辽宁省鞍山市2019年高考数学一模试卷(理科)含答案解析

辽宁省鞍山市2019年高考数学一模试卷（理科）（解析版）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1 .设U=R，集合M={ - 1, 1, 2}, N={x| - 1 V x V 2}，贝U N A M=（）
A . { - 1 , 2}
B . {1} C. {2} D . { - 1 , 1, 2}
2 .复数z=丄丄（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）
1
A. i
B. - i
C. 1
D. - 1
2
3 .抛物线y=2x的焦点坐标是（）
A•（亍0） B . （°，了） C . （°，石）D•（石，0）
4. 给出下列四个命题：
①若命题若」p则q”为真命题，则命题若」q则p”也是真命题
②直线a //平面a的充要条件是：直线a?平面a
③"a=1”是直线x- ay=0与直线x+ay=0互相垂直"的充要条件；
④若命题p：?x €R, x2- x - 1 > 0 “则命题p的否定为：?x €R, x2- x - 1切”
其中真命题的个数是（）
A . 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 已知MOD函数是一个求余数的函数，其格式为MOD （n, m），其结果为n除以m的
余数，例如MOD （8, 3）=2 .如图是一个算法的程序框图，当输入n=25时，则输出的结
果为（）
6.
设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a 1=1，公差d=2 , S n+2 - S n =36，贝U n=( )
A . 5
B . 6
C . 7
D . 8
内的概率为匚了，贝U k 的值为(
1 c 2
:C .:
7 •已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为
一二，则该锥体的俯视图可以是(
8 .在平面直角坐标系中，记抛物线 y=x - x 2与x 轴所围成的平面区域为 M ,该抛物线与直 线y=kx (k > 0)所围成的平面区域为 N ，向区域M 内随机抛掷一点 P ,
若点P 落在区域
A . 4
B . 5
C . 6
D . 7 A .
B .
c . D .
C 1「’ -「=1 (a > 0, b >0)与抛物线 C 2： y 2=2px (p > 0)相交于 A , B
a Z
b 2
AB 恰过它们公共焦点 F ,则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是
A
/ n A .(
,
n n JT n n JI —)B .(——，——)C . ( , —) D . ( 0, ) 2 4 3 6 4 6
11.已知点 G 是厶ABC 的外心，三； 壬、壬是三个单位向量，且2二+"；+「＞ ，如
图所示，△ ABC 的顶点B , C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动， 0是坐标
原点，贝U | 、：|的最大值为（ ）
A •二
B •—
C . 2
D . 3
12. 已知函数y=f (x )在R 上的导函数f' (x ) , ?x€R 都有f' (x )v x ，若f (4 - m )- f (m )为-4m ,则实数m 的取值范围为(
)
A . [ - 2, 2]
B . [2 , +s)
C . [0, + s)
D .(-汽-2] U [2 , +呵
二、 填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分）
13. ____________________________________________________________ （ 5分）（2006陕西）（2x -—L ）6展开式中常数项为 _____________________________________ （用数字作答）.
14 .已知x , y 满足• ,则z=2x+y 的最大值为 ______________ .
1
15. 数列｛a n ｝的通项公式为a n = n - kn ，若对一切的n €N 不等式如屯，则实数k 的取值范 围 ____________ .
9 .在三棱锥 S - ABC 中，侧棱 SC 丄平面 SAB , SA 丄BC ,侧面△ SAB , △ SBC , △ SAC 面积分别为 3
'3,则此三棱锥的外接球的表面积为( A . 14 n B .
12 n C . 10 n D . 8 n
10.双曲线
点，公共弦
16. 已知函数y=f （x）的定义域为R，当x＞0时，f （x）＞1,且对任意的x, y€R都有f
（x+y）=f （x） f （y）,则不等式 f （log x的解集为.
2 土
2
三、解答题：本大题共5小题，共60分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17. （12分）（2019鞍山一模）在厶ABC中，角A ,B,C对边分别为a, b, c,若bcosA+acosB= —2ccosC.
（I）求角C的大小;
(H)若a+b=6，且△ABC的面积为2 一，求边c的长.
18. ( 12分)(2019鞍山一模)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，
十位数字大于百位数字，则称n为三位递增数” (如137，359, 567等).
在某次数学活动中，每位参加者需从所有的三位递增数”中随机抽取一次，得分规则如下：若抽取的三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不
能被10整除，得-1分，若能被10整除，得1分.
(I)写出所有个位数字是5的三位递增数”，并求其发生的概率；
(H)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望.
19. ( 12分)(2019鞍山一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD，/ DAB
为直角，AB // CD, AD=CD=2AB=2 , E, F 分别为PC, CD 的中点.
