2023_2024学年山东省济南市高新区九年级上册期中数学模拟测试卷(附答案)

2023_2024学年山东省济南市高新区九年级上册期中数学
模拟测试卷
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为1-3页，满分为40分；第Ⅱ卷为3-10页，满分为110分．本试题共10页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
第I 卷（选择题 共40分）
注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1．下列几何体中，同一个几何体从正面看和从上面看形状图不同的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）A ．1，2，3，4B ．1，2，3，6
C ．2，3，4，5
D ．1，3，4，7
3．若反比例函数的图象经过点A （﹣3，4），则下列各点中也在这个函数图象的x
k
y =()0≠k 是（ ）A ．（﹣2，3）
B ．（4，﹣3）
C ．（﹣6，﹣2）
D ．（8，
）2
34．如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于A 、B 两点，若A 点x
k
y =
()0≠k
的坐标为（3，﹣5），则B 点的坐标为（ ）
A ．（3，﹣5）
B ．（﹣5，3）
C ．（﹣3，5）
D ．（3，﹣5）
5．已知，，则它们的周长比为（ ）DEF ABC ∽△△41∶∶△△=DEF ABC S S A ．1：2
B ．1：4
C ．2：1
D ．4：1
6．“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用寒假从A ，B ，C 三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．2
1
3
1
6
1
9
2
7．已知点A （x 1，﹣3），B （x 2，﹣2），C （x 3，1）在反比例函数的图象上，则
x
a y 122+-=x 1，x 2，x 3的大小关系是（ ）A ．x 1＜x 2＜x 3
B ．x 3＜x 1＜x 2
C ．x 2＜x 1＜x 3
D ．x 3＜x 2＜x 1
8．如图，在△ABC 中，点D 在AC 边上，连接BD ，若∠ABC ＝∠ADB ，AD ＝2，AC ＝6，则AB 的长为（ ）A ．3
B ．4
C ．
D ．3
3
2
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图所示的是反比例函数（）和一次函数的图象，x k
y =10,0>≠x k )0(2≠+=m n mx y 则下列结论正确的是（ ）A ．反比例函数的解析式是 B ．一次函数的解析式为x
y 6
1=62+-=x y C ．当时，最大值为1
D ．若，则6>x 1y 21y y <6
1<<x 10．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG ，DG ．若正方形ABCD 与EFGH 的边长之比为，则sin ∠DGE 等于（ ）15∶A ．B ．C ．D ．10
10
5
5
10
10
35
5
2第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
1.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．二、填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．若，则＝
　．
7
2=-b
b a b
a 12．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为
　．
第12题图 第13题图
13．如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB ∥EF ∥CD ，若AO ＝2，OF ＝1，FD ＝2，则的值为
EC
BE ．
14．如图，为了测量一栋楼的高度，小王在他的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如果小王身高1.55m ，他的眼睛距地面1.50m ，同时量得BC ＝0.3m ，CE ＝2m ，则楼高DE 为
　m ．
第14题图 第15题图
15．如图，在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，点A 为直线上一动点，过A 作12+=x y AC ⊥x 轴，交x 轴于点C （点C 在原点右侧），交双曲线于点B ，且AC +BC ＝4，则当x
y 1
=△OAB 存在时，其面积为
　．
16．已知曲线 C 1、C 2 分别是函数，的图象，边长为6的正
）（02
<-=x x
y ）（0,0>>=k x x k y △ABC 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点B 、C 在x 轴上（B 在C 的左侧），现将△ABC 绕原点O 顺时针旋转，当点B 在曲线C 1上时，点A 恰好在曲线C 2上，则k 的值为
．
三、解答题:（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题满分6分）
计算：12
23160sin 41
--+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-︒
18．（本题满分6分）
已知：如图△ABC 三个顶点的坐标分别为A （﹣2，﹣2）、B （﹣3，﹣4）、C （﹣1，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）以点C 为位似中心，在轴的左侧画出△A 1B 1C ，y 使△A 1B 1C 与△ABC 的位似比为2：1，并直接写出点A 1的坐标
　；
（2）△A 1B 1C 的面积为 ．
19．（本题满分6分）
如图，∠CAB ＝∠CBD ，AB ＝4，AC ＝6，BD ＝7.5，BC ＝5．求CD 的长．
20．（本题满分8分）
如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，CD 是AB 边上的中线，过点
D 作D
E ⊥BC ，垂足为点E ，若CD ＝5，sin ∠BCD ＝．5
3
（1）求BC 的长；（2）求∠ACB 的正切值．
21．（本题满分8分）
如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线交y 轴于点A ，交x 轴于点2+=x y B ，与双曲线在一，三象限分别交于C ，D 两点，()0≠=
k x
k
y AB ＝
BC ，连接CO ，DO ．2
1
（1）求的值；
k
（2）求△CDO的面积．
22．（本题满分8分）
某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能
加入一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为150°．
请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有 人；
(2)请你将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社
团；
(4)在书法社团活动中，甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，其中甲、乙是男同学，丙、
丁是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，求恰好选中一男一女的概率（用画树状图或列表法求解）．
23．（本题满分10分）
图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．
（1）求真空管上端B到水平线AD的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（结果精确到0.1米）
参考数据：，，，，，5337sin ≈
5437cos ≈ 4337tan ≈ 8322sin ≈ 16
1522cos ≈ ．
4.022tan ≈
24.（本题满分10分）综合与实践
