .5 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明： (1) 若0=A ，则*0=A ； (2) 1*-=n A A.6 设矩阵111222⎛⎫=⎪⎝⎭A A A O A ，其中ij A 是j i n n ⨯矩阵，证明矩阵A 可逆的充分必要条件是11A 及22A 均为可逆矩阵，并求1A -.7 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆，求1O O -⎛⎫⎪⎝⎭A B .8 求矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000000000121 n n a a a a 的逆矩阵，其中0≠i a ，n i ,,1 =.9（研2015数二）设矩阵101101a a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A 且3=A O .（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足--+22X XA AX AXA =E ，E 为3阶单位阵，求X .10 设n 阶矩阵,,A B C 满足n ===AB BC CA E ，求222++A B C .。
线性代数矩阵习题课
= 19 18 28 5 -13 11
线性代数习题课（一）
3、用初等变换将矩阵A化成阶梯形矩阵、
行最简形矩阵、及标准型 。
2 -1 -1 1 2
A= 1 1 -2 1 4 r1↔r2 4 -6 2 -2 4
3 6 -9 7 9
1 1 -2 1 4 2 -1 -1 1 2 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9
1 0 -1 1 0 1
线性代数习题课（一）
2、设n 维向量α =(a , 0 , … , 0 , a)T(a<0), A=E-ααT , B=E-ααT/a ,
其中A的逆矩阵为B，求a的值。
解：AB=E+(1-1/a-2a)ααT,
AB=E 1-1/a-2a =0 a=-1/2 ( a =1舍去)
1、设矩阵 A=
2 1
0 -2
4 4
1 3
B=
1 0
2 -2 2 -1
3 4
C=
3 2
4 -3
1 2
2 -1
则(1)A+B=
3 1
2 0
2 3
4 7
B-C=
-2 -2
-2 -3 5 -3
1 5
2A-3C= -5 -12 5 -4 -4 5 2 9
(2)若矩阵X满足A+2X=C ,
则X =(C-A)/2=
-1 0 3
k1 1 1
10、设A=
1 1
k 1
1 k
1 1
, 且r(A)=3,则 k = -3
11 1 k
线性代数习题课（一）
α
β
11、设三阶矩阵A= γ1 ,
γ2
B= γ1
工程数学-线性代数第五版课后习题答案
10 求下列矩阵的逆矩阵
(1)
1 2
2 5
解
A
12 25
|A| 1 故 A 1 存在 因为
A*
A11 A21
A12 A22
52 21
故
A 1 1 A* | A|
52 21
(2) cos sin
sin cos
解 A co s si n
a13 a23 a33 x3
(a11x1 a12x2 a13x3
a 12x1 a22x2 a23x3
x1
a13x1 a23x2 a33x3) x2
x3
a11 x12 a22 x22 a33 x32 2a12 x1x2 2a13 x1x3 2a23 x2x3
4 设A
12 13
B
10 12
问
(1)AB BA 吗 ?
所以有 x2 12 z1 4 z2 9 z3
x3 10 z1 z2 16 z3
11 1
1 23
2 设A 1 1 1 B 1 2 4
1 11
0 51
求 3AB 2A 及 ATB
11 1 1 2 3
11 1
解 3 AB 2 A 3 1 1 1 1 2 4 2 1 1 1
1 11 0 5 1
1 11
058 30 56
3 32 3
0
3 32
00
3
4 436 2
0
4 43
00
4
5 5 4 10 3
0
5 54
00
5
k k k 1 k (k 1) k 2
Ak
0
k
2 k k1
00
k
用数学归纳法证明
线性代数同步练习册—苏州大学
ii
目录
1
第一章 线性方程组与消元法
专业:
学号:
姓名:
一、选择题
1. 线性方程组 2x − y = 0, 的解的情形为（ ） −x + 2y = 3
A. 无穷多个解 B. 惟一解 C. 不存在
x1 − x2
+ 2x3
= −1,
2. 线性方程组
x2 − x3 = 2, 的解情形（ ）
2x1 + 2x3 = 2
.
−1 0
2. 设A = y=
12 ,B=
−3 4 .
2 5
x
3 10
y
, 且B = A−1，则x =
3. 设A, B, A+B 都是 n 阶可逆矩阵，则(A−1 + B−1)−1 =
二、解答题
11 0 0
4.
求矩阵A
=
0
1
0
0
的逆矩阵.
0 0 2 1
0 0 −1 −1
25
, .