(I)证明：AB丄平面BEF :
(H)设PA=h，若二面角E - BD - C大于45°求h的取值范围.
2 2
20. (12分)(2019鞍山一模)已知椭圆C: " +—三=1 ( a> b>0)的右焦点为F( 1, 0),
秦$
且过点(音，，J.过F作直线I与椭圆C交于不同的两点 A , B，设严船-入€[ - 2,
2 1
-1], T (2, 0)
(I)求椭圆C的标准方程；
(n)求I G+ i.：l的取值范围.
2 x
21. ( 12 分)(2019 鞍山一模)已知函数f (x) = (xlnx+ax+a - a- 1) e ,
(I)若a=0,求函数f (x)的单调区间；
(H)讨论f (x)在区间(一，+ a)上的极值点的个数；
e
(川)是否存在a,使得f (x)在区间(，+ ^) 上与x轴相切？若存在，求出所有a的值；若不存在，说明理由.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. ［选修4-1:
几何证明选讲］ 22.
(10分)(2019鞍山一模)如图，直线 AB 经过O O 上的点C ,并且OA=OB , CA=CB ,
O O 交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD .
(1) 求证：直线AB 是O O 的切线；
(2) 若tan / CED= , ,O O 的半径为3,求OA 的长.
［选修4-4 :坐标系与参数方程］
23. ( 2019鞍山一模)直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
线C 的公共点为T . (1) 求点T 的极坐标；
(2) 过点T 作直线11,若11被曲线C 截得的线段长为2,求直线11的极坐标方程.
［选修4-5:不等式选讲］
24. ( 2019 荆州模拟)设函数 f (x ) =|2x - a|+2a
(I)若不等式f (x )詬的解集为｛x| - 6 $列，求实数a 的值；
2
(n)在(I )的条件下，若不等式 f (x ) <(k - 1) x -5的解集非空，求实数 k 的取值范
围.
2019年辽宁省鞍山市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
标系，曲线C 的方程为p=4cos B,直线I 的方程为1 "(t 为参数)，直线I 与曲
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1 .设U=R，集合M={ - 1, 1, 2}, N={x| - 1 V x V 2}，贝U N A M=（）
A . { - 1 , 2}
B . {1} C. {2} D . { - 1 , 1, 2}
【分析】由M与N，求出两集合的交集即可.
【解答】解：-.M={ - 1, 1, 2}, N={x| - 1V x v 2},
••Ml A N={1},
故选：B.
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2 .复数z=丄丄（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）
1
A. i
B. - i
C. 1
D. - 1
【分析】利用复数除法运算化简，可得虚部.
【解答】解：复数z=丄丄=亠_1=1 - i,
1 1*1
则复数z的虚部是-1 ,
故选：D.
【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，属基础题.
2
3 .抛物线y=2x的焦点坐标是（）
1 1 11
A .（p，0）B.（0, p）C.（0, 了） D .（了，0）
【分析】把抛物线y=2x2化为标准方程，求出p值，确定开口方向，从而得到焦点的坐标.
2o
【解答】解：抛物线y=2x的标准方程为厂.■■,
••p=j,抛物线开口向上，焦点在y轴的正半轴上，
故焦点坐标为（0, ）,
8
故选B .
【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用. 把抛物线y=2x2化为标准方程是解题的突破口.
4 .给出下列四个命题：
①若命题若」p则q”为真命题，则命题若」q则p”也是真命题
②直线a //平面a的充要条件是：直线a?平面a
③"a=1”是直线x- ay=0与直线x+ay=0互相垂直"的充要条件；
④若命题p：?x €R, x2- x - 1 > 0 “则命题p的否定为：?x €R, x2- x - 1切”
其中真命题的个数是（）
A . 0 B. 1 C. 2 D. 3
【分析】①根据逆否命题的等价性进行判断，
②根据线面平行的定义和充分条件和必要条件的定义进行判断，
③根据直线垂直的等价条件进行判断，
④根据含有量词的命题的否定进行判断.
【解答】解：① 若命题若」p则q”为真命题，则命题的逆否命题若」q则p”也是真命题，故①正确，
②若直线a//平面a,则直线a?平面a,充分性成立，若a Aa=A，满足a?平面a,但直线a//平面a不成立，即必要性不成立，
故直线a//平面a的充要条件是：直线a?平面a错误，故② 错误，
2
③直线x - ay=0与直线x+ay=0互相垂直，则1 - a =0，即a=±1，贝U a=1"是直线x - ay=0
与直线x+ay=0互相垂直”的充分不必要条件，故③ 错误，
④若命题p：?x €R, x2- x - 1> 0 :则命题p的否定为：?x （R, x2- x - 1切”故④正确，
故选：C
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件的应用，含有量词的命题
的否定，逆否命题的等价性，综合性较强，难度不一定大.
