用随机试验法计算欧拉常数e

为坐标轴，作曲线
y
=
1 x +1
。
自然常数 e 的模拟值
2.904846
2.813834
2.763077
2.699449
自然常数 e 的真实值
2.718282
相对误差
6.86%
3.52%
1.65%
1.01%
二、理论解释
设
S1
=
1
∫0
1 dx x +1
，由积分的定义知
S1
表示的为下图中阴影
部分的面积，设 S2 为 [0,1]×[0,1] 的正方形。
进行大规模的随机试验，且耗费的时间与精力较大，Monte
Carlo 方法在计算机上模拟的方法便于进行大规模的模拟。两
种随机模拟方法均表明：当试验次数较少时模拟得出的 e 值
偏差相对较大，当随机试验次数增加得到的 e 值误差明显减
小，因为通过多次试验可以减少偶然误差。但随机试验的方
法不便于进行大规模的试验，因此利用试验方法进行随机模
设定模拟次数 N；
产 生 N 个 [0,1]×[0,1] 内 的 随 机 点， 其 中 落 入 区 域
0
≤
x
≤
1, 0
≤
y≤
N
1 x +1
内
n
个；
计算 n
求出
e*
=
N
2n
计算机 Monte Carlo 方法模拟结果如下：
表 2 利用 VC++6.0 随机模拟出来的结果：
模拟次数Ｎ
100
500
1000
（作者单位：北京信息科技大学）
10
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5000
落入阴影部 分次数 n
73
340
701
3493
自然常数 e 的模拟值
2.584460
2.771349
2.688001
2.697147
自然常数 e 的真实值
2.718282
相对误差
4.92%
1.95%
1.11%
0.78%
由 Monte Carlo 方法在计算机上模拟的验证结果知：利
用随机试验方法求解欧拉常数 e 的方法切实可行，但不利于
年份
1850
1855
1894
1901
投针次数 5000
3204
1120
3408
π 的实验 值
3.1596
3.1553
3.1419
3.1415929
五、结语
本文通过随机模拟试验计算出欧拉常数 e 的值并借助计
算机利用 Monte Carlo 方法对试验结果加以验证。Monte Carlo
方法验证结果表明：利用随机试验方法求解欧拉常数 e 的方
蒲丰于 1777 年给出了计算圆周率 π 的方法：
π = 2bN na
其中，b 为针的长度，a 为两条平行线间的距离，N 为
总投针次数，n 为针与水平线相交次数。
历史上有许多科学家利用上述公式做过相同的投针试
验，得到的一些结果如下：
表 3 蒲丰投针的试验结果
实验者
Wolf
Smith
Fox
Lazzarini
○
用随机试验法计算欧拉常数 e
统计聚焦 统 计 与 管 理
二
一
毕艳辉 程希明
六
·
摘 要：近年来不少学者提出了多种方法计算欧拉常数
如上图，将白纸置于课桌，在其上约半米处将圆珠笔自
一
e 的值，本文作者基于随机模拟理论提出了一种计算欧拉常 由落下（笔尖朝下），记录总的落下次数 N 和笔尖朝下落入
数 e 的试验方法。理论上阐述了该试验方法的正确性并用蒙 特卡洛方法进行计算机模拟加以验证。试验和验证结果表明： 利用随机试验法计算欧拉常数 e 的方法切实可行且精度较高。
介绍了利用 Carleman 不等式和 Hardy 不等式进行近似计算
自然常数 e。本文设计了求解欧拉常数 e 的随机试验，给出
了实验的理论证明，并利用 Monte Carlo 方法在计算机上加
以验证。
一、随机试验方法求欧拉常数 e
试验描述：准备一张白纸和一支圆珠笔，在白纸上做边
长为 1 的正方形，以右下角顶点为原点，其中两条相邻的边
越精确。在以后的发展中随机模拟方法必将在其他各个领域 发挥着越来越重要的作用 [8]。
参考文献： [1] 庞荣波 . 浅谈自然常数 e 的命名者——欧拉 [J]. 科教 文汇 ,2009(1).DOI:10.3969/j.issn.1672-7894.2009.01.196. [2] 孙茂吉 . 自然常数 e[J]. 中国科技纵横 ,2013(14).DOI:10.3969/ j.issn.1671-2064.2013.14.215. [3] 唐崇禄 . 蒙特卡洛方法理论和应用 [M]. 北京 : 科学出 版社 ,2014. [4] 李鑫 , 王璐 , 林金花等 .4 种计算自然常数 e 的方法及 精度比较 [J]. 东北师大学报 ( 自然科学版 ),2010,42(4). [5]Xiaojing Yang, Yong-In Kim, Kueiming Lo. Approximation for constant e and its applications. Applied Mathematics and Computation, Volume 206, Issue 1, 1 December 2008, Pages 50-55. [6] 程登彪 . 计算机模拟蒲丰投针试验近似计算圆周率研究 [J]. 福建电脑 ,2012,28(11).DOI:10.3969/j.issn.1673-2782.2012.11.022. [7] 张淑梅 , 王睿 . 用随机模拟方法研究统计问题 [J]. 数 学通报 ,2009,48(1).DOI:10.3969/j.issn.0583-1458.2009.01.009.
