高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试1306

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A
B =
（A ）{1}（B ）{1
2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
（A ）(31)
-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，
（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8
（4）圆
22
28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-
（B ）3
4-
（C ）3（D ）2
（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π
（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π
12个单位长度，则评议后图象的对称轴为
（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π
12 (k ∈Z)
（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，
若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=
（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=3
5，则sin 2α=
（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–7
25
（10）从区间[]
0,1随机抽取2n 个数
1x ,
2
x ，…，
n
x ，
1
y ，
2
y ，…，
n
y ，构成n 个数对()11,x y ，
()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有
m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
π的近似值为
（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n
（11）已知F1，F2是双曲线E 22
221x y a b
-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，
sin 211
3
MF F ∠=
,则E 的离心率为
（A
B ）
3
2
（C
D ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x
+=与()
y f x =图像的交点为
1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1
()m
i i i x y =+=∑
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=
45，cos C=5
13
，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.
（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+2）的切线，则b=。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如
[][]0.9=0lg99=1，.
（I ）求111101b b b ，，；
（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.
18.（本题满分12分）
某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
1 2 3 4 ≥5 保费
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 一年内出险次数
1 2 3 4 ≥5
概率
0.30 0.15 0.20 0.20 0.10
0. 05
（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=5
4，
EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=
（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆E:22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.
（I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.
（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数x
x 2f (x)x 2
-=
+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2
x =(0)x e ax a g x x -->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修41：集合证明选讲
如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.
(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；
(II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25.
（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（II ）直线l 的参数方程是（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣=，求l 的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x ∣+∣x+∣，M 为不等式f(x)＜2的解集. （I ）求M ；
（II ）证明：当a,b ∈M 时，∣a+b ∣＜∣1+ab ∣。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数34343i
z i
-=+
+，则z =（ ） A ．3i - B ．23i - C ．3i + D ．23i + 【答案】C 【解析】 试题分析：
()()()()
344334253333,343434325i i i
i z i z i i i i ----=+
=+=+=-∴=+++-，故选C. 考点：复数的运算.
2．已知条件p ：；条件q ：，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ） A . [21，＋∞) B. [9，＋∞) C.[19，＋∞) D.(0，＋∞) 【答案】B
考点：充分、必要条件的判断.
【方法点睛】本题考点为空间直线与平面的位置关系，重点考查线面、面面平行问题和充要条件的有关知识. 充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法： ①充分不必要条件：如果p q ⇒，且p q ⇐/，则说p 是q 的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果p q ⇒/，且p q ⇐，则说p 是q 的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果p q ⇒/，且p q ⇐/，则说p 是q 的既不充分也不必要条件.
3．在△ABC 中，若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．
1233AC AB + B ．5233AB AC - C ．2133AC AB - D ．21
33
AC AB +
【答案】A 【解析】
试题分析：由于BC AC AB b c =-=-，因此()
2221
3333
AD AB BD c BC c b c b c =+=+=+-=+． 考点：向量的加法法则．