5•已知MOD函数是一个求余数的函数，其格式为MOD (n, m)，其结果为n除以m的
余数，例如MOD( 8，3)=2 .如图是一个算法的程序框图，当输入n=25时，则输出的结
果为( )
A . 4 B. 5 C. 6 D. 7
【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次计算MOD ( n, i)的值，当i=5 , MOD (25, 5) =0，满足条件MOD (25, 2) =0,退出循环，输出i的值为5.
【解答】解：模拟执行程序框图，可得：
n=25, i=2, MOD(25
, 2
)
=1 ,
不满足条件MOD
(25
,
2
)
=0
,
i=3
,
MOD(25,
3
)
=1
,
不满足条件MOD
(25
,
3
)
=0
,
i=4
,
MOD(25,
4
)
=1
,
不满足条件MOD
(25
,
4
)
=0
,
i=5
, MOD
(25,
5
)
=0
,
满足条件MOD (25, 2) =0，退出循环，输出i的值为5.
故选：B.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的MOD ( n, i) 的值是解题的关键，属于基础题.
6 .设S n为等差数列｛a n｝的前n项和，若a i=1，公差d=2 , S n+2 - S n=36，则n=( )
A . 5 B. 6 C. 7 D. 8
【分析】由S n+2 - S n=36，得a n+1+a n+2=36，代入等差数列的通项公式求解n.
【解答】解：由S n+2 - S n=36，得：a n+1+a n+2=36 ,
即a1+nd+a1+ (n+1) d=36,
又 a i =i , d=2 , .•2+2n+2 ( n+1) =36. 解得：n=8. 故选：D .
【点评】 本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题.
【分析】由已知中锥体的正视图和侧视图，可得锥体的高为 二，结合锥体的体积为 可得其底面
积为2,进而可得答案.
【解答】解：••锥体的正视图和侧视图均为边长为 2的等边三角形, 故锥体的高为 :-
, 又••锥体的体积为 -,
3 故锥体的底面面积为 2,
A 中图形的面积为4,不满足要求；
B 中图形的面积为 n,不满足要求；
C 中图形的面积为2,满足要求；
D 中图形的面积为 「，不满足要求; 故选：C
【点评】 本题考查的知识点是简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题.
2
8 .在平面直角坐标系中，记抛物线 y=x - x 与x 轴所围成的平面区域为 M ,该抛物线与直
线y=kx ( k > 0)所围成的平面区域为
N ，向区域M 内随机抛掷一点 P ,若点P 落在区域N
7 .已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为
—，则该锥体的俯视图可以是(
2^3
-
A . C . D .
Q
内的概率为=r,贝U k的值为(
112 3 A . B .
C .
D .—
3
2
3
4
【分析】根据定积分的几何意义， 利用定积分计算公式算出抛物线 y=x - x 2与x 轴所围成的
平面区域M 的面积S='，从而由几何概型公式算出抛物线与
y=kx 围成的平面区域 A 的面
6
积为S'=「.由此算出y=x - x 2与y=kx 在第一象限的交点坐标，利用定积分公式建立关于
81
k 的方程，解之即可得到实数 k 的值.
【解答】 解：••抛物线y=x - x 2与x 轴交于点(0, 0)与(1, 0),
••根据定积分的几何意义，可得抛物线与 x 轴所围成的平面区域 M 的面积为
2、 d | = 1
S
= !(X - X ) dx- (- •
. .； ) 1
.
设抛物线与直线y-kx ( k > 0)所围成的平面区域 A 的面积为S',
□
口 .，可得S '
-
S-
求出y-x - x 2与y-kx 的交点中，除原点外的点 B 坐标为(1- k , k - k 2),
可得 S'-」| J [ (x - x 2)- kx]dx-[ , (1 - k ) x 2-〒 J ]「(1 - k ) 因此可得
(1 - k ) 3-',
6 81
解得k-=.
【点评】本题给出几何概型的概率，求直线的斜率
k 的值.着重考查了定积分计算公式、定
积分的几何意义和几何概型公式等知识，属于中档题.
9.在三棱锥 S - ABC 中，侧棱 SC 丄平面SAB , SA 丄BC ,侧面△ SAB , △ SBC , △ SAC 的
••向区域M 内随机抛掷一点 P ,点P 落在区域A 内的概率为
8
…，
故选：A
面积分别为1, ' , 3,则此三棱锥的外接球的表面积为( )
2
A. 14 n
B. 12 n
C. 10 n
D. 8 n
【分析】先根据题意得出侧棱SA, SB, SC两两垂直，再根据三角形面积公式，解方程组
得SA=2, SB=1 , SC=3,进而算出以SA、SB、SC为长、宽、高的长方体的对角线长为一^，从而得到三棱锥外接球R=--,最后用球的表面积公式，可得此三棱锥外接球表面积.
