2019-2020学年抚顺市六校联合体高二上期末数学试卷(文)含解析

2019-2020 学年辽宁省抚顺市六校联合体高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12 个小题，每题 5 分，每题只有一个正确答案）
1．（5分）在△ ABC中，∠ B=30°， b=10，c=16，则 sinC 等于
（）
A．B．±C．± D．
2．（5分）已知数列 {a n}} 知足 a n+1= a n，若 a4=8，则 a1等于（）
A． 1B．2C． 64 D． 128
3．（5 分）已知椭圆 x2+=1（b＞0）的离心率为，则b等于（）
A．3B．C．D．
4．（5 分）命题 p：若 a＜ b，则 ac2＜ bc2；命题 q：? x∈ R，x2﹣x+1≤0，则以下命题为真命题的是（）
A． p∧ q B．p∨q C．（￢ p）∧ q D． p∨（￢ q）
5．（5 分）函数 y= x2﹣ lnx 的单一递减区间为（）
A．（﹣ 1， 1）B．（﹣∞，﹣ 1）C．（﹣∞，﹣ 1）∪（ 0， 1）D．（0，1）
6．（ 5 分）已知双曲线﹣=1的左右焦点分别为 F1，F2，点 P是双曲线上一点，且?=0，则|PF1| 等于（）
A．B．C．D．
7．（5 分）以下说法中正确的个数是（）
①x＞2 是 x2﹣2x＞0 的必需不充足条件；
②命题“假如 x=﹣2，则 x 2+5x+6=0”的抗命题是假命题；
③命题“若 x≠1，则 x2﹣3x+2≠0”的否命题是“若 x=1，则 x2﹣3x+2=0”
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（5 分）过抛物线 y2=4x 焦点 F 的一条直线与抛物线交 A 点（ A 在 x 轴上方），且 |AF|=2 ，l 为抛物线的准线，点 B 在 l 上且 AB⊥l ，则 A 到 BF的距离为（）
A．B．2C．D．
9．（5 分）在△ ABC中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若=2，b2﹣a2= ac，则 cosB 等于（）
A．B．C．D．
10．（5 分）函数 y=（x﹣2）e x的最值状况是（）
A．有最大值 e，无最小值B．有最小值﹣ e，无最大值
C．有最大值 e，有最小值﹣ e D．无最大值，也无最小值
11．（5 分）函数 y=log a（ x﹣ 3）+1（a＞0 且 a≠ 1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny ﹣1=0 上，此中 m?n＞ 0，则的最小值为（）
A． 16 B．24 C． 25D． 50
12．（5 分）已知数列 {a n } 中， a1=2，n?a n+1﹣（ n+1）?a n=1，n∈N*．若关于随意的n∈N*，不等
式＜a 恒建立，则实数 a 的取值范围为（）
A．（3，+∞） B．（﹣∞， 3） C ．[3 ， +∞）D．（﹣∞， 3]
二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
13．（5分）若实数 x， y 知足，则 Z=2x﹣6y﹣ 1 的最大值是．
14．（5分）某船在 A 处测得灯塔 D 在其南偏东 60°方向上，该船持续向正南方向行驶 5 海里到 B 处，测得灯塔在其北偏东60°方向上，而后该船向东偏南 30°方向行驶 2 海里到 C 处，此时船到灯塔 D的距离为海里．（用根式表示）
15．（5 分）若实数 1，x，y，4 成等差数列，﹣ 2，a，b，c，﹣8 成等比数列，则=．16．（5 分）斜率为 1 的直线与椭圆+y2=1 订交与 A，B 两点，则 |AB| 的最大值为．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10 分）已知函数 f （ x） = x3﹣ ax2+bx+9，且 f ′（ x）=0 的两根分别为 1 和 3．
（1）求 f （ x）的分析式；