26
第四章 矩阵的进一步讨论（3）
A. A−1 + B−1 B. A (A + B)−1 B C. (A + B)−1 D. A + B
二、填空题
3. 已知矩阵A = 1 −1 , B = −2 3 ,则ABT =
.
32
1 −2
−1
4. (1) 已知A和B均为可逆矩阵，则 0 A
=
.
B0
−1
(2) 已知A和B均为可逆矩阵，则 A 0
1
2
7
4.
已知α1
=
−2
,
α2
=
5
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a1n a2 n
.
2、数乘矩阵的运算规律
（设A、B为m n矩阵，、为数）
1 A A; 2 A A A; 3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的 线性运算.
s
i 1,2,m; j 1,2,, n,
并把此乘积记作
k 1
C Ams Bsn .
２、矩阵乘法的运算规律
1 ABC A BC ; 2 A B C AB AC , 4 AE EA A;
k个
B C A BA CA;
两个矩阵A aij 与B bij 为同型矩阵， 且对应元素相等
aij bij i 1,2,, m; j 1,2,, n,
则称A与B相等，记为A B.
几种特殊矩阵 (1)行数与列数都等于n的矩阵 A ，称为n阶 方阵.也可记作An. （7）对角阵
1 2
1 A B B A; 2 A B C A B C .
a11 a 21 3 A a m1 a12 a 22 am1 a1 n a2n aij , a mn
运算性质
1 AT A;
2 A n A;
( 4) AB BA .
3 AB A B ;
定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij 所 构成的如下矩阵
A11 A12 A A 1n
性质
A21 A22 A2 n
An1 An 2 Ann
第二章
矩阵
主要内容
典型例题 课后习题
基本概念
定义 1 m n个数ai j (i 1, 2, , m; j 1, 2, 排成的一个m行n列矩形数表：
, n)
a11 a21 am1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
称为m行n列矩阵或m n矩阵，简称矩阵。
矩阵的代数运算
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
称为矩阵A的负矩阵.
4 A A 0, A B A B .
二、数与矩阵相乘 1、定义 数与矩阵A的乘积记作 A或A , 规定为
a11 a A A 21 am 1
a12 a22 am 1
amn
T
4 AB BT AT .
T
设A为n阶方阵，如果满足A AT ,即 aij a ji ( i 1, 2, , n), 那么A称为对称阵
说明: 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.
如果 AT A 则矩阵A称为反对称的.
五、方阵的行列式
定义 由n阶方阵A的元素构成的行列式 叫做方阵A的行列式，记作|A|或det(A).
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B 使得AB=BA=E，则说矩阵A 可逆的，并把矩阵B 称为A的逆矩阵， A的逆矩阵记作 A1 . 定理1 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 定理2 矩阵A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 1 1 A A, A
三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
B bij 是一个 设 A a ij 是一个m s 矩阵， s n 矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B 的乘积 是一个m n 矩阵 C c ij ，其中
cij ai 1b1 j ai 2 b2 j ais bsj aik bkj
四、矩阵转置
定义
设A (ai j )是m n矩阵，矩阵 a11 a 12 a1n a21 a22 a2 n am1 am 2 amn
为矩阵A的转置，记为AT .
转置矩阵的运算性质
1 A
T T
A;
T
2 A B AT BT ; 3 A AT ;
（其中 为数）;
3 AB AB AB
5 若A是 n 阶矩阵，则 A k
为A的 k 次幂，即 m k m k mk k A A A A 并且 A A A ,A Amk .
m , k为正整数
注意 矩阵不满足交换律，即：
AB BA , k AB Ak B k .
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
AA A A A E .
六、共轭矩阵
（aij）为复矩阵时，用aij 表示aij的共 定义 当A 轭复数，记 A (aij )，称为 A A的共轭矩阵.
运算性质
(设A, B为复矩阵，为复数，且运算都是可行的）：
1 A B A B; 2 A A; 3 AB A B.
矩阵A与B的和记为作A B，规定为
a11 b11 a b 21 21 A B am 1 bm 1
a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2
a1n b1n a2 n b2 n amn bmn
2、矩阵加法的运算规律
主对角线元素为1，2， n， 其余元素为0的方阵称为对角阵.
diag 1 , 2 , , n n 0 1 0 0 1 0 E En 0 0 1
(8)方阵
称为单位矩阵（或单位阵）.
矩阵的加法
１、定义 设有两个m n矩阵，A ( Aij ), B ( Bij ), 那么矩阵