2
【解答】解：由题意得，侧棱SA, SB, SC两两垂直，
设SA=x, SB=y, SC=z，贝U
•/△SAB , △ SBC, △ SAC都是以S为直角顶点的直角三角形，面△ SAB , △ SBC, △ SAC 的面积分别为1 , ' , 3
2
\y=2
yz二3，解之得：x=2 , y=1 , z=3 即SA=2 , SB=1 , SC=3 ,
••侧棱SA , SB , SC两两垂直，
••以SA、SB、SC为过同一顶点的3条棱作长方体，该长方体的对角线长为，丁；1二：■ -=—!,恰好等于三棱锥外接球的直径
由此可得外接球的半径R= •…，
2
2
••此三棱锥外接球表面积为S=4 n R =14 n
故选A .
【点评】本题给出特殊三棱锥，求它的外接球表面积，着重考查了空间垂直关系的性质和多面体的外接球等知识，属于中档题.
2 2
10.双曲线C1：=^-「.=1 (a>0, b>0)与抛物线C2：y =2px (p>0)相交于A , B 两
点，公共弦AB恰过它们公共焦点F,则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是
( )
H 7T H 7T H H 兀
A .(=,=)
B .(——，=)
C .(「p)
D . ( 0, )
【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A的坐标；将A代入
抛物线方程求出双曲线的三参数a, b，c的关系，求出双曲线的渐近线的斜率，求出倾斜角
的范围.
【解答】解：抛物线的焦点坐标为（I , 0）;双曲线的焦点坐标为（c, 0）
2
.•p=2c
••点A是两曲线的一个交点，且AF丄x轴，
.•将x=c代入双曲线方程得到 A （c,「）
将A的坐标代入抛物线方程得到r =2pc
a
4 2 2.4
4a +4a b - b =0
解得1 = ■:--':
a
双曲线的渐近线的方程为y= ±' x
a
设倾斜角为a,则tan a=r= Q
a
n n
..V aV^
3 2
故选：A.
【点评】本题考查由圆锥曲线的方程求焦点坐标、考查双曲线中三参数的关系及由双曲线方
程求渐近线的方程.
* > * ——r ——一»-■ ——斗
11•已知点G是厶ABC的外心，「••：是三个单位向量，且2…+—+,：.=，如
图所示，△ ABC的顶点B , C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，O是坐标原点，贝U |的最大值为（）
A. '■
B. .
C. 2
D. 3
【分析】根据题意，得出①G是BC的中点，△ ABC是直角三角形，斜边BC=2 ;
②点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧；
③OA经过BC的中点G时，|、：|取得最大值为
【解答】解：••点G是厶ABC的外心，且2-[+“；+厂=,
2•-r；+「
即丄=.(「• ；+厂)；
••点G是BC的中点，
• △ABC是直角三角形，且/ BAC是直角；
又三是三个单位向量，
••BC=2 ；
又厶ABC的顶点B、C分别在x轴和y轴的非负半轴上移动，
可设点G 的坐标为(x, y), B (X1, 0), C (0, y2),
f
则】；
2
又BC=2，即，+ . . =4 (X1%, y2%),
2 2
.'X +y =1 (X 为，y%),
则点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧；
又^L--I=1,
•'OA经过BC的中点G时，|』取得最大值，且最大值为2|.一1|=2.
故选：C.
【点评】本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义与应用问题，是基础题目.
12. 已知函数y=f (x)在R上的导函数f (x), ?X€R都有f' (x)v x，若f (4 - m)- f (m)海-4m,则实数m的取值范围为( )
A . [ - 2, 2]
B . [2 , +s) C. [0, + s) D .(-汽-2] U [2 , +呵
【分析】根据构造辅助函数g (x) =f (X)- .. x2,利用导数可得函数g (x)在R上是减函数，f (4 - m)- f (m)海-4m,即卩g (4 - m)司(m),可得4- m舸，由此解得a的范
围.
【解答】解：令g (x ) =f (x )- ' x 2, x €R 2 g 1 ( x ) =f ( x )- x V 0 ,
••故函数g (x )在(-8, +8)上是减函数， j 2
j 2
• ( 4 - m )- f ( m ) =g (4 - m ) += (4- m ) - g ( m)^ — m ,
=g (4 - m )- g (m ) +8 - 4m ^8 - 4m ,
•■g (4 - m )司(m ),
.'4 - m 編n ，解得：m ^, 故选：B .
【点评】本题考查利用导数求函数的单调性， 会根据已知条件构造辅助函数， 考查分析问题
解决问题的能力，难度比较大，属于中档题.