4．设Sn 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则5
2
S S ＝ ( ) A. 11 B. 5 C.8
D.11
【答案】D 【解析】
试题分析：设等比数列{}n a 的公比为q ，∵6380a a +=，∴52
1180a q a q +=，∵31080a q q ≠∴+=，
，解得2q =-．∴()()52115211,11a q a q S S q
q
--==
--，∴
()()5
552
2212111112S q S q ---===----．故选D ． 考点：等比数列.
5．等差数列{}n a 中，，数列022112
73=+-a a a {}n b 为等比数列，且77b a =，则86b b 的值为（ ）
A ．4
B ．2
C ．16
D ．8
【答案】C
考点：等差数列.
【思路点睛】根据数列{}n a 为等差数列可知73112a a a =+，代入2
3711220a a a -+=中可求得7a ，再根
据{}n b 是等比数列可知22
6877b b b a ==代入()268log b b 即可得到答案．
6．函数2ln x
y x
=的图象大致为（ ） 【答案】D 【解析】
试题分析：函数的定义域为()(0,1) 1.⋃+∞.求导()()()()22
ln ln 'ln 1ln ln x x x x x y x x '⋅-⋅-'==，令0y '<可得 0x e <<，结合定义域可知()(0,1) 1.e ⋃令0y '>可得x e >，即函数ln x
y x
=
在()()0,1,1.e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，由图可知选D
考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.函数的图像.
7． 等差数列{n a }前n 项和为n s ，满足3060S S =，则下列结论中正确的是（ ） A ．45S 是n S 中的最大值 B ． 45S 是n S 中的最小值 C ．45S =0 D ．90S =0 【答案】D
考点：等差数列的性质.
8．若(,)4παπ∈，且3cos 24sin()4π
αα=-，则sin 2α的值为（ ） A ．79 B ．79- C ．19- D ．19
【答案】C 【解析】
试题分析：∵(
,)4παπ∈，且3cos 2si 4
)n(π
αα=-，∴223cos 3sin 2222αααα-=-，
∴cos sin 0αα-≠，所以()3cos sin 22αα+=，两边平方求得1
sin 29
α=-，故选C ．
考点：1.同角的基本关系；2.三角恒等变换.
9．若函数2
()sin 2(2)cos 2f x a x a x =+-的图像关于直线8
x π
=-,则()f x 的最大值为（ ）
A ．2
B 2或42． 422 【答案】B 【解析】
试题分析：∵函数()()2
sin 22cos2f x a x a x =+- 的图象关于直线8
x π
=-
对称，∴8
x π
=-
时，
函数
取得最值，∴()()2
24sin 2co (()244
)s a a a a ππ
-
+--=+-或 ()()224sin 2cos 244()()a a a a ππ-+--=-+-∴()()22241222
a a a a ⎡⎤=⎦+⎣+-- ，化简可得 220a a +-= ，解得1a =，或2a =-，所以()f x 的最大值为()2
422a a +-=或42，故选B ．
考点：三角函数的图像与性质.
10．如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M,若
OC mOA nOB =+，(0,0)m n >>2m n +=,则AOB ∠的最小值为（ ）
A ．
6B ．3π C ．2π D ．23
π
【答案】D
考点：1.三角函数的图像与性质；2.平面向量的基本定理及其意义． 11．a 为参数，函数2
283()()3
()3x a x a f x x a x a -+--=+⋅--⋅是偶函数，则a 可取值的集合是（ ）
A ．｛0，5｝
B ．｛-2,5｝
C ．｛-5，2｝
D ．｛1,｝ 【答案】C 【解析】
试题分析：因为函数2
283()()3
()3x a x a f x x a x a -+--=+⋅--⋅是偶函数，所以()()f x f x =-∴
O
A
B
M
C
22
283283()()3()3()()3()3x a x a x a x a f x x a x a f x x a x a -+----++-=+⋅--⋅=-=-+⋅++⋅，利用系数恒等关系
可知2832a a -=-．解方程得2a =或5-，故选C ． 考点：指数函数的性质.
【方法指导】本题主要考查了函数奇偶性的应用，在解决此类问题时，首先要掌握函数奇偶性的概念，利用()()f x f x =-和()()f x f x -=-恒等，找到参数的等式，接出方程，即可求出参数的值；本题同时还可以利用代入验证的方法解决.
12.已知函数2()ln(2)2x f x
x a
=--,(a 为常数且0≠a )，若)(x f 在0x 处取得极值，且2
0[2,2]x e e ∉++，
而2
()0[2,2]f x e e ≥++在 上恒成立，则a 的取值范围（ ） A ．242e e a +≥ B.242e e a +> C.e e a 22+≥ D.e e a 22+> 【答案】B
考点：1.利用导数求闭区间上函数的最值；2.函数恒成立问题；3.函数在某点取得极值的条件．
【思路点睛】本题主要考查了导数在不等式恒成立中的应用，解决本题是先求导函数，求得极值点，确定
函数的单调性，要使()0f x ≥在2
22e e ++⎡⎤⎣⎦，上恒成立，只需()2
112
20
a e f e ⎧++>+⎪⎨+≥⎪⎩
或 ()2
211
20
e a
f e ⎧+>++⎪⎨+≥⎪⎩a 的取值范围． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 13．若a ，b 均为非零向量，且(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a ，b 的夹角为．
【答案】3π 【解析】 试题分析：2()a b a -⊥ ，2()0a b a ∴-=⋅，22a a b ∴=⋅⋅，即2a a b =⋅ …①又
∵2()b a b -⊥ ，∴(20)b a b -=⋅∴22b a b =⋅⋅即2b a b =⋅ …②，令向量a b ， 的夹角为θ则
1
cos 2
a b
a b θ⋅==， 又由[]0θπ∈，，故3π
θ=，故答案为：3
π. 考点：平面向量的数量积.
14．将函数()sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-
<<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移4π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6
f π=． 【答案】22
考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换．
15．已知函数()(21)ln(1)f x x a x a =-+++的定义域为(1,)a --+∞， 若()f x ≥0恒成立，则a 的值是．
【答案】13
a =
【解析】
试题分析：当011x a <++≤ 时，1a x a --<≤- 时，有()ln 10x a ++≤，∵()0f x ≥，∴
12102a x a x
--+≤≤，，欲使()0x f x ∀≥，恒成立，则12a a -≥-，∴13
a ≥；当11x a ++> 时，x a >- 时，有()ln 10x a ++>，∵()0f x ≥ ，∴12102
a x a x --+>>，欲使()0x f x ∀≥， 恒成立，则
12a a -≤-，∴13a ≤；故13a =． 考点：1.恒成立问题；2.转化思想.
【思路点睛】对对数函数分类讨论：当011x a <++≤时，有()ln 10x a ++≤，欲使()0x f x ∀≥，恒成
立，则1 2a a -≥-；当时，x a >- 时，欲使()0x f x ∀≥， 恒成立，则12
a a -≤-，得出答案． 16．等比数列}{n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101
a a -<-。