拟就受到了限制。而 Monte Carlo 方法在计算机上模拟的方法
工作量非常小，而且模拟效果也非常好，便于进行大规模的
模拟得到更精确的结果。
四、历史上的蒲丰试验
法国科学家蒲丰（Buffon）最早设计了投针试验。它的
基本思想是：首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参
数等于问题的解；然后通过对模型或过程的观察或抽样试验 来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值 [7]。
家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。首次提到自然常数
e 的是约翰·纳皮尔 (John Napier) 于 1618 年出版的对数著作
附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算
出的一张自然对数列表。第一次用到自然常数 e，是莱布尼
茨于 1690 年和 1691 年给惠更斯的通信，以 b 表示。1727 年 欧拉开始用 e 来表示这个常数 。 [1][2]
历史上很多人借助数列极限、级数等方法求解自然常数
e，这些方法理论性较强，且人工计算量较大。国内外已经 有不少学者对自然常数 e 进行了研究。李鑫等人 [4] 介绍了利
用数列极限、级数、定积分和人的思维方式等 4 种方法计算 自然常数 e 并对计算精度进行了比较。Xiaojing Yang 等人 [5]
统计量的估计值 f ，因此
∑ ( ) ^
f
=
1
n
f
n i=1
Xi
依概率收敛到期望 u，即对于任意的 ε > 0 ，有
∑ lim
n→∞
p
1 n
n 1
f
( Xi ) − u
<
ε
=1 [6]
曲线
y
=
1 x +1
与二维坐标系内
[0,1]×[0,1]
的交点为
(0,1)
和
(1,0.5)。由
定
积分的
含义知
S1
法完全可行，但随机试验方法所需工作量较大，且不易进行
大量的随机试验次数，而计算机 Monte Carlo 方法大大减少了
所需工作量，且计算结果与随机试验结果相近。当前，随机
模拟方法主要应用于原子能、自然学科、金融经济、科学实
验等领域。随着计算机技术的飞速发展，计算机能进行的随
机模拟次数越来越多，随机模拟方法得到的结果也将会越来
一
N 的比值应该等于图中阴影部分的面积 S1 与整个正方形面
六 · 一
积
S2
的比值，即
N
S1 S2
=
n N
1
将相应的数带入得： ∫ 0
1 dx x +1
1
=
n N
，所以：
e* = 2 n 。
三、计算机 Monte Carlo 模拟方法验证
根据上述方法设计计算机随机模拟欧拉常数 e 的算法如
下（辅助软件为 VC++6.0）：
向 [0,1]×[0,1] 的平面内随机掷点，规定：
f
( Xi
)
=
0, ( y ≥ 1, ( y <
1) x +1
1) x +1
根据测度论相关理论知识，由于样本值 Xi 是独立同分
布的，所以统计量 f(Xi) 也是独立同分布的，如果存在统计量
的期望 E[f(Xi)]=u，^ 根据辛钦强大数定律，统计量的均值就是
=
1
∫0
x
1 +
dx 1
表示图中阴影来自部分的面9
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○
统计聚焦
统
计
与
管
理
积，S2=1×1=1 表示图中正方形的面积。
当向正方形区域 [0,1]×[0,1] 范围内进行足够多次随机投
二 n 点试验后落入图中阴影部分的次数n =∑ f (Xi)与整个试验次数 i =1
正方形内曲线下方的次数 n。则欧拉常数 e 的近似值为：
N
e* = 2 n
对上述方法进行随机模拟试验计算出来欧拉常数 e 的近
关键词：蒙特卡罗 随机模拟 概率 近似计算 e
似值如下：
基金项目：国家自然科学基金资助项目，项目名称：
表 1 利用随机试验方法模拟出来的结果：
11371354
试验次数 N
100
500
1000
5000
DOI：10.16722/j.issn.1674-537X.2016.01.003
落入阴影部 分次数 n
65
335
682
3501
引言
e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。又称为欧
拉数（Euler number），以世界著名数学家欧拉名字命名；
还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学