二、填空题(本大题共 4小题，每小题5分，共20分)
1 6
13.
( 5分)(2006陕西)(2x -k ) 展开
式中常数项为
60
(用数字作答).
Vx
【分析】用二项展开式的通项公式得展开式的第
r+1项，令x 的指数为0得展开式的常数项.
令;1 —；.得 r=4
故展开式中的常数项 哮仪沪唸)" 故答案为60 【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式中特殊项问题的工具.
(y<x
14 .已知x , y 满足止上~：'£一，则z=2x+y 的最大值为
3
4：
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值, 的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可.
【解答】解:
(2x ------ ) 6展开式的通项为
7乂
T r+1 =C^2x)6-
z=2x+y 表示直线在y 轴上
=「•:
:'
【解答】解：* 1,在坐标系中画出图象，
1
三条线的交点分别是 A ( - 1，- 1), B (,),
2 2
C (2，- 1),
在厶ABC中满足z=2x+y的最大值是点C,代入得最大值等于3. 故答案为：3.
【点评】本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的试题. 近年来高考线性规划问
题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，体现了数形结合思想的应用.
9 *
15. 数列｛a n｝的通项公式为a n= n - kn，若对一切的n €N不等式比淘3,则实数k的取值范
围[5, 7].
【分析】结合二次函数f (x) =x2- kx的性质可得!',从而求得.
【解答】解：••数列｛a n｝的通项公式为a n=n2-kn,
结合二次函数f (x) =x2- kx的性质，
2k
又'.f (x) =x2- kx的图象的对称轴为x=「,
故对一切的n€N*不等式a n老可化为
2+3 k 3+4
即 5 乂<7,
故答案为：[5 , 7].
【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题.
16. 已知函数y=f (x)的定义域为R，当x>0时，f (x)> 1,且对任意的x, y€R都有f
(x+y) =f (x) f (y),则不等式 f (log x) w | 〔•厂的解集为[4, + Q .
2丄
2
【分析】可令x=1 , y=0，代入f (x+y) =f (x) f (y)计算可得f (0) =1，由x > 0时，f
(x)> 1,可得x v0时，0v f (x)v 1,再由单调性的定义，判断f (x)在R上递增，原不等式即为f (log丄x) f (log丄x+1) W，运用条件可得2log丄x+1切，运用对数函数的单调性，解不等式可得解集. 【解答】解：令x=1 , y=0,代入f (x+y) =f (x) f (y)中得：
f (1) =f (1) f (0),
由1> 0，可得 f (1 )> 1,
可得 f (0) =1 ,
当x v 0 时，—x> 0,得 f (—x) > 1,
令y= —x，则x+y=0，代入 f (x+y) =f (x) f (y)中得，
f (x) f (—x) =f (0) =1,
即有0v f (x)
设X1 v X2,贝y X2 —X1 > 0 且 f (X2 —X1)> 1 , f ( X1)> 0,
则 f (x2) — f (X1) =f (x2—x1+x1)— f (x1)
=f ( X2 —X1) f ( X1)—f (X1)
=f ( X1)[f ( X2 —X1)—1],
由X2 —X1 > 0，可得 f ( X2 —X1)> 1 ,
即 f ( x2—X1) — 1 > 0,
则有 f (X2)— f (X1)> 0, 即卩 f (X1)v f (X2), 可得f (x )在R上单调递增.
f (lo
g —x) w、二一t ■ ... “i / 即为f (log —x) f (log —x+1) W ,
2 士 2 2
2
由 f (0) =1, f (x) f (y) =f (x+y)，可得，
f (2lo
g x+1)廿(0),即为2log x+1 切,
~2 ~2
即有log x w-二，解得x羽.
2 2
故答案为：［4 , + R).
【点评】本题考查抽象函数的运用，注意运用赋值法和函数的单调性的判断及运用，考查对
数函数的单调性及运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题.
三、解答题：本大题共5小题，共60分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17. (12分)(2019鞍山一模)在厶ABC中，角A , B,C对边分别为a, b, c,若bcosA+acosB= —2ccosC.
(I)求角C的大小；
(n)若a+b=6，且△ ABC的面积为2 一，求边c的长.
【分析】(I)由已知及正弦定理可得：sinBcosA+sinAcosB= —2sinCcosC,化简可得cosC=
—，结合C的范围求C的值；
2
2 2 2 2
(n)由a+b=6得a +b +2ab=36，根据三角形的面积公式可求出ab的值，进而求出a +b
的值，利用余弦定理求出c的值.