（2）求 f （ x）的极．
18．（12 分）在△ ABC中，角 A、B、C的分 a、b、c，且足 ccos（π B）=（b 2a）sin （C）
（1）求角 C的大小；
（2）若 c=，b=3，求△ ABC的面．
19．（12 分） 2020 学年，在国家新略的引下，北斗系作一国家高科技工程，一个开放型新
平台， 1400 多个北斗基站遍及全国，上万台套成星地“一网”，国
内定位精度所有达到米，部分地域达到分米，最高精度甚至能够到厘米或毫米．近来北斗三号工程耗 9 万元建成一小型，已知台从启用的第一天起使用，第 n 天
的修养护+99.5 （n∈N*）元，使用它直至“ 最合算”（所“ 最合算”是指
使用台器的均匀每日耗最少）止，一共使用了多少天，均匀每日耗多少？20．（12 分）
已知函数 f （ x） =3xlnx+2
（1）求函数 f （x）在（ 1， f （ 1））的切方程；
（2）随意的 x＞1，都有 f （x）≤ x2cx，求数 c 的取范．
22
21．（12 分）已知数列 {a n} 足 n≥ 2 ， a n﹣1+2a n =a n +1，且 a1=2， a n＞1（1）
求数列 {a n} 的通公式；
（2）求 T n=a1?2+a2?2+⋯ +a n?2的．
22．（12 分）点 M（，1）在C：=1（ a＞ b＞ 0）上，且点 M到两焦点的距离
之和 2
（1）求 C的方程；
（2）已知直 y=k（x+1）与 C订交于 A， B 两点，若 P（，0），求：定．
2019-2020 学年辽宁省抚顺市六校联合体高二（上）期末数学试卷
（文科）
参照答案与试题分析
一、选择题（本大题共12 个小题，每题 5 分，每题只有一个正确答案）
1．（5 分）在△ ABC中，∠ B=30°， b=10，c=16，则 sinC 等于（）
A．B．±C．±D．
【解答】解：△ ABC中，∠ B=30°， b=10，c=16，
由正弦定理得，=，
∴sinC===．
应选： D．
2．（5 分）已知数列 {a n}} 知足 a n+1= a n，若 a4=8，则 a1等于（）
A．1B．2C．64D．128
【解答】解：数列 {a n }} 知足 a n+1= a n，∴公比为．
∵a4=8，则 a1×=﹣8，解得 a1=64．
应选： C．
3．（5 分）已知椭圆 x2+=1（b＞0）的离心率为，则b等于（）
A．3B．C．D．
【解答】解：椭圆 x2+=1（b＞0）的离心率为，
可得，解得 b=．
应选： B．
4．（5 分）命题 p：若 a＜ b，则 ac2＜ bc2；命题 q：? x∈ R，x2﹣x+1≤0，则以下命题为真命题的是（）
A． p∧ q B．p∨q C．（￢ p）∧ q D． p∨（￢ q）
【解答】解：当 c=0 时，若 a＜ b，则 ac2＜bc2；不建立，故 p 是假命题，鉴
别式△ =1﹣4=﹣3＜0，则 ? x∈ R， x2﹣x+1≤0 不建立，即 q 是假命题，
则p∨（￢q）为真命题，其他为假命题，
应选： D
5．（5 分）函数 y= x2﹣ lnx 的单一递减区间为（）
A．（﹣ 1， 1） B．（﹣∞，﹣ 1）C．（﹣∞，﹣ 1）∪（ 0， 1）D．（0，1）
【解答】解：函数的定义域为 x＞0
∵y′=x﹣，
令 x﹣＜0，因为x＞0，进而得0＜x＜1，
∴函数 y= x2﹣㏑ x 的单一递减区间是（0 ， 1）．
应选 D．
6（． 5 分）已知双曲线﹣=1的左右焦点分别为 F1，F2，点 P是双曲线上一点，且?=0，则|PF1| 等于（）
A．B．C．D．
【解答】解：双曲线﹣=1 的左右焦点分别为
12
F（﹣ 3，0），F （3，0），a=2，
点 P 是双曲线上一点，且?=0，可知： PF2⊥ F1 F2，因此 |PF2 |==，由双曲线的定义可知：|PF 1|﹣|PF2|=4 ，因此 |PF1|=4+=．
应选： A．
7．（5 分）以下说法中正确的个数是（
2
①x＞2 是 x ﹣2x＞0 的必需不充足条件；
）
②命题“假如 x=﹣2，则 x 2+5x+6=0”的抗命题是假命题；
