江西省抚州市临川第一中学2020届高三数学5月模拟考试试题文【含答案】

江西省抚州市临川第一中学2020届高三数学5月模拟考试试题 文
（满分：150分 考试时间：120分钟）
一、 选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一
个选项是符合题目要求的）
1．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知集合{}
0lg 2lg3P x x =<<,(){}
20Q x x x =->,则P Q 为（ ）
A ．()0,2
B ．()1,9
C ．()2,9
D ．()1,2
3．若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上,则⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
22sin πα的值等于（ ） A ．5
3-
B ．
5
3
C ．54
-
D ．
5
4 4.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )
A ．2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌
B ．2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高
C ．2019年我国居民每月消费价格逐月递增
D．2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降
5．如图所示的程序框图可以计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入10
n＝,则输出的结果是（）
A．
1111
4(1)
35717
P=-+-+⋅⋅⋅+B．
1111
4(1)
35719
P=-+-+⋅⋅⋅-C．
1111
4(1)
35721
P=-+-+⋅⋅⋅+D．
1111
4(1)
35721
P=-+-+⋅⋅⋅-
6．已知实数,x y满足约束条件
220
220
1,1
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪≥-≥-
⎩
,则2x y
+的取值范围是（）A．(3,6]
-B．[3,6]
-C．
3
(,6]
2
- D．
3
[,6]
2
-
7．在ABC
∆中,4
AC AD
=,P为BD上一点,若
1
3
AP AB AC
λ
=+,则实数λ的值（）A．
1
8
B．
3
16
C．
1
6
D．
3
8
8．函数
1
()ln||
1
x
f x
x
+
=
-
的图象大致为（）
9．将函数()
17
cos4
88
f x x
=+的图象向左平移
12
π
个单位长度,向下平移
7
8
个单位长度后,得到()
h x的图象,若对于任意的实数,
126
x
ππ
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
,()
h x
ω都单调递增,则正数ω的最大值为（）A．3B．
5
2
C．
7
3
D．
7
6
10．若将双曲线()22
:10x y C mn m n
-
=>绕其对称中心旋转6π后可得某一函数的图象,则双曲线C 的离心率等于（ ）
A ．
23
B ．3
C ．2或
23
D ．2或3
11．某同学自制了一套数学实验模型,该模型三视图如图所示.模型内置一个与其各个面都相切的球,该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候,随机往模型中投掷大小相等,形状相同的玻璃球,通过计算落在球内的玻璃球数量,来估算圆周率的近似值.已知某次实验中,某同学一次投掷了1000个玻璃球,请你估算落在球内的玻璃球数量（其中3≈π）（ ） A ．286
B ．289
C ．298
D ．302
12．已知数列{}n a 各项为正,12a =,2
11n n n a a a +=-+,记
12111n n
A a a a =
++⋯+,12111
n n B a a a =⋅⋅⋯⋅,则（ ）
A ．202020201
A B +> B ．202020201A B +< C ．2020202012A B -> D ．202020201
2
A B -< 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知c 5
5,4
7os ，
a c B ===,则sin A =______.
14．已知正实数a b ，满足236a b +=,则
2311
a b +--的最小值为______. 15．已知、A B 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右顶点,F 是C 的右焦点,点P 在C 上
且满足PF OF ⊥（O 为坐标原点）,线段AP 交y 轴于点M ,连线段BM 交PF 于点N ,且
MN 2NB =,则椭圆C 的离心率为______.
16．已知函数()211ln x f x k x k x -⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭,[
)1,k ∈+∞,曲线()y f x =上总存在两点
()11,M x y ,()22,N x y ,使曲线()y f x =在,M N 两点处的切线互相平行()12x x ≠,则
12x x +的取值范围为______.