【解答】解：(I)由题意知，bcosA+acosB= —2ccosC,
正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB= —2sinCcosC,
sin (A+B ) = - 2sinCcosC,
由A , B, C是三角形内角可知，sin( A+B ) =sinC旳,
/cosC= —
2
9H
由O v C v n得，C= 一;
2 2
(n) -.a+b=6, .'a +b +2ab=36,
•「△ABC 的面积为2耳？，••、」■....：':.:，即亍土•丄「- 2 ' ：■ 化简得，ab=8,则a2+b2=20, 由余弦定理得，c2=a2+b2—2absi nC=20 —2 x --^>28,
所以c< ".
【点评】本题主要考察了正弦定理、余弦定理，三角形面积公式的应用，以及整体代换求值, 注意角的范围确定，属于中档题.
18. ( 12分)(2019鞍山一模)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为三位递增数” (如137, 359, 567等).
在某次数学活动中，每位参加者需从所有的三位递增数”中随机抽取一次，得分规则如下：
若抽取的三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得-1分，若能被10整除，得1分.
(I)写出所有个位数字是5的三位递增数”，并求其发生的概率；
(H)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望.
【分析】(I)设个位数字是5的三位递增数”为事件A，利用列举法求出事件A包含的基本事件的个数，再求出全部三位递增数”人个数，由此能求出所有个位数字是5的三位递增数”发生的概率.
(H)设甲得分为X , X的可能取值为0, 1,- 1，分虽求出相应的概率，由此能求出甲得分为X的分布列和数学期望.
【解答】解：(I)设个位数字是5的三位递增数”为事件A ,
事件 A 有125, 135, 145, 235, 245, 345,
全部三位递增数”人个数为'=84,
P( A )=：=一：.
(n)设甲得分为X, X的可能取值为0, 1,- 1,
P (X= - 1)=】，
…c 瑰2
P (X=0 )=一=.一，
84 3
1 2 11
P(X=1)=1丁-,
••甲得分为X的分布列为:
「I 二八壬=-
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 解题时要认真审题，
注意列举法的合理运用.
19. （ 12分）（2019鞍山一模）如图，在四棱锥 P -ABCD 中，PA 丄平面 ABCD ，/ DAB 为直角，AB // CD , AD=CD=2AB=2 , E , F 分别为 PC , CD 的中点.
（I ）证明：AB 丄平面BEF :
（H ）设PA=h ，若二面角E - BD - C 大于45°求h 的取值范围.
【分析】（I ）欲证AB 丄平面BEF ，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 AB 与平
面BEF 内两相交直线垂直， 而AB 丄BF .根据面面垂直的性质可知 AB 丄EF ,满足定理所需
条件；
（H ）以A 为原点，以AB 、AD 、AP 为OX 、OY 、OZ 正向建立空间直角坐标系，求出平 面CDB 的
法向量和平面 EDB 的法向量，然后利用向量的夹角公式建立关系，进行求解即 可. 【解答】 解：（I ）证：由已知 DF // AB 且/ DAB 为直角， 故ABFD 是矩形，从而 AB 丄BF . 又PA 丄底面ABCD , 所以平面PAD 丄平面ABCD , 因为AB 丄AD ，故 AB 丄平面 PAD , 所以AB 丄PD ,
在厶PDC 内，E 、F 分别是 PC 、CD 的中点，EF // PD ，所以AB 丄EF . 由此得 AB 丄平面BEF .
（6分）
（H ）以A 为原点，以 AB 、AD 、AP 为OX 、OY 、OZ 正向建立空间直角坐标系, ••AD=CD=2AB=2 ,
E ,
F 分别为 PC , CD 的中点.
•'AB 的长为 1,则-=(-1, 2, 0),丨■'= (0, 1三)
EX=
是中档题，
设平面CDB 的法向量为 =(0, 0, 1)，平面 EDB 的法向量为 =(x , y , z ),
【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系、 二面角及其平面角等有关知识， 考查空间 想象能力和思维能力， 应用向量知识解决立体几何问题的能力. 建立空间坐标系，求出平面 的法向量，禾U 用向量法是解决本题的关键.
2 2
20. (12分)(2019鞍山一模)已知椭圆C ： . +-==1 ( a > b >0)的右焦点为
$ b 2
—$,右).过F 作直线I 与椭圆C 交于不同的两点 A , B ,设：=兀：；，入€[ - 2, 2 丄 -1], T (2, 0)
(I)求椭圆C 的标准方程； (n)求丨」|的取值范围.
①広 1
6.1 【分析】(I )椭圆C 的右焦点为F (1, 0),且过点(=-,).可得c=1 ,
「一?
n • BD =0 n-BE=0 -x+2y=0 •••
，取 y=l ，可得■'= (2, 1,
设二面角E - BD - C 的大小为0,
2
T T
h
贝U cos 0=|cos v n ,r > I —
化简得h - ，则h >
F (1 , 0),
且过点
( 则
22+l
2 2 4a 4b =1，又a2=b2+c2,联立解得即可得出椭圆的方程.