③命题“若 x≠1，则 x2﹣3x+2≠0”的否命题是“若x=1，则 x2﹣3x+2=0”A．0B．1C．2D．3
【解答】解：关于①，解不等式x2﹣ 2x＞0，得 x＞ 2 或 x＜0，
∴x＞2 是 x2﹣2x＞0 的充足不用要条件，①错误；
关于②，命题“假如 x=﹣2，则 x2+5x+6=0”的抗命题是
“假如 x2+5x+6=0，则 x=﹣2”，
解方程 x2+5x+6=0 得 x=﹣2 或 x=﹣3，∴抗命题是假命题，②正确；
关于③，命题“若 x≠1，则 x2﹣3x+2≠0”的否命题是
“若x=1，则x2﹣3x+2=0”，③正确；
综上，正确的命题是②③，共 2 个．应
选： C．
8．（5 分）过抛物线为抛物线的准线，点y2=4x
B 在 l
焦点
上且
F 的一条直线与抛物线交A 点（A 在x
AB⊥l ，则 A 到 BF的距离为（）
轴上方），且 |AF|=2，l
A．B．2C．D．
【解答】解：抛物线 y2=4x 焦点 F（1，0），准线为 l ： x=﹣1，设 A（x，y），由抛物线的焦点弦公式 |AF|=x+ ，则 x=1，
∴A（1，2），则∠ BAF=90°，
△ABF为等腰三角形，则 A 到 BF的距离为，
应选 A．
9．（5 分）在△ ABC中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若=2，b2﹣a2= ac，则 cosB 等于（）
A．B．C．D．
【解答】解：△ ABC中，=2，
由正弦定理得=2，c=2a；
又 b2﹣ a2 = ac，
由余弦定理，得
cosB=
=
=﹣+
=﹣+1
=．
应选： C．
10．（5 分）函数 y=（x﹣2）e x的最值状况是（）
A．有最大值 e，无最小值B．有最小值﹣ e，无最大值
C．有最大值 e，有最小值﹣ e D．无最大值，也无最小值
x
【解答】解：∵ y=f （x）=（x﹣2）e ，
令 f ′（ x） =xe x=0，解得 x=1，
当 x＜1 时， f ′（ x）＜ 0，函数 f （x）在（﹣∞， 1）上单一递减，
当 x＞1 时， f ′（ x）＞ 0，函数 f （x）在（ 1，+∞）上单一递加，
∴f （x）min=f （1）=﹣e，无最大值，
应选： B
11．（5 分）函数 y=log a（ x﹣ 3）+1（a＞0 且 a≠ 1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny
1=0 上，此中 m?n＞ 0，的最小（）
A． 16 B．24 C． 25 D． 50
【解答】解：令 x 3=1，解得 x=4， y=1，
函数 y=log a（ x 3） +1（ a＞0 且 a≠1）的象恒定点A（4，1），∴4m+n=1，
∴=（）（4m+n）=16+1+≥17+2=17+8=25，当且当故的最小 25，+
m=n=取等号，
故： C
12．（5 分）已知数列 {a n } 中， a1=2，n?a n+1（ n+1）?a n=1，n∈N*．若于随意的n∈N*，不等式＜a 恒建立，数 a 的取范（）
A．（3，+∞）B．（∞， 3） C ．[3 ， +∞）D．（∞， 3]
【解答】解：数列 {a n } 中， a1=2，n?a n+1（ n+1）?a n=1， n∈ N*．
可得==，
由=1，=，
=，⋯，==，
上边各式相加可得，
得=1，
=3＜3，
由于随意的 n∈ N*，不等式＜a恒建立，
可得 a≥ 3，
即有 a 的取范是 [3 ，+∞）．
故： C．
二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
13．（5 分）若实数 x， y 知足，则Z=2x﹣6y﹣1的最大值是﹣2．
【解答】解：由 Z=2x﹣6y﹣ 1 得 y= x﹣﹣，
作出不等式组对应的平面地区如图（暗影部分）：平移直线y=x﹣﹣，
由图象可知当直线，过点 A 时，直线 y= x﹣﹣，
的截距最小，此时z 最大，
由，解得 A（ 1，）
代入目标函数 Z=2x﹣ 6y﹣1，
得 z=2﹣ 3﹣ 2=﹣2．
