2020高中数学 第二章 2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程学案 新人教A版选修1-1

2.2.1 双曲线及其标准方程
学习目标：1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“大于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，若|MF 1|－|MF 2|＝2a (常数)， 且2a <|F 1F 2|，则点M 的轨迹是什么？
[提示] (1)当距离之差的绝对值等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F 1，F 2，当距离之差的绝对值大于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M 在双曲线的右支上． 2．双曲线的标准方程
1．思考辨析
(1)在双曲线标准方程中，a ，b ，c 之间的关系与椭圆中a ，b ，c 之间的关系相同． (2)点A (1,0)，B (－1,0)，若|AC |－|BC |＝2，则点C 的轨迹是双曲线．
( ) (3)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2
b
2＝1中，a ＞0，b ＞0，且a ≠b .
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× 2．双曲线x 210－y 2
2
＝1的焦距为( )
A ．3 2
B ．4 2
C ．3 3
D ．4 3 D [c 2
＝10＋2＝12，所以c ＝23，从而焦距为4 3.]
3．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( )
【导学号：97792079】
A.x
2
25－y
2
24＝1 B.y 225－x 224
＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 D.
x 2
25－y 2
24＝0或y 2
25－x 2
24
＝0 C [b 2
＝c 2
－a 2
＝72
－52
＝24，故选C.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
若F 1，F 2是双曲线9－16
＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离． (2)若点P 是双曲线上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积． [思路探究] (1)直接利用定义求解． (2)在△F 1PF 2中利用余弦定理求|PF 1|·|PF 2|.
[解] (1)设|MF 1|＝16，根据双曲线的定义知||MF 2|－16|＝6，即|MF 2|－16＝±6. 解得|MF 2|＝10或|MF 2|＝22. (2)由x 29－y 2
16＝1，
得a ＝3，b ＝4，c ＝5.
由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2
＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102
＝(|PF 1|－|PF 2|)2
＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，
∴S △F 1PF 2＝1
2|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2
＝12×64×3
2
＝16 3.
[跟踪训练]
1．(1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( ) A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3 B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4 C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5 D ．|PF 1|2
－|PF 2|2
＝±4
A [|F 1F 2|＝4，根据双曲线的定义知选A.]
(2)已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋
|PA |的最小值为________.
【导学号：97792080】
9 [由双曲线的方程可知a ＝2，设右焦点为F 1，则F 1(4,0)．|PF |－|PF 1|＝2a ＝4，即|PF |＝|PF 1|＋4，所以|PF |＋|PA |＝|PF 1|＋|PA |＋4≥|AF 1|＋4，当且仅当A ，P ，F 1三点共线时取等号，此时|AF 1|＝－
2
＋4
2
＝25＝5，所以|PF |＋|PA |≥|AF 1|＋4＝9，即|PF |＋|PA |的最小值为9.]
(1)a ＝4，经过点A ⎝
⎛
⎭⎪⎫1，－4103；
(2)与双曲线x 216－y 2
4
＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；
(3)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上．
[思路探究] (1)结合a 的值设出标准方程的两种形式，将点A 的坐标代入求解．
(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 2
＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．
(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．
[解] (1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x 2
16－y 2b 2＝1(b >0)，把点A 的坐标代入，得b 2
＝－1615×1609<0，
不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 2
16－x 2b
2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2
＝9.故所求双曲
线的标准方程为y 216－x 2
9
＝1.
(2)法一：∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
∴c 2
＝16＋4＝20，即a 2
＋b 2
＝20 ①.
∵双曲线经过点(32，2)，∴
18
a
2
－4
b
2＝1 ②.
由①②得a 2
＝12，b 2
＝8，∴双曲线的标准方程为x 212－y 2
8＝1.
法二：设所求双曲线的方程为
x 2
16－λ
－
y 2
4＋λ
＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－4
4＋λ＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为x 212－y 2
8＝1. (3)设双曲线的方程为Ax 2
＋By 2
＝1，AB <0. ∵点P ，Q 在双曲线上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
9A ＋225
16
B ＝1，
2569A ＋25B ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
A ＝－1
16
，
B ＝1
9.