(II )由题意可知：直线I 的斜率不为0,设直线I 的方程为：x=ky+1，
代入椭圆方程可得:
2 2
(k+2) y +2ky - i=0，设点 A (x i , y i ), B (X 2, y 2).
用数量积运算性质即可得出.
•，y i = V 2,
o 9 - -
m.= ,
I' = (k (y i +y 2)- 2, y i +y 2),
•「「H 二」J 「：「」「十+ ：日6 ―亍二+ J ；门.疔 j • 弋
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题、数量积运算性质、 本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题.
2 x
2i .( I2 分)(20I9 鞍山一模)已知函数 f (x ) = (xl nx+ax+a 2-a - i ) e x
,
(I)若a=0,求函数f (x )的单调区间；
(H)讨论f (x )在区间(，+ a)上的极值点的个数；
e
(川)是否存在a ,使得f (x )在区间(一，+ ^) 上与x 轴相切？若存在，求出所有 a 的 e 值；若不存在，说明理由.
【分析】(I )若a=0，求函数的导数，利用导数求
f (x )的单调区间；
由］：
=V'，
y i = $2,廿
2
.「，可得——「
=(k (y i +y 2)- 2, y i +y 2)，利 【解答】解：(I )椭圆C 的右焦点为 F (1 , 0),且过点
2 2 2
••c=i ,
- =i ，又 a =b +c , 4a 2
4b"
2
联立解得a =2, b=c=i .
/ 2 ••椭圆的方程
为：’+y=i .
2
(II )由题意可知：直线I 的斜率不为
0,设直线I 的方程为：x=ky+i ，代入椭圆方程可得:
2 2
(k +2) y +2ky - I=0 , 设点 A (x i , y i ), B (X 2,
y 2)，则:
-2k
- 1
y i+y2
V+2，yiy2=k 2+2
2
"*+2
=走，可得:
(II)禾U用导数分别讨论a的取值，进而讨论函数 f (x)在区间(',+1 上的极值点个数；
(III )假设存在a,使得f(x)在区间(二，+ a)上与x轴相切，则f (x)必与x轴相切e 于极值点处，利用导数与极值之间的关系进行讨论.
【解答】解：(1)当a=0 时，f (x) = (xlnx - 1) e x,( x> 0)
导数f z(x) = (x+1 ) e x i nx ,
所以x€ (0, 1), f' (x)v 0; x € (1, + a), f，(x)> 0.
可得f (x)的减区间为(0, 1), f (x)的增区间为(1 , + a)；
(n) f' (x) = (Inx+xInx+ax+a 2) e x，令m (x) =lnx+xInx+ax+a 2
m，(x) =—+lnx+1+a，又令Q (x) =—+lnx+1+a
1 1
Q'( x) = - + . x€ (0, 1)时，Q (x)v 0, Q (x)递减；
x € ( 1, + a), Q ( x )> 0 , Q ( X)递增.
m (x) min=m ' (1) =2+a为，所以m (x)在区间(一，+ a)单调递增，
e
m (—) = (a- 1)( a+1+—),
6 6
①m (丄)电即：-2<a<- 1 -—或a》时m (x)在区间(丄，+ a)上无零点，f (x)
巳巳巳
无极值点
②m ( )v 0，即：—1 - v a v 1, m (x)在区间(，+ a)上有唯一零点，f (x)有
唯一极值点.
(川)假设存在a,使得f (x)在区间(，+ a) 上与x轴相切，e
则f (x)必与x轴相切于极值点.
由(2)可知-1- v a v 1，设极值点为X o
e
f y(st) = (lnx0+ x0lnit0+ax0+ a2)e 0=0
I
f(x) = ( x0lnx0+ax0 + a2 a_1) e 0 =0
联立得x o=e-(a+1)代入上式得e-(a+1)+ (a+1)- a2=0
令t= -( a+1), t€ (- 2, —), h (t) =1-t-( t+1) 2
e
h ，(t ) =e 「2t -3, h 〃 (t ) =&-2v 0
h'( t )在 t € (- 2, 丁)上单调递减，h (- 2) =e 「2+1 > 0,亍j v 0 •'h ' (t )在t € (- 2^ —)上存在唯一零点t o e
即当 t € (- 2, t o )时，h (t )> 0, h (t )单调递增，当 t € (t o ,)时，h
(t )v 0, h
(t )
e
单调递减
h (- 2) > 0, h (一) v 0,所以 h
(t )在 t € (- 2, t o )上无零点，在 t € (t °, —)上有唯
e e
一零点
h (0) =0, a+仁0, a= - 1
所以存在a=- 1，使得f (x )在区间(—，+s )上与x 轴相切.
e 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值， 综合性较强，运算量较大，考查
学生的运算能力，是一道难度非常大的难题.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. ［选修4-1:
几何证明选讲］
22. (10分)(2019鞍山一模)如图，直线 AB 经过O O 上的点C ,并且OA=OB , CA=CB ,
O O 交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD .
