2006高数(非数学专业)经管类竞赛卷答案

2006高数(非数学专业)经管类竞赛卷答案
D
则（ A ）。

A. 0p >
B. 0p ≥
C. 0p <
D.
0p ≤
二、填空题（每题4分 共20分）
1．设函数)(x f 在),(δa 内二阶导数连续，且0)(≠'a f ，则
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛'---→)()(1)()(1lim x f a x a f x f a x 2()2[()]f a f a ''' 。

2．设)(x y y =由方程0233=-+xy y x 确定，曲线)(x y y =的斜渐近线
为
2
3
y x =--。

原方程为311()2()0y y x
x x
+-=，令x →∞时有
lim
1x y
a x
→∞==- 22
2lim()lim()lim
x x x xy
b y ax y x x xy y →∞
→∞
→∞=-=+=-+2
2
2lim
31()()x y x
y y x x
→∞==--+ 3．设1||<y ，则 ⎰--1
1||dx e y x x = 12(2)y e y e ey --+-。

11
11
||()()y x x x y
x y e dx y x e dx x y e dx ---=-+-⎰⎰⎰
11
1
()(2),
()y x y x y y
y x e dx e y e x y e dx e ey
---=-+-=-⎰
⎰
4．级数∑∞
=+
2)ln 1
sin(n n
n π是绝对收敛，还是条件收敛？ 条件收敛 。

5. 函数(,)z f x y =有222f
y
∂=∂，且'(,0)1,(,0)y f x f x x ==，
则(,)f x y
为 21xy y ++ 。

三、计算与证明题（共50分）
1．（10分）设)(r f 在10≤≤r 上连续，证明： 0)()(lim
1
222222=++⎰⎰
≤+∞
→y x n n dxdy y x f y x 证明：在极坐标系下，把重积分化为累次积分
⎰⎰
⎰⎰⎰++≤+==++1
1220
1
1
21
2
222
)(2)()()(22dr r f r dr r f r
d dxdy y x f y x
n n y x n πθπ
设|)(|max 1
0r f M r ≤≤=，则有
2
222|)()(|
01
1
21
222222+=≤++≤⎰
⎰⎰+≤+n M
dr r M dxdy y x f y x n y x n ππ
由夹逼定理，得证。

2. （10分） 设函数)(x f 在],[b a 上对],[,b a y x ∈∀，都有
β
|||)()(|y x M y f x f -≤-
其中0>M （为常数）
证明当1>β时，)(x f 恒为常数。

证： 由β
|||)()(|y x M y f x f -≤-得：1
|()()|
||||
f x f y M x y x y β--
≤--
对[,]x a b ∀∈，令y x →，得|()()|
lim
||
y x f x f y x y →-=-，即()0,
[,]f x x a b '=∀∈
因此，在上)(x f 恒为常数。

3. （10分）设)(x f 在]1,0[上连续可导，0)1()0(==f f ，证明
|)(|max 41
)(1
010
x f dx x f x '≤
≤≤⎰
证：由条件，知存在0M >，使得max |()|a x b
M f x ≤≤'=，对
[,]x a b ∀∈
由拉格朗日中值定理得：
()(0)()0f x f f x x
ξξ'-=<<，
()(1)()(1)1f x f f x x ηη'-=-<<
于是有(),()(1)(0,1)f x Mx f x M x x ≤≤-∈ 故
1111
()|()||()||()|((1)
x x x
x
f x dx f x dx f x dx f x dx M xdx x ≤=+<+-⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
21
()2
M x x =-+
易证函数212y x x =-+在[0,1]上的最小值为11()24
y =， 于是|)(|max 4
1)(1
01
0x f dx x f x '≤≤≤⎰
4．求由方程22222880x y z xz z +++-+=所确定的隐函数
(,)z z x y =的极值。

解：由00
x y z z =⎧⎨=⎩，得20x z y =⎧⎨=⎩，代入原方程解得 128
1,7z z ==-
故求得驻点为：1216
(2,0),(,0)7
M M -
在1M 处，2244
()0,0,1515B AC A -=-<=
>极小值为(2,0)1z z =-=
在2M 处，2244()0,0,1515B AC A -=-<=-<极大值为168
(,0)77
z z ==-
5．（10分）已知1
2
0(1)n
n a x x dx =-⎰，证明级数∑∞
=1n n a 收敛，并求其和。

解：1
202121
(1)(1)(2)(3)12(3)
n n a x x dx n n n n n n =-==-+++++++⎰
于是11211111[
]12(3)2233
n
n k S k k k m n ==-+=--++++++∑ 所以
111
lim 236
n n S →∞=-=，故级数∑∞
=1
n n a
收敛，且和为
1
6。

四、应用题（10分）
假设神舟宇宙飞船的返回舱距离地面1.5m 时，下降速度为14m/s,为平稳软着陆，返回舱底部的着陆缓冲发动机喷出烈焰，产生反推力,F ky y =为喷焰后下落的距离，使返回舱作减速直线运动，设返回舱质量为2400kg ，问k 为多大时才能使返回舱着陆时速度为零？ （不计空气阻力）
解：以地面1.5m 处为坐标原点，垂直向下为y 轴正方向，由牛顿第
二定律得 22d y
mg ky m dt -=
令22,
dy
d y dp
p p dt
dt dy
==，代入原方程，并分离变量，得 2()k p dp g y dy m =-
，积分得，222k
p gy y c m
=-+ 初始条件为：当0t =时， 1.5y m =，0|14/t dy
p m s dt ===
由初始条件代入解得98c =，因此
22
298k p gy y m
=-
+ 所以 22
298gy p k m y +-=，当 1.5,0dy
y m p dt ===时，代入解得 2240427/k kg s =。