第二章矩阵习题课

1 A B B A; 2 A B C A B C .
a11 a 21 3 A a m1 a12 a 22 am1 a1 n a2n aij , a mn
三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
B bij 是一个 设 A a ij 是一个m s 矩阵， s n 矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B 的乘积 是一个m n 矩阵 C c ij ，其中
cij ai 1b1 j ai 2 b2 j ais bsj aik bkj
运算性质
1 AT A;
2 A n A;
( 4) AB BA .
3 AB A B ;
定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij 所 构成的如下矩阵
A11 A12 A A 1n
性质

A21 A22 A2 n

An1 An 2 Ann
称为矩阵A的负矩阵.
4 A A 0, A B A B .
二、数与矩阵相乘 1、定义 数与矩阵A的乘积记作 A或A , 规定为
a11 a A A 21 am 1
a12 a22 am 1
amn
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
AA A A A E .
六、共轭矩阵
（aij）为复矩阵时，用aij 表示aij的共 定义 当A 轭复数，记 A (aij )，称为 A A的共轭矩阵.
运算性质
(设A, B为复矩阵，为复数，且运算都是可行的）：
1 A B A B; 2 A A; 3 AB A B.
两个矩阵A aij 与B bij 为同型矩阵， 且对应元素相等


aij bij i 1,2,, m; j 1,2,, n,
则称A与B相等，记为A B.
几种特殊矩阵 (1)行数与列数都等于n的矩阵 A ，称为n阶 方阵.也可记作An. （7）对角阵
1 2
主对角线元素为1，2， n， 其余元素为0的方阵称为对角阵.
diag 1 , 2 , , n n 0 1 0 0 1 0 E En 0 0 1
(8)方阵
称为单位矩阵（或单位阵）.
矩阵的加法
１、定义 设有两个m n矩阵，A ( Aij ), B ( Bij ), 那么矩阵
a1n a2 n
.
2、数乘矩阵的运算规律
（设A、B为m n矩阵，、为数）
1 A A; 2 A A A; 3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的 线性运算.
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B 使得AB=BA=E，则说矩阵A 可逆的，并把矩阵B 称为A的逆矩阵， A的逆矩阵记作 A1 . 定理1 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 定理2 矩阵A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 1 1 A A, A
（其中 为数）;
3 AB AB AB
5 若A是 n 阶矩阵，则 A k
为A的 k 次幂，即 m k m k mk k A A A A 并且 A A A ,A Amk .
m , k为正整数
注意 矩阵不满足交换律，即：
AB BA , k AB Ak B k .
T
4 AB BT AT .
T
设A为n阶方阵，如果满足A AT ,即 aij a ji ( i 1, 2, , n), 那么A称为对称阵
说明: 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.
如果 AT A 则矩阵A称为反对称的.
五、方阵的行列式
定义 由n阶方阵A的元素构成的行列式 叫做方阵A的行列式，记作|A|或det(A).
矩阵A与B的和记为作A B，规定为
a11 b11 a b 21 21 A B am 1 bm 1
a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2
a1n b1n a2 n b2 n amn bmn
2、矩阵加法的运算规律
第二章
矩阵
主要内容
典型例题 课后习题
基本概念
定义 1 m n个数ai j (i 1, 2, , m; j 1, 2, 排成的一个m行n列矩形数表：
, n)
a11 a21 am1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
称为m行n列矩阵或m n矩阵，简称矩阵。
矩阵的代数运算
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
s
i 1,2,m; j 1,2,, n,
并把此乘积记作
k 1
C Ams Bsn .
２、矩阵乘法的运算规律
1 ABC A BC ; 2 A B C AB AC , 4 AE EA A;

k个
B C A BA CA;
四、矩阵转置
定义
设A (ai j )是m n矩阵，矩阵 a11 a 12 a1n a21 a22 a2 n am1 am 2 amn
为矩阵A的转置，记为Fra Baidu bibliotekT .
转置矩阵的运算性质
1 A
T T

A;
T
2 A B AT BT ; 3 A AT ;