三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期,我市教育局提出“停课不停学”的口号,鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系,在高三年级中随机选取45名学生进行跟踪问卷,其中每周线上学习数学时间不少于6小时的有20人,在这20人中分数不足120分的有4人；在每周线上学习数学时间不足于6小时的人中,在检测考试中数学平均成绩不足120分的占
1625
： （1）请完成22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学
习时间有关”；
（2）在上述样本中从分数不足于120分的学生中,按照分层抽样的方法,抽到线上学习时间不少于6小时和线上学习时间不足6小时的学生共5名,若在这5名学生中随机抽取2人,求这2人每周线上学习时间都不足6小时的概率.（临界值表仅供参考）
2
0()P K k ≥ 0.10 0.05
0.025 0.010 0.00
5 0.001 0k
2.70
6
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中n a b c d =+++）
18．（本小题满分12分）已知正项单调递增的等比数列{}n a 中12313a a a ++=,且
1231
33
、、a a a 依次构成等差数列．
（I ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足12b =,()
*1(1)12,n n n b nb n n ---=≥∈N ,求数列{}n n a b -的前n 项和n S ．
19.（本小题满分12分）如图,ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面ABCD ,
AF ⊥平面ABCD ,33DE AF ==.
（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；
（2）点G 在DE 上,且1EG =,求平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积之比？
20．（本小题满分12分）已知抛物线2
E 2y px =：上一点()1,n 到其准线的距离为2．
（1）求抛物线E 的方程；
（2）如图A ,B ,C 为抛物线E 上三个点,()8,0D ,若四边形ABCD 为菱形,求四边形
ABCD 的面积．
21．（本小题满分12分）已知()()sin f x a x a R =∈,()x
g x e =.
（1）若=1a ,证明函数()()ln G x f x x =-+在()0,1单调递增；
（2）设()()()f x g x F x a
⋅= 0a ≠,对任意0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,()F x kx ≥恒成立,求实数k 的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
（t
为参数）．以坐标原点O 为极点,x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线(0)4
θρπ
=
>与l 和C 分别交于点,A B ,求||AB ．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知()|||2|
f x x x
=+-.
（1）求不等式
|4|
()
x
f x
x
>的解集；
（2）若()
f x的最小值为M,且22(,,)
a b c M a b c
++=∈R,求证：2224 9
a b c
++≥.
2020届临川一中暨临川一中实验学校高三文科数学月考答案
一、单选题
1-5．ADADB 6-10．BCDBC 11-12．BC 二、填空题
13
．
2
14．25 15． 23 16．()2,+∞
三、解答题
17．【答案】（1）见解析，有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）0.6 解：（1）
2
2
45(161694)8.712 6.635
25202520
K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯ ∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关” (6)
（2）抽到线上学习时间不足于6小时的学生16
5420
⨯
=人，设为1A ，2A ，3A ，4A 线上学习时间不足6小时的学生1人，设为1B
所有基本事件有：()21A A ，、()31A A ，、()41A A ，、()32A A ，、()42A A ，、()43A A ，、
()11A B ，、()21A B ，、()31A B ，、()41A B ，共10种 (8)
其中2人每周线上学习时间都不足6小时有：()21A A ，、
()31A A ，、()41A A ，、()32A A ，、()42A A ，、()43A A ，共6种 (10)
故2人每周线上学习时间都不足6小时的概率为
3
5
（或0.6）…………………………12 18.【答案】（I ）1
3
n n
a （Ⅱ）2331
2
n n n n S ---=
（I ）设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，由题可知133221131
323a a a a a a ⎧⎪
⎨+=++=⎪⎩
所以21112
11113
1323a a q a q a a q a q
⎧++=⎪⎨+=⎪⎩
，解得113a q =⎧⎨=⎩．所以11
13n n n a a q --=⋅=．…………………4 （Ⅱ）当2n ≥时，由1(1)1n n n b nb ---=知
1111
1(1)1n n b b n n n n n n
--==----． 于是
11
1n b b n n
-=-，所以31n b n =-．…………………………8 ()()2123123332
1
n n n n n n S a c a b b b b a -=+++
+-++--+⋅⋅⋅+=………………………
(12)
19．【答案】（1）见解析（2）3:11.