∴目标函数 Z=2x﹣6y﹣1 的最大值是﹣ 2．
故答案为：﹣ 2．
14．（5 分）某船在 A 处测得灯塔 D 在其南偏东 60°方向上，该船持续向正南方向行驶 5 海里到 B 处，测得灯塔在其北偏东60°方向上，而后该船向东偏南30°方向行驶 2 海里到 C 处，此时船到灯塔 D的距离为海里．（用根式表示）
【解答】解：由题意可得，联合图象可得，∠BAD=60°，∠ABD=60°，∠FBC=30°，AB=5，BC=2，
∴BD=AB=5，∠ DBE=30°，∴∠ DBC=60，
由余弦定理可得
222
CD=BC+BD﹣2BC?CD?cos60°=25+4﹣2×5×2× =19，
∴CD= ，
故答案为：．
15．（5 分）若实数 1，x，y，4 成等差数列，﹣ 2，a，b，c，﹣8 成等比数列，则=．【解答】解：∵ 1， x， y， 4 成等差数列，
∴3（x﹣1）=4﹣1=3
∴x﹣1=1，
y﹣ x=1，
∵﹣ 2，a，b，c，﹣ 8 五个实数成等比数列，
2
∴b=﹣ 4， b=4（舍去，等比数列中，奇数项的符号同样，偶数项的符号同样）
∴=．
故答案为：﹣．
16．（5 分）斜率为 1 的直线与椭圆+y2=1 订交与 A，B 两点，则 |AB| 的最大值为．【解答】解：设直线 l 的方程为 y=x+t ，代入椭圆+y2=1，消去 y 得 3x2+4tx+2t 2﹣2=0，A，B 两点的横坐标为： x1，x2；
x1 +x2=﹣，x1x2=，
由题意得△ =（4t ）2﹣12（2t 2﹣2）＞ 0，即 t 2＜3．
弦长 |AB|=|x1﹣x2|=×=≤．当且仅当t=0时获得最大值．
故答案为：．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10 分）已知函数 f （ x） = x3﹣ ax2+bx+9，且 f ′（ x）=0 的两根分别为1和 3．
（1）求 f （ x）的分析式；
（2）求 f （ x）的极值．
【解答】解：（1）由题可知： f °（ x）=x2﹣2ax+b（2 分），
且 x2﹣ 2ax+b=0 的两根为 1 和 3，即，解得 a=2， b=3．
因此 f （ x） =﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）由（ 1）可知 f ′（ x） =x2﹣ 4x+3，f ′（ x）=0 的两根为 1 和 3，
x＜ 1 时， f ′（ x）＞ 0， 1＜ x＜ 3 时， f ′（ x）＜ 0，x＞ 3 时， f ′（ x）＞ 0，（ 6
分），即 x=1 是 f （x）的极大值点，极大值 f （1）= （8 分）
x=3 是 f （ x）的极小值点，极大值 f （ 3） =9（10 分）
18．（12 分）在△ ABC中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，且知足 ccos（π﹣ B）=（b﹣2a）sin（﹣C）
（1）求角 C的大小；
（2）若 c=，b=3，求△ ABC的面积．
【解答】（此题满分为 12 分）
解：（1）在△ ABC中， ccos （π﹣ B）=（b﹣2a）sin（﹣C），
即﹣ ccosB=（b﹣2a）cosC，（ 1 分）
由正弦定理得﹣ sinCcosB=（sinB ﹣2sinA ） cosC，（2 分）
可得： sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosC ，可得： sin （B+C）=sinA=2sinAcosC ，（3 分）
又因为在△ ABC中， sinA ≠0，
因此 2cosC=1，即 cosC= ，
因此 C=．（6分）
（2）在△ ABC中， c2=b2+a2﹣2abcosC，
2
因此 13=9+a﹣3a，解得 a=4 或 a=﹣1（舍去），（9 分）
19．（12 分） 2020 学年，在国家创新驱动战略的引领下，北斗系统作为一项国家高科技工程，
一个开放型创新平台， 1400 多个北斗基站遍及全国，上万台套设施构成星地“一张网”，国
