山东青州一中2012届高三一轮数学复习课件：第九章 解析几何 9.1直线的方程

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3．若点 A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则 a 的值为___4___． 解析 ∵kAC＝56－ －34＝1，kAB＝a5－ －34＝a－3. 由于 A、B、C 三点共线，所以 a－3＝1， 即 a＝4.
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4．过点 M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的 直线的方程为 x＋y＋1＝0或4x＋3y＝0 ．
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方法二 设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程 为 y－2＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＋2＝0. ∵A、B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上， ∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0， 即(k－5)(4k＋2)≥0，∴k≥5 或 k≤－12. 即直线 l 的斜率 k 的取值范围是 －∞，－12∪[5，＋∞)．
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解 方法一 如图所示，直线 P A 的斜率
kP
A
2－ ＝－1－
－3 －2
＝5，
直线 PB 的斜率 kPB＝3－0－－21 ＝－12.
当直线 l绕着点 P 由 P A 旋转到与 y 轴平行的位置 P C
时，它的斜率变化范围是[5，＋∞)；
当直线 l绕着点 P 由 P C 旋转到 P B 的位置时，它的斜 率的变化范围是－∞，－12. ∴直线 l的斜率的取值范围是－∞，－12∪[5，＋∞)．
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题型三 直线方程的综合应用 例 3 直线 l 经过点 P(3,2)，且与 x、y 轴的正半
轴交于 A、B 两点，且△AOB 的面积最小(O 为坐标原点)，求直线 l 的方程． 思维启迪：将面积看作截距 a、b 的函数， 求函数的最小值即可．
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得两直线交点为xy＝＝kk4k＋＋k＋－7222
.
(k≠－2，否则与已知直线平行)．
则 B 点坐标为kk＋＋72，4kk＋－22. 由已知kk＋＋72－12＋4kk＋－22＋12＝52， 解得 k＝－43，∴y＋1＝－34(x－1)，
即 3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线的方程为 x＝1 或 3x＋4y＋1＝0.
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题型分类 深度剖析
题型一 直线的倾斜角与斜率 例 1 已知直线 l 过点 P(－1,2)，且与以 A(－2，
－3)，B(3，0)为端点的线段相交，求直线 l 的斜率的取值范围．
思维启迪：分别求出 P A 、P B 的斜率，直线 l
处于直线 P A 、P B 之间，根据斜率的几何意义 利用数形结合即可求．
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探究提高 方法一运用了数形结合思想．当直 线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝
角时，需根据正切函数 y＝ta来自 α 的单调性求 k 的范围，数形结合是解析几何中的重要方
法．解题时，借助图形及图形性质直观判断， 明确解题思路，达到快捷解题的目的．方法二 则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的性 质使问题得以解决．
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(2)设所求直线的斜率为 k，依题意 k＝－14×3＝－34. 又直线经过点 A(－1，－3)， 因此所求直线方程为 y＋3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y＋15＝0.
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(3)过点 A(1，－1)与 y 轴平行的直线为 x＝1. 解方程组x2＝x＋1y－6＝0 ， 求得 B 点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5， 即 x＝1 为所求． 设过 A(1，－1)且与 y 轴不平行的直线为 y＋1＝k(x－1)， 解方程组2y＋x＋1y＝－k6x＝－01
第九章 解析几何
§9.1 直线的方程 基础知识 自主学习
要点梳理 1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角 ①定义：x 轴正向 与直线向上 的方向所成的角叫做这条 直线的倾斜角．当直线与 x 轴平行或重合时，规定它的 倾斜角为 0°.
②倾斜角的范围为 0°≤α<180° .
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变式训练 2 在△ABC 中，已知 A(5，－2)、 B(7,3)，且 AC 边的中点 M 在 y 轴上，BC 边 的中点 N 在 x 轴上，求： (1)顶点 C 的坐标； (2)直线 MN 的方程．
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解 (1)设 C(x0，y0)，则 AC 中点 M5＋2 x0，y0－2 2， BC 中点 N7＋2 x0，y0＋2 3. ∵M 在 y 轴上，∴5＋2x0＝0，x0＝－5. ∵N 在 x 轴上，∴y0＋2 3＝0，y0＝－3，即 C(－5，－3)． (2)∵M0，－52，N(1,0)． ∴直线 MN 的方程为1x＋－y52＝1. 即 5x－2y－5＝0.
