2018版高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.5指数与指数函数模拟演练文

2018版高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 2.5 指数
与指数函数模拟演练 文
[A 级 基础达标](时间：40分钟)
1．[2017·长沙模拟]下列函数中值域为正实数的是( ) A ．y ＝－5x
B ．y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫131－x
C ．y ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －1 D ．y ＝ 1－2x
答案 B
解析 ∵1－x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
的值域是正实数，
∴y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫131－x
的值域是正实数．
答案 D 解析
3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －7，x ＜0，
x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3)
B ．(1，＋∞)
C ．(－3,1)
D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－3
，因为
0＜1
2＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.
4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x －1的值域为( ) A ．(－∞，4] B ．(0，＋∞) C ．(0,4] D ．[4，＋∞)
答案 C
解析 设t ＝x 2
＋2x －1＝(x ＋1)2
－2，则t ≥－2.
因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 是关于t 的减函数，所以y ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－2
＝4.又y >0，所以0<y ≤4.故选C.
5．[2017·西安模拟]函数y ＝a x
－1a
(a >0，a ≠1)的图象可能是( )
答案 D
解析 当a >1时函数单调递增，且函数图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1－1a ，因为0<1－1a
<1，故A ，B 均
不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数恒过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1－1a ，因为1－1a
<0，所以选D.
6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋2的递增区间是________．
答案 (－∞，1]
解析 令u ＝x 2－2x ＋2，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 是减函数，而u ＝x 2
－2x ＋2的递减区间为(－∞，1]．所
以y ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12 x 2－2x ＋2的递增区间是(－∞，1]． 7．[2015·山东高考]已知函数f (x )＝a x
＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.
答案 －3
2
解析 ①当0<a <1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨
⎪⎧
f －＝0，f
＝－1，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
a －1
＋b ＝0，a 0
＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12
，
b ＝－2，
此时a ＋b ＝－3
2
.
②当a >1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨
⎪⎧
f
－
＝－1，f ＝0，
即
⎩
⎪⎨⎪⎧
a －1
＋b ＝－1，
a 0
＋b ＝0，显然无解．所以a ＋b ＝－3
2
.
答案
113
解析
∴x ＋2＋x －1
＝9，∴x ＋x －1
＝7， ∴(x ＋x －1)2
＝49，∴x 2
＋x －2
＝47，
∴x ＋x －1－4x 2＋x －2－8＝7－447－8＝113
. 9．[2017·厦门质检]已知指数函数f (x )＝a x
(a >0，且a ≠1)过点(－2,9)． (1)求函数f (x )的解析式；
(2)若f (2m －1)－f (m ＋3)<0，求实数m 的取值范围．
解 (1)将点(－2,9)代入到f (x )＝a x 中得a －2
＝9，解得a ＝13，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x .
(2)由f (2m －1)<f (m ＋3)得⎝ ⎛⎭⎪⎫132m －1<⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＋3
，
∵f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
在R 上为减函数，
∴2m －1>m ＋3，解得m >4， ∴实数m 的取值范围为(4，＋∞)．
10．[2017·青岛模拟]已知定义在R 上的函数f (x )＝2x
－12|x |.
(1)若f (x )＝3
2
，求x 的值；
(2)若2t
f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x
－12
x ，
由2x －12x ＝32
，得2·22x －3·2x
－2＝0，
看成关于2x
的一元二次方程，
解得2x ＝2或2x ＝－12，∵2x
＞0，∴x ＝1.
(2)当t ∈ [1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t
－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，
即m (22t
－1)≥－(24t
－1)，∵22t
－1＞0， ∴m ≥－(22t
＋1)．
∵t ∈[1,2]，∴－(22t
＋1)∈[－17，－5] ， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．
[B 级 知能提升](时间：20分钟)
11．[2017·长春模拟]若存在正数x 使2x
(x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案 D
解析 不等式2x
(x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x
－a 与y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，
有－a <1，所以a >－1.
12．已知x ，y ∈R ，且2x ＋3y >2－y ＋3－x
，则下列各式中正确的是( ) A ．x －y >0 B ．x ＋y <0 C ．x －y <0 D ．x ＋y >0 答案 D
解析 因为2x ＋3y >2－y ＋3－x ，所以2x －3－x >2－y －3y .f (x )＝2x －3－x ＝2x
－13x 为单调递增函
数，f (x )>f (－y )，所以x >－y ，即x ＋y >0.
13．[2017·南昌模拟]已知函数y ＝9x
＋m ·3x
－3在区间[－2,2]上单调递减，则m 的取值范围为________．
答案 m ≤－18
解析 设t ＝3x ，则y ＝t 2
＋mt －3，因为x ∈[－2,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤19，9.
又因为y ＝9x
＋m ·3x
－3在[－2,2]上递减，
t ＝3x 在[－2,2]上递增，所以y ＝t 2＋mt －3在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤19
，9上递减．得－m 2
≥9，解得m ≤－18.
14．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2
－4x ＋3，
由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13t
在R 上单
调递减，
所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g (x )＝ax 2
－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13g (x )，
由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，
因此必有⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＞0，3a －4
a
＝－1，
解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.
(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13g (x )
的值域为(0，＋∞)．
应使g (x )＝ax 2
－4x ＋3的值域为R ，
因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.。