给出下列结论：①01q <<；②9910110a a ⋅-<，③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198，其中正确的结论是．
【答案】①②④
考点：等比数列性质及求和.
【方法点睛】本题考查的知识点是等比数列的性质：若m n p q +=+,则有m n p q a a a a ⋅=⋅,同时还考查了不等式得性质．其中根据已知条件得到9910011a a ><，，是解答本题的关键，属于基础题
三、解答题：（70分）
17．（本是满分10分）
已知等差数列{}n a 满足：246a a +=，63a S =，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若*k N ∈，且32,,k k k a a S 成等比数列，求k 的值。

【答案】（Ⅰ）n a n =；（Ⅱ） 4.k =
考点：1.等差数列；2.等比数列.
18．（本小题满分12分） 已知函数21cos 2()sin sin()42sin()2x f x x a x x π
π+=+++- （Ⅰ）求函数y = f （x ）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x ∈ ［0，512
π］ 时，函数y = f （x ）的最小值为 212+，试确定常数a 的值． 【答案】（Ⅰ）()32,22,24224k k k k k ππππππππ⎡⎫⎛⎤---+⎪ ⎢⎭⎝∈⎥⎣
⎦Z ；（Ⅱ） 1a =± 【解析】 试题分析：首先利用恒等变换化简，)2()2sin()4f x a x π=+，（Ⅰ）由4x π+2k π∈［2π
-， 2k π()2k π-∈Z ］得2x k π∈［34π-，2k π()4k π+∈Z ］，sin()cos 02
x x π-=≠，据此求出函数的单调性；（Ⅱ）当5120x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，时，2,443x πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当44x ππ
+=时，函数()y f x =取得最小值，由此即可求出结果.
试题解析：21
cos 2()sin sin()42sin()2x f x x a x x π
π+=+++-
考点：1.三角恒等变化；2. 函数()sin y A x ωϕ=+的性质；3.三角函数的最值.
【方法点睛】本题主要考查了三角函数()()sin ,0y A x ωϕω=+>在特定区间上的最值问题，在解决这类问题时，一般先根据[],x a b ∈的取值范围，求出[],a x b ωϕωϕωϕ+++∈的取值范围，然后再作出三角函数在[],a b ωϕωϕ++上的大致图象，根据数形结合，即可求出三角函数()sin y A x ωϕ=+在特定区间上的最值.
19．（本是满分12分）
在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C ，，的对边，且2234sin
cos 229A C B +-= （Ⅰ）求cos B ；
（Ⅱ）若2AB =，点D 是线段AC 中点，且17BD =，若角B 大于60︒，求DBC ∆的面积.
【答案】（Ⅰ）1
3
或
2
3
；（Ⅱ）
22
考点：1.诱导公式；2.解三角形.
20．（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=2BC=4，BF=CF=AE=DE，EF=2，EF//AB，AF⊥CF。

（Ⅰ）若G为FC的中点，证明：AF//平面BDG；（Ⅱ）求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值。

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1 5
考点：1.线面平行的判定定理；2.线面垂直的判定定理；3.空间向量在立体几何中的应用.
21．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 、{}n b 满足：114a =
，1n n a b +=，121n n n b b a +=-。

（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若22(12)(13)n n n n n n a a c a a -=--，求数列｛n c ｝的前n 项和3.4n S ≥。

【答案】（Ⅰ）23n n b n +=
+；（Ⅱ）34
【解析】 试题分析：（Ⅰ）由于134
b =；121n n n b b a +=-，1n n a b +=，得121n n n b b a +=-1112n n a b ==+-可得
111111n n b b
+-
=---，∴111(1)(1)41311n n n n b b =+-⨯-=--+=----，可得11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为4，公差为1的等差数列，据此即可求出结果；（Ⅱ）由于113n n a b n =-=+，22(12)(13)
n n n n n n a a c a a -=-- 1112(1)2n n
n n --⋅+⋅，然后再利用裂项相消即可求出结果
考点：1.等差数列的性质；2.裂项相消求和.
22．（本小题满分12分）
设a 为实数，函数21()(1)x f x x e a x -=--
（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在3(,2)4上的最大值；
（Ⅱ）设函数1()()(1)x g x f x a x e -=+--，当()g x 有两个极值点1212,()x x x x <时，总有 '211()()x g x f x λ≤，求实数λ的值。

('()f x 为()f x 的导函数)
【答案】（Ⅰ）()11f =；（Ⅱ）21e e λ=+
∴()h x 在(34)2，上是减函数，又因()10h = ，
∴当)1(34x ∈， 时，()0h x > ，从而()'0f x >，这时()f x 单调递增，
当)2(1x ∈， 时，()0h x < ，从而()'0f x < ，这时()f x 单调递减，
∴()f x 在(34)2，的极大值是()11f = ．
（Ⅱ）由题意可知()21()x g x x a e -=- ，则()2121'22()()x x g x x x a e x x a e --=-+=-++ ．
考点：1.利用导数研究函数的极值；2.利用导数研究函数的单调性；3.利用导数求闭区间上函数的最值． 【方法点睛】对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数()f x ，利用m x f >)(恒成立m x f >⇔m in )(；m x f <)(恒成立m x f <⇔m ax )(，即可求出参数范围 .
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