视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“
”形图都是正方形结构，同一行的“
”是全
等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n ，测得对应行的“”
形图边长b （mm ），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n 与b 的关系式，并求视力值1.2所对应行的“
”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“”形图所成的角叫做分
辨视角．视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
θn θ()105.01≤≤=θθn 探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
0.1≥n θ
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为b1的Ⅰ号“”测得的视力与在B处用边长为b2的
Ⅱ号“”测得的视力相同．
探究3 若视力值为1.2，求检测距离为3米时，所对应行的“”形图边长．
25．（本题满分12分）
【问题背景】
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形
产生了极大兴趣并展开探究．
【探究发现】
如图1，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ．
（1）操作发现：将△ABC 折叠，使边BC 落在边BA 上，点C 的对应点是点E ，折痕交AC 于点D ，连接DE ，DB ，则∠BDE ＝ °，设AC ＝1，BC ＝x ，那么AE ＝　
（用含x 的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证
215-=AC BC 腰底明：；
2
15-=AC BC 腰底【拓展应用】
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的△ABC 是黄金三角形．
（3）如图2，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝72°，AB ＝1．求这个菱形较长对角线的长．
26．（本题满分12分）
如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝6，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
AE
当α＝0°时，＝ ．
BD
（2）拓展探究
AE
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．
BD
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，如图③，图④，直接写出线段AE的长．
参考答案及评分标准
一、选择题
题号12345678910答案
C
B
B
C
A
B
B
D
D
A
二、填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．
． 12．． 13．． 14．10． 15．1． 16．6．
79952
3
三、解答题:（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本题6分）解：原式 (432232)
3
4-++⨯=分
3
22332-++= (6)
5=分
18．（本题6分）
解：（1）如图，△A 1B 1C 即为所求．
·········································································
2分
（1）（﹣3，0）····································································································4分（2）
8················································································································6分19．（本题6分）
解：（1）·········································································
545
,5.7,6,4==∴====BC AB BD AC BC BD AC AB 2分
································································································CBD CAB ∠=∠∴3分
·······
··················································································
BCD ABC ∆∆∴∽.....4分. (55)
4=∴
CD BC 分····················································································642554545=⨯==
∴BC CD 分
20．（本题8分）
解：（1），5
3sin ,=∠⊥BCD BC DE ，5
3=∴
CD DE ，·······························································································3553=⨯=∴DE 1分
，·········································································································4=∴CE 2分
，，··············································································· 45=∠B 3==∴BE DE ··················3分
，·························································································7=+=∴CE BE BC 4分
(2)，
F BC AF A 于点作过点⊥的中位线
是的中点
是∥ABF DE DE ∆∴∴AB D AF
，········································································662,62====∴BE BF DE AF 分
，························································································71=-=∴BF BC CF 分
，·····················································································86tan ==
∠∴CF
AF ACB 分21．（本题8分）
（1）解：（1）在y ＝x +2中，令x ＝0得y ＝2，令y ＝0得x ＝﹣2，
∴A （0，2），B （﹣2，0），····································································· ·········2分∵AB ＝BC ，2
1∴A 为BC 中点，
∴C （2，4），··································································································3分
把C （2，4）代入得：，x k y =2
4k =解得k ＝8，······································································································4分
（2）由得：或，⎪⎩