【分析】(1)要想证AB 是O O 的切线，只要连接 OC ,求证/ ACO=90。

即可; (2)先由三角形判定定理可知， △ BCDBEC ，得BD 与BC 的比例关系，最后由切割
线定理列出方程求出 OA 的长. 【解答】解：(1)如图，连接OC , •.OA=OB , C A=CB ••OC 丄 AB
.
(1)求证：直线AB 是O O 的切线;
3,求OA 的长.
••AB是O O的切线；
（2）--BC是圆0切线，且BE是圆O割线,
2
••BC =BDBE ,
••tan/ CED= —, /. .
2，EC 2
•/ABCDBEC , •一,
BC'EC_2
2 2
设BD=x , BC=2x .又BC =BDBE , • (2x) =x (x+6),
••BD=2 , .OA=0B=BD+0D=3+2=5 . ( 10 分).
【点评】本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质，以及切割线定理的综合运用, 属于
基础题.
［选修4-4 :坐标系与参数方程］
23. （2019鞍山一模）直角坐标系xOy中，
以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为p=4cos 0,直线I的方程为・
—导
（t为参数），直线I与曲1
线C的公共点为T.
（1）求点T的极坐标；
（2）过点T作直线11,若l1被曲线C截得的线段长为2,求直线11的极坐标方程.
【分析】（1）先将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程，再将直线的参数方程代入直角坐标方程，
然后求出交点T的直角坐标，最后化成极坐标即可.
（2）设直线I'的方程，由（1）得曲线C是以（2，0）为圆心的圆，且圆心到直线l'的距离
为二.利用圆的弦长公式结合点到直线的距离列出等式，求出K值，得直线I'的方程，最
后将其化成极坐标方程即可.
【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程为x2- 4x+y2=0. 分）
(2
其极坐标为.一 ••- ( 5分)
(2)设直线I'的方程为亍-.厂一賦「-门，F H ：:: -丁: J 二-….(7 分) 由(I)得曲线 C 是以(2, 0)为圆心的圆，且圆心到直线 I'的距离为 一.
则， ---
-■: •解得 k=0，或：一."：.
Vk z +1
直线I'的方程为」二•产，或 7=五・
•••.( 9 分)
其极坐标方程为_ 1 ：_ ' I □一•. T 二 (p€R).•••( 10 分)
【点评】本题主要考查了简单曲线的极坐标方程， 以及直线的参数方程等知识，属于基础题.
［选修4-5:不等式选讲］
24. ( 2019 荆州模拟)设函数 f (x ) =|2x - a|+2a
(I)若不等式f (x )詬的解集为｛x| - 6 $列，求实数a 的值；
2
(n)在(I )的条件下，若不等式
f (x ) <(k 2- 1) x -5的解集非空，求实数 k 的取值范
围.
3 1
【分析】(I)依题意，解不等式|2x -a|+2a 詬，可得守-3$ €-专a ,利用不等式f (x ) W 的解集为｛x| - 6$詔｝，可列方程组，解得实数 a 的值；
2
(21+31 字> -丄
(n)依题意，可得 |2x+2|+1 <( k 2 - 1) x ，构造函数 g( x ) =|2x+2|+1=
, -2x 1 >
- 1
通过作图分析可得不等式 f (x ) <(k 2- 1) x - 5的解集非空的条件是：k 2- 1 >2或k 2- 1 < -1,解之即可. 【解答】 解：(I)
-.|2x - a|+2a 詬， .•|2x - a|詬—2a , /2a - 6电x - a 詬一2a
又不等式f (x )詬 的解集为｛x| - 6強€■｝, 4a ■ ■6 二〜
解得a=- 2--5分
解得•二/点T 的坐标为［. （4分）
代入上式并整理得
3 ■寺护4
(H)由(I)得f (x) =|2x+2| —4,由不等式f (x) <( k2- 1) x - 5 得
2
|2x+2| - 4<( k - 1) x - 5,
化简得|2x+2|+1 <( k2- 1) x;
(2x+3 j 11
令g (x) =|2x+2|+1= , y=g (x)的图象如图所示
| - 2i - l f s< - 1
2
要使不等式不等式f (x) <(k2- 1) x-5的解集非空,
只需k2- 1 >2或k2- 1三1,
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查构造函数思想与数形结合思想的综合运用, 查推理分析与运算的能力，属于难题.。