内定位精度所有达到亚米级，部分地域达到分米级，最高精度甚至能够到厘米或毫米级．近来北斗三号工程耗费 9 万元建成一小型设施，已知这台设施从启用的第一天起连续使用，第 n 天
的维修养护费为+99.5 （n∈N*）元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指
使用这台仪器的均匀每日耗费最少）为止，一共使用了多少天，均匀每日耗费多少钱？
【解答】解：设一共使用了 n 天，均匀每日耗费为 y 元，
则 y=（3 分）
=≥2+99.75=399.75 （5 分）
当且仅当时，（ 8 分）
即 n=600 时 y 获得最小值 399.75 （元）（11 分），
因此一共使用了600 天，均匀每日耗费399.75 元﹣﹣﹣﹣（ 12 分）
20．（12 分）已知函数 f （ x） =3xlnx+2
（1）求函数 f （x）在（ 1， f （ 1））处的切线方程；
2
（2）对随意的 x＞1，都有 f （x）≤ x ﹣cx，务实数 c 的取值范围．
导数 f ′（ x）=3lnx+3 ，
函数 f （ x）在（ 1，f （1））处的切线的斜率 k 为 f ′（ 1）=3+3ln1=3，
又因为 f （1）=2，即切点坐标为（ 1， 2），因此切线方程为 y﹣2=3（x﹣
1），
即 3x﹣y﹣1=0；
（2）随意的 x＞1，都有 f （x）≤ x2﹣ cx，即 3xlnx+2 ≤ x2﹣cx，
可得 c≤=x 3lnx，
h（x）=x 3lnx，
h′（ x） =1+ =，
当 x＜1 ， h′（ x）＞ 0， 1＜x＜2 ， h′（ x）＜ 0，x＞2 ， h′（ x）＞ 0，即 h（x）的增
区（∞， 1）和（ 2， +∞），减区（ 1，2），
因此当 x＞1 ，函数 h（x）有最小 h（2）=1 3ln2 ，
c≤ h（ x）恒建立，即 c≤1 3ln2 ．
22
21．（12 分）已知数列 {a n} 足 n≥ 2 ， a n﹣1+2a n =a n +1，且 a1=2， a n＞1（1）
求数列 {a n} 的通公式；
（2）求 T n=a1?2+a2?2+⋯ +a n?2的．
22
【解答】解：（1）a n﹣1+2a n =a n
+1，
整理化可得（ a n1）2a2n﹣1=0，
可得（ a n1+a n﹣1）（a n 1 a n﹣1） =0，
又因 a n＞1，因此 a n1+a n﹣1＞0，
a n 1 a n﹣1=0，即 a n a n﹣1=1，
因此 {a n} 是公差 1，首 2 的等差数列，
即有 a n=a1+n 1=n+1；
（2）因 T n=a1?2+a2 ?2+⋯+a n ?2
=2?22 +3?23+⋯+（n+1）?2n+1，
34n+2
2T n=2?2 +3?2 +⋯+（n+1）?2，
两式相减得 T n=8+23+24+⋯+2n+1（ n+1）?2n+2
=8+（ n+1）?2n+2，
化可得 T n=n?2n+2．
22．（12 分）点 M（，1）在C：=1（ a＞ b＞ 0）上，且点 M到两焦点的距离之和 2
（1）求 C的方程；
（2）已知动直线 y=k（x+1）与椭圆 C订交于 A， B 两点，若 P（﹣，0），求证：为定值．
【解答】解：（1）由题意可得，解得a2=5，b2=，
即椭圆的方程为+=1；
（2）证明：设 A（x1， y1）， B（ x2，y2）．
联立，
化为（ 1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣ 5=0，
△=36k4﹣4（1+3k2）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，
∴x1+x2=，x1x2=．
∴y1y2=k2（x1+1）（x2+1） =k2（ x1x2 +x1+x2+1） =k2（++1） =﹣
∴? =（ x1 + ， y1）?（ x2+ ，y2）=（x1+ ）（ x2 + ） +y1y2，
=x1x2+（x1+x2）++y1y2，
=﹣﹣+
=+，
=﹣5+，
=。