∴双曲线的标准方程为y 2
9－x 2
16＝1.
2．(1)与椭圆x 2
4＋y 2
＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )
A.x 24－y 2
＝1 B.x 2
3－y 2
＝1 C.x 2
2
－y 2
＝1 D ．x 2
－y 2
2
＝1
C [设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
4a 2－1b
2＝1
c 2＝a 2＋b 2＝3
，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝2，
b 2
＝1，
所以所求双曲线方程为x 2
2
－y 2
＝1.]
(2)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为
(0,2)，则该双曲线的方程是( )
A.x 2
4－y 2
＝1 B ．x 2
－y 2
4＝1
C.x 22－y 23
＝1 D.x 23－y 2
2
＝1 B [由双曲线的焦点可知c ＝5，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为F 2，则有PF 2⊥x 轴，且PF 2
＝4，点P 在双曲线右支上．所以PF 1＝
5
2
＋42＝36＝6，所以PF 1－PF 2＝6－4＝2＝2a ，所以a ＝1，b
2
＝c 2
－a 2
＝4，所以双曲线的方程为x 2
－y 2
4
＝1，选B.]
1．到两定点F 1，F 2的距离之差是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？ 提示：一支
2．求以两定点F 1，F 2为焦点的双曲线方程时，应如何建系？ 提示：以直线F 1F 2和线段F 1F 2的垂直平分线分别为x 轴和y 轴建系．
如图2­2­1，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立
适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．
图2­2­1
[思路探究] 建立平面直角坐标系→由已知条件得到边长的关系 →判断轨迹的形状→写出轨迹方程
[解] 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标
A ＝
|BC |
2R
，sin B ＝系，如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin |AC |2R ，sin C ＝|AB |
2R
(R 为△ABC 的外接圆半径)． ∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |，即|AC |－|BC |＝|AB |
2＝22<|AB |.
由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．
由题意，设所求轨迹方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(x >a )，
∵a ＝2，c ＝22，∴b 2
＝c 2
－a 2
＝6.
即所求轨迹方程为x
2
2－y
2
6＝1(x >2)．
3．如图2­2­2所示，已知定圆F 1：x 2
＋y 2
＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2
＋y 2
－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，
F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.
【导学号：97792081】
图2­2­2
[解] 圆F 1：(x ＋5)2
＋y 2
＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2
＋y 2
＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.
∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2
＝914.
∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2
914
＝1⎝
⎛⎭⎪⎫x ≤－32.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知m ，n ∈R ，则“mn ＜0”是“方程x 2m ＋y 2
n
＝1表示双曲线”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
C [方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，必有mn ＜0；当mn ＜0时，方程x 2m ＋y 2
n ＝1表示双曲线，所以“mn ＜0”是“方
程x 2m ＋y 2
n
＝1表示双曲线”的充要条件．]
2．以椭圆x
2
3＋y
2
4＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )
A.x 2
3－y 2
＝1 B ．y 2
－x 2
3＝1
C.x 23－y 24
＝1 D.y 23－x 2
4
＝1 B [椭圆x 23＋y 2
4
＝1的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，长轴的端点A 1(0,2)，A 2(0，－2)，所以对于所求双曲线
a ＝1，c ＝2，
b 2＝3，焦点在y 轴上，双曲线的方程为y 2
－x 2
3
＝1.]
3．若双曲线E ：x 29－y 2
16＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3
B [由题意知||PF 2|－3|＝6，即|PF 2|－3＝±6，解得|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．]
4．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 2
9
＝1的一个焦点，则m ＝________.
【导学号：97792082】
16 [由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29
＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52
，解得m ＝16.]
5．已知双曲线与椭圆x 227＋y 2
36＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求双曲线方程．
[解] 因为椭圆x 227＋y 2
36
＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A 点的坐标为(15，4)或(－15，4)，
设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
＋b 2
＝916a 2－15
b
2＝1，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
＝4b 2
＝5
，
所以所求的双曲线的标准方程为y 24－x 2
5
＝1.。