高三总复习数学优质课件 圆锥曲线的综合问题第二课时 最值 范围 证明问题

[例 2] 已知椭圆 + =1(a>b>0)的长轴长与焦距分别为方程 x 2-6x+8=0 的两个实数根.
(1)求椭圆的标准方程;
解:(1)设椭圆的焦距为 2c(c>0),
2
由 x -6x+8=0 可得 x1=2,x2=4,
所以 2a=4,2c=2,即 a=2,c=1.
2
2
2
所以 b =a -c =3,

故椭圆的标准方程为 + =1.


(2)若直线l过点M(-4,0)且与椭圆相交于A,B两点,F是椭圆的左焦点,当
△ABF面积最大时,求直线l的斜率.
解:(2)设直线 l 的方程为 x=my-4,A(x1,y1),B(x2,y2),
= -,
2
2
与椭圆方程联立得
消去 x 得(3m +4)y -24my+36=0.

解:(1)设直线 AB 的方程为 y= x+m,则
|-|
+( )

=1,
所以 m=0 或 m=4.所以直线 AB 的方程为 y= x 或 y= x+4.
(2)求|AB|的最小值.
解:(2)由题意可知直线 AB 的斜率存在.设直线 AB 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
第二课时
最值、范围、证明问题
提升关键能力
考点一
最值问题(综合性)
多维探究
角度一
利用目标函数求最值
[例1]已知动圆E经过点F(1,0),且和直线l:x=-1相切.
(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程;
解:(1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离,
所以动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,
则
|-|
+
2
=1,
2
所以 k +1=(m-2) .
= + ,
2
由
得 x -kx-m=0,

= ,
所以 x1+x2=k,x1x2=-m,
2
2
2
2
2
2
2
所以|AB| =(1+k )[(x1+x2) -4x1x2]=(1+k )(k +4m)=(m-2) (m +3).
2
2
2
2
2
消去 y,得 x +(2m-4)x+m =0,
=
2
2
Δ=(2m-4) -4m =16(1-m)>0 恒成立.
由根与系数的关系得 x1+x2=4-2m,x1·x2=m ,所以|CB|=4 (-),
2
+
点 A 到直线 l′的距离 d=


+
,所以 S△ABC= ×4 (-)·
记 f(m)=(m-2) (m +3),所以 f′(m)=2(m-2)(2m -2m+3),又 k +1=(m-2) ≥1,所以 m≤1 或
m≥3,
当 m∈(-∞,1]时,f′(m)<0,f(m)单调递减,
当 m∈[3,+∞)时,f′(m)>0,f(m)单调递增,
f(m)min=f(1)=4,所以|AB|min=2.
和与倒数和、和与根式和、和与两数之积的和等.
(2)分析问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其他的变量,把要求
最值的变量设为函数.
(3)利用基本不等式求函数的最值时,关键在于将函数变形为两项和或积
的形式,然后用基本不等式求出最值.
[对点训练2] 已知E是抛物线y2=4x的焦点,过E作斜率分别为k1,k2 的互相)在 t= ,即 m=- 时取得最大值为



所以△ABC 面积的最大值为

.


.
[对点训练 1] 已知抛物线 C:y=x2,点 P(0,2),A,B 是抛物线上两个动点,点 P 到直线
AB 的距离为 1.
(1)若直线 AB 的倾斜角为 ,求直线 AB 的方程;
反思归纳
圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方
法:一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的
定理、性质等进行求解;二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表
达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方
法等进行求解.
角度二 利用基本不等式求最值


=2 -·(3+m).
令 -=t,t∈(1,2),则 m=1-t ,
2
2
3
所以 S△ABC=2t(4-t )=8t-2t ,
3
2
令 f(t)=8t-2t (1<t<2),所以 f′(t)=8-6t ,

令 f′(t)=0,得 t= (负值舍去).



易知 y=f(t)在(1, )上单调递增,在( ,2)上单调递减.
直 的两 条直线 交抛 物线于 点 A,B,C,D, 且 M,N 分别是 线段 AB,CD 的 中点. 求
△EMN的面积的最小值.
解:由题意可知 k1k2=-1.
直线 AB 的方程为 y=k1(x-1),设 A(x1,y1),B(x2,y2).
= (-)

+

2
由
得 k1y -4y-4k1=0,则 y1+y2= ,y1y2=-4,x1+x2= +2= +2.
故轨迹G的方程是y2=4x.
(2)已知点A(3,0),若斜率为1的直线l′与线段OA相交(不经过坐标原点O和
点A),且与曲线G交于B,C两点,求△ABC面积的最大值.
解:(2)设直线 l′的方程为 y=x+m,其中-3<m<0,C(x1,y1),B(x2,y2),
= + ,
2
2
联立得方程组
+ = ,

2
2

2
2
则Δ=576m -4×36(3m +4)=144(m -4)>0,所以 m >4.
由根与系数的关系知 y1+y2=

,y1y2=
+

+
令 t= -(t>0),则①式可化为 S△ABF=




当且仅当 3t= ,即 t=


-

+
,所以 S△ABF= |y1-y2|=
=
+


≤

+



时,等号成立.此时 m=±

=

·

.①


.
,所以直线 l 的斜率为±


.
反思归纳
(1)基本不等式不但可以直接解决和与积的不等问题,而且通过结合不等
式性质、函数单调性等还可以解决其他形式的不等式,如:和与平方和、



= ,
+ +


因为 M( , ),所以 M( +1, ).

同理,可得


N(2 +1,-2k1).


所以 S△EMN= |EM|·|EN|=