⎪⎨⎧=+=x y x y 82⎩⎨⎧==42y x ⎩⎨⎧-=-=24y x ··························································5分
∴D （﹣4，﹣2），·······················································································6分
∴S △DOC ＝S △DOB +S △COB
＝×2×2+×2×4＝2+4＝6，·····································8分22．（本题8分）
解：（1）
360，·······································································································2分
（2）补充条形统计图如下图：
··················································································
3分
（3）（人），300360
601800=⨯答：这1800名学生中有300人参加了篮球社团，
·····················································5分
（4）设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：
····································································
7分
∵一共有12种可能的情况，恰好选择一男一女有8种，
∴． (83)
2128)(==
一男一女P 分
23．（本题10分）解：如图，
（1）过B 作BF ⊥AD 于F ，
················································································1分
在Rt △ABF 中，
，·······································································2分AB BF BAF =
∠sin 则 ＝≈＝1.8（米），BAF AB BF ∠=sin 37sin 3⨯5
3
3⨯············································3分
答：真空管上端B 到AD 的距离约为1.8米；，
·························································4分
（2）在Rt △ABF 中，cos ∠BAF ＝，
则＝≈2.4（米），
BAF AB AF ∠=cos 37cos 3⨯·······················································5分
∵BF ⊥AD ，CD ⊥AD ，BC ∥FD ，
∴四边形BFDC 是矩形，
∴BF ＝CD ，BC ＝FD ，··························································································6分
∵EC ＝0.5米，
∴DE ＝CD ﹣CE ＝1.3米，······················································································7分
在Rt △EAD 中，,AD DE EAD =
∠tan
则≈＝3.25（米），
EAD DE AD ∠=tan ···································································9分
∴BC ＝DF ＝AD ﹣AF ＝3.25﹣2.4≈0.9（米），·····························································10分
答：安装热水器的铁架水平横管BC 的长度约为0.9米．
24．（本题10分）
解：
探究1：
由图象中的点的坐标规律得到n 与b 成反比例关系，
设
，·································································································1)0(≠=k b
k n
分
将其中一点（9，0.8）代入得：，98.0k =
解得：k ＝7.2，
∴，········································································································b n 2.7=
··3分
将 n ＝1.2 代入得：b n 2.7=b ＝6；···········································································4分
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E ”形图边长为6mm ，视力值1.2所对应行的“E ”形图边长为6mm ；
探究2：
∵，
θ1
=n ∴在自变量θ的取值范围内，n 随着θ的增大而减小，
···················································5分
∴当n ≥1.0时，0＜θ≤1.0，
∵0.5≤θ≤10，
∴0.5≤θ≤1.0；···································································································6分
探究3：
由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，2
211检测距离检测距离b b =··········································································8分
由探究1知b 1＝6， ∴，3
b 562=解得，5182=b ···································································································9分
答：检测距离为3m 时，视力值1.2所对应行的“E ”形图边长为
························10mm 5
18分25．（本题12分）
解：（1）
72，1﹣x ，·································································································4分
（2）证明：由（1）知：∠CBD ＝∠EBD ＝36°，
∴∠A ＝∠CBD ，·································································································5分
∵∠C ＝∠C ，
∴△ABC ∽△BDC ································································································6分∴······································································································CD
BC BC AC =7分即，解得x x x -=112
15-=x ∴； (2)
15-=AC BC 腰底·8分
（3）如图，
在AC 上截取AE ＝AD ，连接DE ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠ACD ＝，∠DAC ＝∠BAC ＝， 3621=∠BCD 362
1=∠DAB AD ＝AB ＝1，CD ∥AB ，·····················································································。