解：（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ， ∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ， ∵AB
AF A =，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面
DCE (4)
（2）过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接BG BM 、，
()1331
133213332322
ABCDEF B ADEF B CDE V V V --+⨯⨯=+=⨯⨯
+⨯⨯=，………………6 取DG 中点N ，连CN ，则1ND GN EG ===，且GM //N C 则M 为EC 中点，
133
1=
224EGM S ∆=⨯⨯
…………………………………………8 13139
3334324
E GFBM B EFG B EGM V V V ---∴=+=⨯⨯+⨯⨯= (10)
E-GFBM ABCDEF V 923
V 42114
∴
=⋅=
V 3
V 11
∴
=上下
………………………………12 20．【答案】(1) 2
4y x = ；(2) 32或165
（1）由已知可得122
p
+
=，得2p = 抛物线E 的方程为2
4y x = (4)
（2）设()11,A x y ，()22,C x y ，菱形ABCD 的中心()00,M x y ,当AC x ⊥轴，则B 在原点，
()4,0M ，
8AC =，8BD =，菱形的面积1322
S AC BD =⋅=，……………………………………6 当AC 与x 轴不垂直时，设直线AC 方程：x ty m =+，则直线BD 的斜率为t - 24y x x ty m
⎧=⎨=+⎩消去x 得：2440y ty m --=, 121244y y t y y m +=⎧⎨=-⎩,()22212122121224244
y y y y y y x x t m +-++===+………………8 202x t m =+，02y t =，∵M 为BD 的中点∴()
2428,4B t m t +-，
点B 在抛物线上，且直线BD 的斜率为t -． ()
()2221644282,028t t m t t t t m ⎧=+-⎪⎨=-≠⎪+-⎩解得：4m =，1t =±………………………………10 ()4,4B ±
，
BD =
,12AC y y =-===
12
S AC BD ==32s =
或12 21．【答案】（1）()G x 在(0,1)上单调递增（2）1k ≤
【详解】解：（1）()()ln G x f x x =-+= ()sin ln sin ln x x x x -+=-+，
()1'cos G x x x =-+ 1cos x x =-，由于()0,1x ∈，所以11x >，cos 1x <， 所以1cos 0x x
->，即()'0G x >在()0,1上恒成立，故()G x 在()0,1上单调递增 (4)
（2）()()()
sin x
f x
g x F x e x a ⋅==，由题意：对0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x e x kx -≥恒成立，
设()sin x h x e x kx =-，()'sin cos x x
h x e x e x k =+-………………………………6 又设()sin cos x x
m x e x e x k =+- 则()sin cos cos sin x x x x m x e x e x e x e x +-'=+ 2cos 0x e x =≥，因此()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
单调递增，
所以()()01m x m k ≥=-，………………………………8 1当1k ≤时，()0m x ≥，即()'0h x ≥，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
单调递增， 故有()()00h x h ≥=，即1k ≤适合题意.……………………………………9 2当1k >时，()010m k =-<，22m e k ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， 若20e k π-<，则取02x π
=，()000,x x ∈时，()0m x <， 若20e k π
-≥，则在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上()m x 存在唯一零点，记为0x ，当()00,x x ∈时，()0m x <， 总之，存在00,2x π⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦使()00,x x ∈时，()0m x <，即()'0h x <，所以()h x 单调递减，
()()00h x h <=，
故1k >时存在()00,x 使()0h x <不合适题意，综上，1k ≤为所求 (12)
22.【解析】（1）由82x t =
+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．（2分）
由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=． (5)
（2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠， 将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ
+-=≠， (7)
当()04θρπ
=>时，A ρ=，B ρ=，所以
|||||A B AB ρρ=-==． (10)
23.【解析】（1）当0x <时，|4|
()x f x x >等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立；
当02x <≤时，|4|
()x f x x >等价于24>，该不等式不成立；
当2x >时，|4|()x f x x >等价于2
224x
x >⎧⎨->⎩，解得3x >，…………………………3 所以不等式|4|
()x f x x >的解集为(,0)(3,)-∞+∞ (5)
（2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以
2M =,222a b c ++=， (7)
由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++, 当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以2224
9a b c ++≥ (10)。