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探究提高 求直线方程最常用的方法是待定 系数法，本题所要求的直线过定点，设直线方 程的点斜式，由另一条件确定斜率，思路顺理 成章，而方法一和方法二联系已知条件与相关 知识，新颖独特，需要较高的逻辑思维能力和 分析问题、解决问题的能力．
且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x，y)，则
x＝x1＋2 x2 y＝y1＋2 y2
，此公式为线段 P1P2 的中点坐
标公式．
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[难点正本 疑点清源] 1．直线的斜率与倾斜角的区别及联系
在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率 存在的条件，其次是倾斜角的范围．每一条直线 都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在 斜率．所以在研究直线的有关问题时，应考虑到 斜率存在与不存在的情况，避免出现漏解的情 形．同时，斜率又是由倾斜角唯一确定的
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解 (1)方法一 设直线 l 在 x，y 轴上的截 距均为 a，若 a＝0，即 l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为 y＝23x，即 2x－3y＝0. 若 a≠0，则设 l 的方程为ax＋ay＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a＋2a＝1， ∴a＝5，∴l 的方程为 x＋y－5＝0， 综上可知，直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
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2．直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截 距式等都是直线方程的特殊形式，其中点 斜式是最基本的，其他形式的方程皆可由 它推导．直线方程的特殊形式都具有明显 的几何意义，但又都有一些特定的限制条 件，如点斜式方程的使用要求直线存在斜 率；截距式方程的使用要求横纵截距都存 在且均不为零；两点式方程的使用要求直 线不与坐标轴垂直．因此应用时要注意它 们各自适用的范围，以避免漏解．
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探究提高 在求直线方程时，应先选择适当的 直线方程的形式，并注意各种形式的适用条 件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存 在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线， 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的 直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分 类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式， 应先考虑斜率不存在的情况．
解析 ①若直线过原点，则 k＝－43， ∴y＝－43x，即 4x＋3y＝0. ②若直线不过原点． 设ax＋ay＝1，即 x＋y＝a. ∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0.
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5．已知直线 l 经过点 P(－2,5)，且斜率为 －34，则直线 l 的方程为( A ) A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0 解析 由 y－5＝－34(x＋2)，得：3x＋4y－14 ＝0，故选 A.
不含垂直于 坐标轴和过 原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
平面直角坐 标系内的直 线都适用
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3.过 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 (1)若 x1＝x2，且 y1≠y2 时，直线垂直于 x 轴，
方程为 x x1；
(2)若 x1≠x2，且 y1＝y2 时，直线垂直于 y 轴，
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变式训练 1 已知点 M 是直线 l： 3x－y＋3 ＝0 与 x 轴的交点，将直线 l 绕点 M 旋转 30°，求所得到的直线 l′的方程．
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解 在 3x－y＋3＝0 中， 令 y＝0，得 x＝－ 3， 即 M(－ 3，0)． ∵直线 l 的斜率 k＝ 3， ∴其倾斜角 θ＝60°. 若直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 30°，则直线 l′的倾斜角为 60°＋30°＝90°，此时斜率不存 在，故其方程为 x＝－ 3. 若直线 l 绕点 M 顺时针方向旋转 30°，则直线 l′的倾斜角为 60°－30°＝30°，此时斜率为 tan
方程为
y
y 1
；
(3)若 x1＝x2＝0，且 y1≠y2 时，直线即为 y 轴， 方程为 x=0 ；
(4)若 x1≠x2，且 y1＝y2＝0 时，直线即为 x 轴，方程为 y=0 .
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4．线段的中点坐标公式
若点 P1、P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
方法二 设直线方程为ax＋by＝1 (a>0，b>0)，
点
P(3,2)
代
入
得
3 a
＋
2 b
＝1
，
解
得
b
＝
2a a－3
(a>3)，则 S△AOB＝12ab＝a－a23＝(a－3)＋a－9 3
＋6≥12，当且仅当 a－3＝a－9 3即 a＝6 时等
号成立，这时 b＝4，从而所求直线方程为6x＋
4y＝1，即 2x＋3y－12＝0.
(2)直线的斜率 ①定义：我们把直线 y＝kx＋b 中的系数 k 叫做这 条直线的斜率．倾斜角是 90°的直线斜率不存在． ②过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜 率公式为 k＝ k＝yx22－－yx11 .
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方法二 由题意，所求直线的斜率 k 存在且 k≠0，
设直线方程为 y－2＝k(x－3)， 令 y＝0，得 x＝3－2k，令 x＝0，得 y＝2－3k， 由已知 3－2k＝2－3k，解得 k＝－1 或 k＝23， ∴直线 l 的方程为： y－2＝－(x－3)或 y－2＝23(x－3)， 即 x＋y－5＝0 或 2x－3y＝0.
解 方法一 设直线方程为ax＋by＝1 (a>0，
b>0)，
点
P(3,2)
代
入
得
3 a
＋
2 b
＝
1≥2
6 ，得 ab
ab≥24， 从而 S△AOB＝12ab≥12，当且仅当3a＝2b时等号 成立，这时 k＝－ba＝－23，从而所求直线方
程为 2x＋3y－12＝0.
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基础自测 1．过点 M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于
1，则 m 的值为__1______． 解析 ∵kMN＝－m2－－4m＝1，∴m＝1.
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2．直线 x－ 3y＋a＝0 (a 为常数)的倾斜角的
π
大小是___6___． 解析 ∵k＝ 33，∴倾斜角 α＝π6.
2．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于 x 轴 的直线
斜截式 y＝kx＋b
不含垂直于 x 轴 的直线
两点式
yy2－－yy11＝xx2－－xx11
不含直线 x＝x1 (x1≠x2)和直线 y＝y1 (y1≠y2)
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截距式 ax＋by＝1
30°＝ 33，故其方程为 y＝ 33(x＋ 3)，即 x－ 3y＋ 3＝0. 综上所述，所求直线方程为 x＋ 3＝0 或 x－ 3 y＋ 3＝0.
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题型二 求直线的方程 例 2 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相 等； (2)过点 A(－1，－3)，斜率是直线 y＝3x 的 斜率的－41； (3)过点 A(1，－1)与已知直线 l1：2x＋y－6 ＝0 相交于 B 点且|AB|＝5. 思维启迪：选择适当的直线方程形式，把所 需要的条件求出即可．